高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十一)计数原理、二项式定理、概率理
高三数学二轮复习 1.7.1 计数原理、二项式定理课时巩固过关练 理 新人教版(2021年整理)
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课时巩固过关练十八计数原理、二项式定理(35分钟55分）一、选择题（每小题5分，共20分)1。
(2016·襄阳一模）从8名女生和4名男生中，选取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样,则不同的选取方法数为（）A。
224 B。
112 C。
56 D.28【解析】选B。
根据分层抽样，从8个人中选取男生1人，女生2人，所以选取2个女生1个男生的方法：=112(种).2。
(2016·三明一模)将A，B，C，D,E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B,C”或“C，B,A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A。
12种B。
20种 C.40种D。
60种【解析】选C.五个元素没有限制全排列数为,由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A），故除以这三个元素的全排列，可得有×2=40（种)。
3。
（2016·郑州一模）设（1+x+x2）n=a0+a1x+…+a2n x2n，则a2+a4+…+a2n的值为( ）A。
B.C。
3n-2 D.3n【解析】选B.令x=1，得a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n=3n.①再令x=-1得,a0—a1+a2—…—a2n-1+a2n=1。
专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有 ，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中 的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为 ，所以 的系数为 ，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
2018年高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第11章 计数原理 11.2 二项式定理
(浙江专用)
第十一章 计数原理
§11.2 二项式定理
五年高考
考点 二项式定理及应用
1.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( A.-80 B.-40 C.40 D.80 )
答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数.
r 3 r r 3 2 C5 (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= · (2x)5-r· (-y)r=(-1)r· 25-C x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3· 22C · 5 · 5 =-40,x y 2 C5 项的系数为(-1)2· 23· =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.
2 2 Cn C3 C6 C1 C1 C C3 · 4 .从而f(3,0)= 6 =20, f(2,1)= 4 =60, f(1,2)= 6· 4 =36, f(0,3)= 4 =4,故选C.
4.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
1 C 依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1· 5 =30,a=-6,故选D.
8.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( A.4 答案 -5舍). B.5 C.6 D.7
)
2 2 2 C2 Cn Cn C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 n =15,亦即n -n=30,解得n=6(n= n ,所以 n =15,即
k
C3 的系数为(-1)3· 22×3-5 5 =-20,故选A.
2023版高考数学一轮总复习第十一章计数原理第二讲二项式定理课件理
2
2 ,因为(1+2)6 的展开式中 2 的系数为C62 ×22 ,故
展开式中 2 2 项的系数是C82
1 6
3
(3)(2 + ) 的第
1 2
×(− ) ×C62 ×22
2
=420,故选A.
1
3
6−
(2 ) ( )
3 6
6
6
+ 1项为+1 =C6
2
+ )(
+)5
的展开式中 3 3 的系数为C53 +C51 =15.故选C.
(2)解法一 (1+2 −
8
) 表示8个因式(1+2
2
−
)的乘积,故其中有2个因式
2
取2,有2个因式取− ,其余的4个因式都取1,可得含 2 2 的项.故展开式中
2
1 2
2
2
2
2
2
项的系数是C8 ×2 ×C6 ×(− ) ×C44 =420,(利用组合知识求解)
80,则a=
.
2
(2)[2019浙江高考]在二项式( 2+x)9的展开式中,常数项是 16 2 ,系数为
有理数的项的个数是
5
.
(3)[2021安徽安庆三模]已知(x+3)6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,
则a4=
60
.
考向1
求二项展开式中的特定项或特定项的系数
解析 (1)二项式的通项公式Tr+1=C5 x5-rar,∵x2的系数80,∴C53 a3=80,∴a=2.
2023人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第二节二项式定理
·角度 2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)型
[典例 2](1)(2020·全国卷Ⅰ)x＋yx2 (x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为(
)
A．5 B．10 C．15 D．20
【解析】选 C.(x＋y)5 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5 x5－ryr(r∈N 且 r≤5)， 所以x＋yx2 与(x＋y)5 展开式的乘积可表示为： xTr＋1＝xCr5 x5－ryr＝C5r x6－ryr 或yx2 Tr＋1＝yx2 C5r x5－ryr＝Cr5 x4－ryr＋2，
2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n 的展开式问题的思路 (1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋ d)n，然后分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2 ＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n 的通项，综合考虑．
3.(二项式系数和)若x＋1x n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项 为( )
A．20 B．60 C．80 D．120 【解析】选 A.二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tk＋1＝C6k ·x6－k·1x k ＝Ck6 x6－2k， 当 6－2k＝0，即当 k＝3 时为常数项，T4＝C36 ＝20.
A．－30
B．120
C．240
D．420
【解析】选 B.[(x＋2y)＋z]6 的展开式中含 z2 的项为 C26 (x＋2y)4z2，(x＋2y)4 的展开式
中 xy3 项的系数为 C43 ×23，x2y2 项的系数为 C24 ×22，所以(x－y)(x＋2y＋z)6 的展开式
福建高考数学复习计数原理11.3二项式定理课件理新人教A版
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
-5知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
2.
1 4 2������- ������ 的展开式中的常数项为(
)
A.-24 B.-6 C.6 D.24
关闭
因为二项展开式的通项
������ Tr+1=C4 (2x)4-r
- ������
1 ������
������ 4-r = C4 2 (-1)r· x4-2r,
2 所以令 4-2r=0,即 r=2,故常数项为C4 ×22×(-1)2=24.
关闭
D
解析 答案
-6知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
������
1 2 ������ + 3.(2017广东广州测试)使 2������3 项的n的最小值是( )
(n∈ N*)展开式中含有常数
A.3 B.4 C.5 D.6 2 n-k ∵Tk+1=C������ ������ (x )
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
考向1 已知二项式求其特定项(或系数) 5 例1(1)(2017吉林长春模拟) ������ 2 - 2 的展开式中的常数项为 ������3 ( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40
8 2 1 2 ������ ,x7 的系数为 (2) ������ - ������ 的展开式中 ������ 10-5r -r 2 5 (1)∵Tr+1=������ C5 (x ) - ������ 3 =(-2)rC5 x ,
-15考点1 考点2 考点3
(3)(方法一)将原式看做 1 + ������ + 通项为
高考数学二轮复习计数原理与概率
6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
2025版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第3讲二项式定理教案理含解析新人教A版
第3讲 二项式定理基础学问整合1．二项式定理的内容(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r na n －rb r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是□04相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n 2＋1项的二项式系数最大，最大为，当n 为奇数时第□07n －12＋1或n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为.(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□112n －1.1．留意(a ＋b )n与(b ＋a )n虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项时是不同的，肯定要留意依次问题．2．解题时，要留意区分二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2024·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的绽开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 答案 C解析 由题可得T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r .令10－3r ＝4，则r ＝2，所以C r 5·2r ＝C 25×22＝40.故选C.2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.3．(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10 答案 B解析 (x ＋y )5的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x5－r·y r，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35＝－5.故选B.4．设(5x －x )n的绽开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则绽开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150 答案 C解析 N ＝2n，令x ＝1，则M ＝(5－1)n＝4n＝(2n )2.∴(2n )2－2n＝240,2n＝16，n ＝4.绽开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r ＝2，此时C 24·52·(－1)2＝150.5．(2024·绍兴模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的绽开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________.答案 －2 解析6．(2024·南昌模拟)(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的绽开式中的常数项为________．答案 －5解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－2r (－1)r ，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的常数项为C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝3时)与C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝4时)之和，所以常数项为C 36(－1)3＋C 46(－1)4＝－20＋15＝－5.核心考向突破考向一 求绽开式中的特定项或特定系数例1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的绽开式中含x 15的项的系数为( )A ．153B ．－153C ．17D ．－17 答案 C 解析(2)(2024·山东枣庄模拟)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2024·浙江高考)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的常数项是________．答案 7解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r8·12r ·x8－4r3，令8－4r 3＝0得r ＝2，故所求的常数项为C 28·122＝7.触类旁通即时训练 1.(2024·广州调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x9的绽开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92 C.92 D.212答案 A解析 二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，绽开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.2．(2024·河南信阳模拟)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r ·(－2)r ＝C r 5(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.故选D.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式中x 3的系数为94，则a ＝________. 答案 4 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r2·C r9·x 32r －9.令32r －9 ＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.考向二 二项式系数与各项的系数问题角度1 二项式绽开式中系数的和例2 (1)(2024·金华模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，则绽开式中x7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n ＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴绽开式中x 7的系数为22×C 25＝40.故选B.(2)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝________，a 2＋a 4＋a 6＝________.答案 126 2187 1092 解析 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7. ① 又∵a 7＝C 77(－2)7＝(－2)7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1－a 0－a 7＝126. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37＝2187. ②①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1093，∴a 2＋a 4＋a 6＝1092. 触类旁通求二项式系数和的常用方法是赋值法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子，求其绽开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．即时训练 4.(2024·黄冈质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( )A ．284B ．356C ．364D ．378 答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36①； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1 ②.①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.5．(2024·郑州一测)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为________．答案 90解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r53rxr5－32，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)(2024·广东广州模拟)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n的全部二项式系数之和等于128，那么其绽开式中含1x项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84 答案 A解析 由二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的绽开式中全部二项式系数的和是128，得2n＝128，即n ＝7，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r.令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴绽开式中含1x项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.(2)(2024·安徽马鞍山模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，则绽开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 答案 D解析 依据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r · C r20·x20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．故选D.触类旁通求二项式系数最大项(1)假如n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项)的二项式系数最大．即时训练 6.已知(1＋x )n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为绽开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以依据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的绽开式中只有第6项的二项式系数最大，则绽开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是绽开式通项为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以常数项为22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2024·承德模拟)若(1＋2x )6的绽开式中其次项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15B.16<x <15C.112<x <23D.16<x <25答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >C 06，C 162x >C 262x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >112，0<x <15，即112<x <15. (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n的绽开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252 答案 A解析 ∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数， ∴n 的值可能是9,10,11. 设常数项为T r ＋1＝C r n x3(n －r )x －2r＝C r n x3n －5r， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ， ∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210. 触类旁通求绽开式系数最大项如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的绽开式系数最大的项，一般是采纳待定系数法，设绽开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．即时训练 8.(2024·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n的绽开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求绽开式中二项式系数最大的项； (2)求绽开式中系数最大的项． 解考向三二项式定理的应用例5 (1)(2024·潍坊模拟)设a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，则a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12答案 D1＋1，又由于13解析由于51＝52－1，(52－1)2024＝C020********－C12024522024＋…－C2024202452整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)0.9910的第一位小数为n1，其次位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为( )A．9,0,4 B．9,4,0 C．9,2,0 D．9,0,2答案 A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010·110·(－0.01)0＋C110·19·(－0.01)1＋C210·18·(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.触类旁通二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)绽开后的每一项都含有除式的因式．2二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，1＋x n≈1＋nx.即时训练9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.1．(2024·江苏模拟)(x 2＋x ＋y )5的绽开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由二项绽开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t·x t ＝C t 3x6－t，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2．在⎝⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412的绽开式中x 5的系数为________． 答案 264解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x －x 2024202412的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r12(2＋x )12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 20242024r ，若要出现x 5项，则需r ＝0，则T 1＝(2＋x )12，∴x 5的系数为22C 1012＝4C 212＝264.答题启示二项式定理探讨两项和的绽开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10绽开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式中不含x 的项的系数之和为( ) A ．－C 37C 3443－47B ．－C 27C 2443＋47C ．－47D ．47答案 A11 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r ·(－4y )r，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r 的绽开式的通项公式为M k ＋1＝C k 7－r · x 7－r －4k 3，0≤k ≤7－r,0≤r ≤7，k ，r 均为整数，令7－r ＝4k 3，解得k ＝0，r ＝7或k ＝3，r ＝3，则不含x 的项的系数之和为(－4)7＋C 37C 34(－4)3＝－C 37C 3443－47.。
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专题强化训练(十一) 计数原理、二项式定理、概率一、选择题1．[2019·安徽五校联考二]某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )A．15 B．30C．35 D．42解析：解法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C37种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C22C15种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C37－C22C15＝30(种)，故选B.解法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有C12C25＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C35＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.答案：B2．[2019·长沙四校一模]某校高三年级为了解学情和教情，在该年级6个班中选10名学生参加座谈会，要求每班至少派1名学生参加，其中高三(1)班至少派2名学生参加，则不同的选派方式有( )A．72种B．60种C．50种D．56种解析：首先需满足高三(1)班选2名学生，其余班级各选1名学生，然后只需分配剩下的3个名额，这3个名额可以分到一个班，有C16种分法，也可以分到两个班，其中一个班1名，一个班2名，有A26种分法，还可以分到三个班，每班1名，有C36种分法．因此不同的选派方式共有C16＋A26＋C36＝56(种)．故选D.答案：D3．[2019·合肥质检二]某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E；任务B、任务C不能相邻．则不同的执行方案共有( )A. 36种B. 44种C. 48种D. 54种解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F 两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A 12A 33种方法；②D ，F 两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B ，C 不相邻，有A 12A 22种方法．(3)当AE 排第三、四位置时，顺序为○○AE ○○，第一、二位置必须分别排来自B ，C 和D ，F 中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C 12C 12A 22A 22种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A 22A 23＋A 12A 33＋A 12A 22＋C 12C 12A 22A 22＝44(种)，故选B.答案：B4．[2019·广州调研]已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.29解析：设事件A ：“从甲袋中取出1个红球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，事件B ：“从甲袋中取出1个黄球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，根据题意知所求概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12×35＋12×25＝12.故选B.答案：B5．[2019·合肥质检]某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )A.45B.1925C.2350D.41100解析：分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A ，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B ，则由题意得P (A )＝4C 25＝25，P (B )＝C 25－4C 25C 25＝350，则每位顾客摸球中奖的概率为P (A )＋P (B )＝25＋350＝2350，故选C.答案：C6．[2019·石家庄质检]袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B.16 C.29D.518解析：由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29，故选C.答案：C7．[2019·广州综合测试]刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为( )A.b aB.a bC.3a bD.3b a解析：依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投入a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3ab，选C.答案：C8．[2019·南昌一模]2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )A.136B.116C.18D.16解析：由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C 24＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为16，故选D.答案：D9．[2019·武汉2月调研]已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )A.35B.45C.720D.1320解析：依题意，从口袋中任取3个球，共有C 36＝20(种)取法，从口袋中任取3个球，恰有两种颜色的取法有C 33＋C 22C 13＋C 12C 23＋C 23C 11＝13(种)，所以所求的概率P ＝1320，故选D.答案：D10．[2019·洛阳统考二]如图所示，三国时代数学家在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32≈27，故选B. 答案：B11．[2019·石家庄一模]袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )A.16B.13C.12D.15解析：设“第二次摸到红球”为事件A ，“第一次摸到红球”为事件B ，∵P (A )＝2×1＋2×24×3＝12，P (AB )＝24×3＝16，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为13，故选B.答案：B12．[2019·武汉4月调研]大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )A.112B.12C.13D.16解析：依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C 24A 33＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C 23A 22＋C 13A 22＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为1236＝13，故选C. 答案：C13．[2019·武汉4月调研]为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A.34 B.58 C.716D.916解析：设篮球运动员投进第n －1(n ≥2，n ∈N *)个球的概率为P n －1，第n －1个球投不进的概率为1－P n －1，则他投进第n 个球的概率为P n ＝34P n －1＋14(1－P n －1)＝14＋12P n －1，∴P n －12＝12⎝⎛⎭⎪⎫P n －1－12.∴P n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P 1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1×14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴P n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12(n ∈N *)，∴P 2＝58.故选B.答案：B14．[2019·福建质检]某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( )A.427B.13C.59D.1927解析：记顾客中奖为事件A ，恰抽1次就中奖为事件A 1，恰抽2次中奖为事件A 2，恰抽3次中奖为事件A 3.每次抽奖相互独立，每次抽奖中奖的概率均为13，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝13＋23×13＋23×23×13＝1927，故选D.答案：D15．[2019·济南模拟]2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( )A.16B.13C.23D.56解析：通解：若小王和小李都没被选中，则有C 22种方法，若小王和小李有一人被选中，则有C 12C 12种方法，故所求概率P ＝C 22＋C 12C 12C 24＝56. 优解：若小王和小李都被选中，则有1种方法，故所求概率P ＝1－1C 24＝56.答案：D二、填空题16．[2019·惠州调研]某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是________．解析：由题意可得，①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有3×2＝6(种)．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有3×2＝6(种)．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有6＋6＝12(种)．答案：1217．[2019·合肥调研]将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同的放法共有________种.解析：要想任意两颗棋子不在同一行、同一列和同一条对角线上，则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点，另两颗在对角顶点的两侧，如图所示，由于正方形有四个顶点，故有四个不同的相对位置，又三颗棋子颜色不同，故不同的放法共有4A33＝24(种).答案：2418．[2019·开封定位考试]从甲、乙等5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为________．解析：分三种情形讨论：①甲、乙都选，不同的参赛方案有C12A23＝12(种)；②选乙不选甲，不同的参赛方案有A33＝6(种)；③选甲不选乙，不同的参赛方案有C13A33＝18(种)．所以满足条件的不同的参赛方案种数为12＋6＋18＝36.答案：3619．[2019·江西五校联考](x2＋1)(x－1)5的展开式中含x5的系数为________．解析：在(x 2＋1)(x －1)5的展开式中要想出现x 5，有两种可能，其一，在第一个多项式中取x 2，在第二个展开式中取C 25x 3(－1)2，即x 2C 25x 3(－1)2＝10x 5；其二，在第一个多项式中取1，在第二个展开式中取C 05x 5，即1×C 05x 5＝x 5.10x 5＋x 5＝11x 5，所以x 5的系数为11.答案：1120．[2019·郑州质量预测一]已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 2n 的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r x 2r ＝C r6x 3r －6，令3r －6＝3，得r ＝3，故x 3的系数为C 36＝20.答案：2021．[2019·山西八校联考]如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设半圆的半径为2，则长方形的宽为2，长为4，长方形的面积为2×4＝8.在阴影中作如图所示的辅助线，则易知S阴影＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×2π3－12×2×2×si n 2π3＝8π3－2 3.所以此点取自阴影部分的概率是8π3－238＝π3－34.答案：π3－3422．[2019·福州质量抽测]甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12，13，14，则有人能够解决这个问题的概率为________．解析：这个问题没有被解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，故有人能够解决这个问题的概率为1－14＝34. 答案：34。