正态分布教学设计方案书

普通高中课程标准实验教科书数学（人教A 版）选修 2-3

2.4 正态分布

设计教师：高二数学组

一、教学目标及其解析 （一）教学目标：

1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． 2．了解正态曲线的基本特点．

3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． （二）解析：

正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力.

二、教学重难点解析 （一）重点、难点：

重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． 难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布．

（二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。

三、教学过程设计

问题1.什么是正态曲线？

问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？

例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差．

[解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π

，所以μ＝20， 12πσ＝12π， ∴σ＝ 2.

于是φμ，σ(x )＝1

2π·e

－

x －202

4

，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是

σ2＝(2)2＝2.

方法归纳

本题主要考查正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：1.对称轴方程x ＝μ；2.最值1

σ2π

.这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x )中便可求出相应的解析式．

变式训练1.

如图，曲线C 1：f (x )＝

1

2πσ21

e -x －μ2

2σ2 (x ∈R )，曲线C 2：φ(x )＝

12πσ2

e

－

x －μ

2

2σ

2

(x ∈R )，则( )

A ．μ1<μ2

B ．曲线

C 1与x 轴相交 C ．σ1>σ2

D ．曲线C 1，C 2分别与x 轴所夹的面积相等

解析：选D.由正态曲线的特点易知μ1>μ2，σ1<σ2，曲线C 1，C 2分别与x 轴所夹面积相等，故选D.

例2.设X ～N (1,22)，试求： (1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)．

[解] 因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)

＝1

2[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)]

＝1

2[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝1

2[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝1

2(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 方法归纳

对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； (2)P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)； (3)P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )． 变式训练2.

在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1,4)，求正态总体X 在区间(－1,1)内取值的概率．

解：∵由题意知μ＝1，σ＝2，

∴P (－1

∴P (－1

2P (－1

例3.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生．

(1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90之间的学生占多少？ [解] (1)设学生的得分情况为随机变量X ， 则X ～N (70,102)，其中μ＝70，σ＝10.

在60到80之间的学生占的比为P (70－10

2×(1－0.682 6)＝0.158 7＝15.87%. (2)成绩在80到90之间的学生所占的比为

12×[P (70－2×10

运用3σ原则时，关键是将给定的区间转化为用μ再加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率其所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再求其对称区间概率的一半解决问题．

变式训练3.

某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布X ～N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．

解：∵X ～N (50,102)， ∴μ＝50，σ＝10.

∴P (30＜X ≤60)＝P (30＜X ≤50)＋P (50＜X ≤60) ＝12P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＋1

2P (μ－σ＜X ≤μ＋σ) ＝12×0.954 4＋1

2×0.682 6＝0.818 5.

即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.

例4.(1)如图为σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )

A ．σ1>1>σ2>σ3>0

B ．0<σ1<σ2<1<σ3

C ．σ1>σ2>1>σ3>0