高等代数【北大版】(54)

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高等代数(北大第三版)习题答案完整

P44.4 2) 结果
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2

高等代数【北大版】课件

线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都为零，主对角线上的元素为特征值。通过相似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理解矩阵的性质和特征。

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4

从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵，当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2

高等代数北大第三版

由定理10， g1( x)h1( x)本原，从而有 a rs,
即 rs Z . f ( x) rsg1( x) h1( x). 得证．
推论设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
旳，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
f ( x) (bl xl bl1 xl1 b0 )(cm xm cm1 xm1 c0 ) bi ,c j Z , l, m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . p | a0 , p | b0 或 p | c0 ,
又 p2 | a0 , p 不能同步整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约．证：作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein鉴别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约，所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
bi Z , i 0,1, 2, , n. 若 bn ,bn1, ,b1,b0 没有异于 1 旳公因子，即 bn ,bn1, ,b1,b0 是互素旳，则称 g( x)为本原多项式．
有关性质
1．f ( x) Q[ x], r Q, 使 f ( x) rg( x), 其中 g( x)为本原多项式．（除了相差一种正负号外，这种表达法是唯一旳）．
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；
但在 Q上有任意次数旳不可约多项式．如
xn 2, n Z . 怎样判断 Q上多项式旳不可约性呢?

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2

2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1

高等代数习题北大第四版答案一到四章

从而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的一个最大公因式，又因为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i

高等代数北大课件

拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等。
将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个奇异值和若干个奇异向量的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标准形式，即一个平方项之和减去另一个平方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。

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f 1 f 1 f ( x 1 ,, x n ) a x 1 l 1 x 2 l 2 x n l n
§1.11 对称多项式
h
9
则 f 1 有比 f 较“小”的首项．
对 f 1 重复上述作法，并依此下去. 即有一系列对称多项式
f ,f 1 f 1 ,f 2 f 1 2 ,
它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步．
首项为 ax1l1x2l2 xnln, 则必有
l1 l2 ln 0
作对称多项式
a 1
l1 l2 l2 l3 12
ln n
则 1 的首项为
a x 1 l 1 l 2 ( x 1 x 2 ) l 2 l 3 ( x 1 x 2x n ) l n ax1l1x2l2
xln n
再作对称多项式
§1.11 对称多项式
h
3
a1 1 2 a 2 1 2 1 3
n n 1 n
(1)iai
k1 k2
ki
（所有可能的 i 个不同的 a
k
的积之和）
j
( 1 ) n a n 1 2
， n
特别地 a x 2 b x c 0(a 0 )，x1 , x 2 为其根，
作对称多项式 f2f12 3x1x2x3
令 331 1 12 1 13 1 0 3 3
于是 f3f23 0
所以， f1 2 3 1 331233
§1.11 对称多项式
h
14
附：对于齐次对称多项式还可以采用待定系数法．
待定系数法的一般步骤：
(设 f 是m次齐次对称多项式)
第一步：根据对称多项式 f 首项对应的指数组写出所有可能的指数组 (k1,k2, ,kn)，且这些指数组满足：
对称多项式的多项式仍为对称多项式．即，若 f 1 ,f 2 ,,f m P [ x 1 ,x 2 ,,x n ] 为对称多项式， g(y1,y2, ,ym )为任一多项式，则
g ( f 1 , f 2 ,, f m ) h ( x 1 , x 2 ,, x n )
是n 元对称多项式．
特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式．
2
一、一元多项式根与系数的关系
——韦达定理
设 f ( x ) x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a n P [ x ]①
若f ( x ) 在 P 上有 n 个根 1,2, ,，n则
f ( x ) ( x 1 ) ( x 2 )( x n )
②
把②展开，与①比较，即得根与系数的关系：
则有
b
c
x1x2a, x1x2a
§1.11 对称多项式
h
4
二、n 元对称多项式
定义设 f ( x 1 ,, x n ) P [ x 1 ,x 2 ,，,x n ] ,
若对任意 i,j(1i,jn ，)有 f ( x 1 ,, x i ,, x j ,, x n ) f ( x 1 ,, x j ,, x i ,, x n ) 则称该多项式为对称多项式．
．
故存在 hZ，使 fhfh 1h0
于是 f12h .
这就是一个初等对称多项式的多项式．
§1.11 对称多项式
h
10
说明
上述证明过程实际上是逐步消去首项.
逐步消去首项法的一般步骤：
第一步：找出对称多项式 f 的首项 a x 1l1x2l2 xn ln,
确定它对应的指数组 (l1,l2, ,ln), 则一定有
① k 1k 2 k n; ② k 1 k 2 k n m ; ③ 前面的指数组先于后面的指数组．
§1.11 对称多项式
h
15
第二步：对每个指数组 (k1,k2, ,kn)，写出它对应的初等对称多项式的方幂的乘积：
h
12
例1. 把多项式 f 表成初等对称多项式的多项式,
fx1 3x2 3x3 3
解:
f 的首项是
x
3 1
, 它所对应的数组是 (3,0,0),
令
11 30
00 2
3 0
3 1
,
作对称多项式 f 1 :
f1f1 x 1 3x2 3x3 31 3
3 ( x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 x 1 2 x 3 x 3 2 x 1 x 2 2 x 3 x 3 2 x 2 ) 6 x 1 x 2 x 3
第一章多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
h
1
一、一元多项式根与系数的关系
二、n元对称多项式三、一元多项式的判别式
h
§1.11 对称多项式
h
7
2．对称多项式基本定理
对任一对称多项式 f(x1, ,xn), 都有 n元多项式
(y1,y2, ,yn),使得
f ( x 1 ,, x n ) ( 1 ,2 ,,n )
1,2, ,n为初等对称多项式．
§1.11 对称多项式
h
8
证明：设对称多项式 f(x1, ,xn)按字典排列法的
f 1 的首项是 3x12 x2 , 它所对应的指数组是 (2,1,0),
§1.11 对称多项式
hLeabharlann 13令2 31 2 1
1 0 2
3 0312
3 ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 )
3 ( x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 x 1 2 x 3 x 3 2 x 1 x 2 2 x 3 x 3 2 x 2 ) 9 x 1 x 2 x 3
如， f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 3 x 2 3 x 3 3
§1.11 对称多项式
h
5
下列n个多项式
1 x1x2 xn 2 x1x2 x1x3 xn1xn
n x1x2
xn
称为 n 个未定元 x1,x2, ,xn的初等对称多项式．
§1.11 对称多项式
h
6
性质 1．对称多项式的和、积仍是对称多项式；
l1l2 ln.
第二步：由 f 的首项写出 1 :
a 1
l1 l2 l2 l3 12
ln n
§1.11 对称多项式
h
11
第三步：作 f1f1，并展开化简．
再对 f 1 按一、二、三步骤进行，构造 f 2 :
f2f12
如此反复进行，直到出现 fhfh 1h0 ，则
f12h .
§1.11 对称多项式