最新课件-抛物线及其标准方程(2) 推荐

的正半轴上； 如果一次项是负的，那么焦点在坐标轴
的负半轴上。
课堂新授
(3)我们以前学习的抛物线和现在学习的 抛物线的标准方程有什么联系？ 二次函数y ax2 bx c的图象都是抛物线， 其中的一部分y ax2是（或可化为）抛物线 的标准方程x2 2 py。
标准方程中的y2 2 px是我们以前没学过的 抛物线，但它不是x的二次函数。
l
动画
M
N•
··F
e=1
抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l l
的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。
· d M
N
· p
k
F
说明： （1）若|MF|=d,则点M的轨迹是抛物线， 反之若点M的轨迹是抛物线，则|MF|=d。
（2）焦点到准线的距离是定值， 用p表示(p>0) .
M (x , y)
F(4,0) x
课堂练习3
例4、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
p
X0
+
— 2
————————————
． y M
抛物线 y 2 2 px (p.0) 上任意一点P
· N M ·x
Ko F
由定义可知，
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
抛物线的标准方程
y2 = 2px（p＞0）
叫做抛物线的标准方程
说 明：1、它表示抛物线的焦点在X轴
的正半轴上,
焦点F（ p 2
, 0），准线l：x = -
p 2
2、其中p的几何意义是:
焦点到准线的距离。
2 x=- p
2
x轴的
y轴的
负半轴上 正半轴上
y2=-2px
F(- p ,0) 2 p
x= 2
x2=2py
p F (0, )
2 y=- p
2
y轴的 负半轴上
x2=-2py
F (0, -
p )
2
p y=
2
课堂新授
想一想:
1、椭圆，双曲线，抛物线各有几条
准线？
2。 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
例题讲解
例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线
l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
y
分析：如 图 可 知 原 条 件 等
价于M点到F（4，0）和到 x＝－4距离相等，由抛物 线的定义，点M的轨迹是 -5 -4 以F（4，0）为焦点，x＝ －4为准线的抛物线．因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2＝16x．
课堂新授
探究：
一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛 物线的标准方程还有其它形式.
想 一 想 抛物线的标准方程还有 ？ 几种不同的形式?它们是
如何建系的?
三. 四种抛物线及其它们的标准方程 课堂新授
图
形
焦点位置 x轴的 正半轴上
标准方程 y2=2px
焦点坐标 准线方程
p F ( ,0)
抛物线及其标准方程
复习
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
问题
当e=1时，它的轨迹是什么？
l M
l M
·F
F·
动画
l
M
N•
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
问题
当e=1时，它的轨迹是什么？
1
准线方程是y＝－ 48 .
例题讲解
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
O
x
2
得p=
∴抛物3线的标准方程为x2
=
9
y或y2 = 4 x
。
2
3
课堂练习2
已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的
标准方程。
提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解：点P(4,2)位于第四象限，设所求方程为
y2 2 p1x或x2 2 p2 y，将x 4, y 2代入，
可得p1
1 2
,
p2
4,
所求为y2 x或x2 8y
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y＝ 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；
解（：1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是
x＝－3．
（2）先化为标准方程 x 2
1y 12
，p
1 24
，
1
焦点坐标是（0，48 ），
y
1. 24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y
课堂练习1
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是 x
=
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
y=ax2+bx+c
x
思考： 抛物
线是一个怎样 的对称图形？
回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？
1、标准方程的推导
课堂新授
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
x轴，线段KF的中垂线 为y轴
设︱KF︱= p
p 则F（ 2
，0），l：x = -
p 2
设点M的坐标为（x，y），
下面由定义求方程 想 一 想
••••••
l
· d M
N
· k p
F
如何建立适当的直角 坐标系？
课堂新授
二、标准方程的推导
l
步骤：
（1）建系 （2）设点
· N M ·F
（3）列式
（4）化简
（5）证明
1.求曲线方程的
想 一
基本步骤是怎样 的？
想
？
课堂新授
y
o
y=ax2 y=ax2+c
l
· N M ·F
例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求准解它线：方的因程焦为为点xｐ=坐-＝标－32 ３.和，准故线焦方点程坐；标为（－32,０） （2）已知抛物线的方程是y = －6x2,求它的焦
点坐标和准线方程；
解:方程可化为: x2 1 y, 故焦点坐标
为
(0,
1) 24
6
,准线方程为
方程的应关系，如何判断抛物线的焦点 位置，开口方向？
归纳：
根据抛物线的标准方程判断焦点的位置：
（1）先看一次项，判断焦点在X轴还是Y轴上. 如果一次项是X项，那么焦点在X轴； 如果一次项是Y项，那么焦点在Y轴。
（2）再看一次项的系数，判断焦点在坐标轴 的正半轴，还是负半轴. 如果一次项是正的，那么焦点在坐标轴