计数原理与二项式定理

小题精练：计数原理与二项式定理(限时：50分钟)1．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．12种2．(2013·高考四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．203．(2013·高考全国卷)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )A ．28B ．56C ．112D ．2244．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为( ) A ．12B ．36C ．72D ．1085．(2014·济南市模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－286．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种B ．45种C ．54种D ．84种7．一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A ．12种B ．15种C ．17种D ．19种8．(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m)9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－39．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个10．设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013＝( )A ．iB ．－IC ．－1＋iD ．1＋i11．(2014·郑州市质检)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A .16B .14C .13D .51212．(2013·高考北京卷)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．13．若(1－2x)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________．14．(2013·高考天津卷)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．15．(2014·湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．小题精练：概率、随机变量及分布列(限时：50分钟)1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤8}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M ∩N ”的概率是( ) A.110 B.16 C.310 D.122．(2014·武汉市调研测试)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( ) A.310 B.25 C.35 D.7103．记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为( )A.518B.14C.310D.9104．(2013·高考新课标全国卷)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.165．(2014·石家庄高三模拟)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.756．(2013·高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.787．(2014·郑州市质量检测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5 120颗 ，正方形的内切圆区域有豆4 009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( ) A ．3.13 B ．3.14 C ．3.15 D ．3.168．(2014·湖南师大附中模拟)一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23 B.512 C.59 D.799．(2014·大连市双基测试)把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1 B.12 C.13 D.1410．若利用计算机在区间(0，1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实根的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.2511．(2014·成都市诊断检测)已知集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0}表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.3π32B.3π16C.π32D.π1612．(2014·洛南市高三统考)执行如图所示的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( )A.14B.13C.23D.3413．(2013·高考江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．小题精练(十八)1．解析：选B .本题用排除法，甲、乙两人从A 、B 、C 三个景点中各选两个游玩，共有C 23·C 23＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种，选B .2．解析：选C .利用排列知识求解．从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A 25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C . 3．解析：选C .写出二项展开式的通项，从而确定x 6的系数． 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r 2r＝2r C r 8x8－r，令r ＝2，得T 3＝22C 28x 6＝112x 6，所以x6的系数是112.4．解析：选B .本题是定向分配问题．由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C 24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A 33种，这样，所求的不同的方案种数为C 24A 33＝36.5．解析：选C .展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r·(－1)rx －r 3，令8－r －r 3＝0，得r＝6，所以展开式中的常数项为C 68×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝28×14＝7.6．解析：选A .先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．8．解析：选D .依题意得，就这3次中取得小球标号中含3的小球的实际次数进行分类计数：第一类，当这3次中取得小球标号中含3的小球仅有1次时，满足题意的取法有C 13×22＝12种；第二类，当这3次中取得小球标号中含3的小球恰有2次时，满足题意的取法有C 23×2＝6种；第三类，当这3次中取得小球标号中含3的小球有3次时，满足题意的取法有1种．故满足题意的取法共有12＋6＋1＝19种，选D .9．解析：选A .令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m)9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m)9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.10．解析：选B .依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031，由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计3＋6＋3＋3＝15个．11．解析：选C .x ＝2i 1－i＝－1＋i ，C 12 013x ＋C 22 013x 2＋…＋C 2 0132 013x 2 013＝(1＋x)2 013－1＝i 2 013－1＝i －1，选C .12．解析：选D .注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n的展开式的通项是T r ＋1＝C rn ·(x)n －r·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r＝C rn ·2－r ·x 2n －3r 4.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·2－r·x4－3r 4，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512，选D .13．解析：先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中有2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A 44种，因此共有不同的分法4A 44＝4×24＝96(种)． 答案：9614．解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0. 答案：015．解析：先写出展开式的通项，再求常数项．⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r 6x 6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝(－1)r C r 6x6－32r ，令6－32r ＝0，解得r ＝4，故常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：1516．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C 12A 22A 22A 22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A 22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22＝32. 答案：32小题精练(十六)1．解析：选A.因为N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1，2]，所以M ∩N ＝[1，2]，所以所求的概率为2－18＋2＝110. 2．解析：选B.依题意可知a n ＝2·(－2)n －1，由计算可知，前10项中，不小于8的只有8，32，128，512，4个数，故所求概率是410＝25.故选B.3．解析：选B.由题意知分别投两次骰子所得的数字分别为a ，b ，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个；而方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的条件是a2－8b ＞0，因此满足此条件的基本事件有：(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共有9个，故所求的概率为936＝14.4．解析：选B.用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率．从1，2，3，4中任取2个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13.5．解析：选D.因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.6．解析：选C.结合线性规划，利用几何概型求解．设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4，0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x －y |≤2，可行域如图阴影部分所示．由几何概型概率公式得P (A )＝42－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×242＝34. 7．解析：选A.根据几何概型的定义有π·⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＝4 0095 120，得π＝3.13. 8．解析：选C.记“第i (i ＝1，2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i ＝1，2)，依题意知，要求的概率为P (A 2|A 1)．由于P (A 1)＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13，所以P (A 2|A 1)＝P （A 2A 1）P （A 1）＝1335＝59. 9．解析：选B.记事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点， 则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝12×1212＝12.10．解析：选B.据题意基本事件空间Ω＝{(a ，b )|0＜a ＜1，0＜b ＜1}，若方程x ＝22a －2b x，即x 2－22ax ＋2b ＝0(x ≠0)有两不等实根，则有8a －8b ＞0，b ≠0⇔a ＞b ，即事件A ＝{(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ＞b}，如图分别作出两集合表示点(a ，b )对应的平面区域，由几何概型可知其概率等于两平面区域面积之比，易得P (A )＝12.11．解析：选 A.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域，如图三角形ABO ，且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (4，－4)，所以S △ABO ＝12×423×42＝163，点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的面积S 扇形＝14×π(2)2＝π2，所以所求概率P ＝π2163＝π2×316＝3π32.12．解析：选B.依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤1y ≤x 2表示的平面区域的面积等于⎠⎛01x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 310＝13，因此所求的概率等于13，选B .15．解析：利用古典概型概率的计算公式求解．因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P ＝2063.答案：206316．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即2a a 2＋b2≤2，a ≤b 的数组(a ，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共1＋2＋3＋4＋5＋6＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712。