第八章假设检验1。
第八章 假设检验
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1、原假设与备择假设 H0 2、原理
H1
小概率原理：小概率事件在一次试验中是不太会发生的。 （1）提出假设 H 0 （2）在假设 H 0 成立的条件下，构造一个小概率事件A， （3）根据样本值判断：
若在这一次试验中小概率事件A发生了，则拒绝假设 H 0 ,
若在这一次试验中小概率事件A未发生，则接受假设 H 0 .
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显著性水平 3、接受域与拒绝域
P{ A} P{样本落入区域 } R
拒绝域： R 接受域： R 4、两类错误
第一类错误： 弃真
小概率
样本点落入R：拒绝 H 0
样本点落入 R ： 接受 H 0
犯第一类错误的概率：
H 0 正确，但拒绝了它。
第二类错误： 采伪
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二、假设检验的思想方法 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证 法。为了检验一个假设是否正确，首先假设该假设正确，然 后根据抽取到的样本对假设作出接受或拒绝的决策。如果样 本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝假设，否则应 该接受假设。
假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而 是基于人们的实践活动中广泛采用的原则，即小概率事件在一 次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小 概率事件”？显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设 就越有说服力。 广
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例1 某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布 N ( ,1.21) ,今从 该厂产品中随机抽取6块，测得其平均抗拉强度为31.13.试检验 这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立,取显著性水平 0.05. 解: 提出原假设 H 0 : 0 32.5 双边检验： 单边检验：
《概率论与数理统计》第八章1假设检验的基本概念
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含 铁量是否为3%？
双侧检验 H0 : 0 3%, H1 : 3%
3.某学校学生英语平均分65分, 先抽取某个班的平均 分，看该成绩是否显著高于全校整体水平？
单侧检验 H0 : 0 65, H1 : 65
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常?
分析 以 和 分别表示这一天袋装糖的净重
总体X 的均值和标准差,
由长期实践表明标准差比较稳定, 我们就设
0.015,于是 X ~ N(, 0.0152 ),这里 未知. 问题 问题是根据样本值判断 0.5 还是 0.5 .
所
以，原假
设H
不正确
0
。
对于这两种解释，哪种解释比较合理呢？
我们需要判断以上两种假设谁对谁错，并给出判断的理由
以上例子属于参数检验（parametric test） 的问题，(如针对总体均值,总体方差等参数的假 设检验)。
另外还有非参数检验（Nonparametric test） 的问题，如关于总体服从某种分布（如正态分布， 泊松分布）的假设检验。
4. 拒绝域与临界点
拒绝域W1: 拒绝原假设 H0 的所有样本值 (x1, x2, ···, xn)所组成的集合.
W1 W1 ：拒绝原假设H0的检验统计量的取值范围.
临界点(值):拒绝域的边界点(值) (相应于检验统计量的值).
如: 在前面例4中,拒绝域 {u :| u | u / 2 }.
5. 双边备择假设与双边假设检验
之 下 做 出 的.
2. 检验统计量
第章假设检验测试答案
第八章假设检验1.Ａ2.Ａ3.Ｂ4.Ｄ5.Ｃ6.Ａ1.某厂生产的化纤纤度服从正态分布,纤维的纤度的标准均值为。
某天测得25根纤维的纤度的均值39x,检验与原来设计的标准均值相比是.1=否有所变化,要求的显着性水平为05α，则下列正确的假设形式是=.0（）。
Ａ.H：μ＝,1H:μ≠Ｂ.0H:μ≤,1H:μ＞Ｃ.H：μ＜,1H:μ≥Ｄ.0H：μ≥,1H:μ＜2.某一贫困地区估计营养不良人数高达20％,然而有人认为这个比例实际上还要高,要检验该说法是否正确，则假设形式为（）。
Ａ.H：π≤,1H:π＞Ｂ.0H：π＝,1H:π≠Ｃ.H：π≥,1H:π＜Ｄ.0H：π≥,1H:π＜3.一项新的减肥计划声称：在计划实施的第一周内,参加者的体重平均至少可以减轻8磅。
随机抽取40位参加该项计划的样本,结果显示：样本的体重平均减少7磅,标准差为磅,则其原假设和备择假设是（）。
Ａ.H：μ≤８,1H:μ＞８Ｂ.0H：μ≥８,1H：μ＜８Ｃ.H：μ≤７,1H：μ＞７Ｄ.0H：μ≥７,1H：μ＜７4.在假设检验中,不拒绝原假设意味着（）。
Ａ.原假设肯定是正确的Ｂ.原假设肯定是错误的Ｃ.没有证据证明原假设是正确的Ｄ.没有证据证明原假设是错误的5.在假设检验中,原假设和备择假设（）。
Ａ.都有可能成立Ｂ.都有可能不成立Ｃ.只有一个成立而且必有一个成立Ｄ.原假设一定成立，备择假设不一定成立6.在假设检验中，第一类错误是指（）。
Ａ.当原假设正确时拒绝原假设Ｂ.当原假设错误时拒绝原假设Ｃ.当备择假设正确时拒绝备择假设Ｄ.当备择假设不正确时未拒绝备择假设7.Ｂ8.Ｃ9.Ｂ10.Ａ11.Ｄ12.Ｃ7.在假设检验中，第二类错误是指（）。
Ａ.当原假设正确时拒绝原假设Ｂ.当原假设错误时未拒绝原假设Ｃ.当备择假设正确时未拒绝备择假设Ｄ.当备择假设不正确时拒绝备择假设8.指出下列假设检验哪一个属于右侧检验（）。
Ａ.H：μ＝0μ,1H：μ≠0μＢ.0H：μ≥0μ,1H：μ＜0μＣ.H：μ≤0μ,1H：μ＞0μＤ.0H：μ＞0μ,1H：μ≤0μ9.指出下列假设检验哪一个属于左侧检验（）。
管理定量分析课程第8章：假设检验
判决
无罪 有罪
陪审团审判
真实的情况
无罪
有罪
判决正确
判决错误
判决错误
判决正确
结论
未拒绝原假设 拒绝原假设
假设检验 总体参数的实际情况
原假设为真 备择假设为真 结论正确 第二类错误 第一类错误 结论正确
11
假设检验中犯Ⅰ型错误的概率，称为显著性水平（level of significance），即指当零假设实际上是正确时，检验统计量落
7
又如：教育部要检验2012年录取的大学新生平均身高是否 达到了170cm标准，这样需要提出原假设（H0）：2012
年大学新生（总体）的平均身高（µ ）是170cm。为了检
验这个假设是否正确，需要根据随机取样的原则，从2012 年的大学新生总体中选取样本并计算样本的平均高度，以 此来检验原假设的正确性。
8
假设检验一般分为参数假设检验和非参数假设检验两种类型。参 数假设检验对变量的要求较为严格，适合于等距变量和比率变量 ，非参数假设检验对变量的要求较为自由，既适合于等距变量和 比率变量，也适用于类别变量和顺序变量。
变量测量层次
分类（nominal）变 量
数学性（interval）变量
4
一、假设与假设检验
假设是科学研究中广泛应用的方法，它是根据已知理 论与事实对研究对象所作的假定性说明。统计学中的 假设一般专指用统计学术语对总体参数所做的假定性 说明。在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理 论和经验事先对研究结果作出一种预想的假设。这种 假设叫科学假设，在统计学上称为研究假设。对这种 研究假设进行证实或证伪的过程叫假设检验。
非参数检验是一种与总体分布状况无关的检验方法，它不 依赖于总体分布的形式。
第八章 假设检验
总体分布已知， 检验关于未知参数
的某个假设
总体分布未知时的 假设检验问题
第一节 假设检验的原理
（一）假设与假设检验
⒈假设：根据已有理论与事实对研究对象所作的假定性说明。假设 检验中一般有两个相互对立的假设，即零假设和备择假设。
⑴零假设：虚无假设、原假设等，是研究者根据样本信息期望拒绝 的假设,以H0表示。
一、平均数差异显著性检验的类型与条件 ㈠平均数差异显著性检验的类型 ⒈单总体平均数差异显著性检验，也叫平均数的
显著性检验。 ⒉双总体平均数差异显著性检验，也叫平均数差
异的显著性检验。 ㈡平均数差异显著性检验的前提条件 ⒈被检验的样本应是随机样本； ⒉总体分布为正态分布。
第二节 平均数差异显著性检验
因为1<2.093,所以,P>0.05，差异不显著。
故该幼儿园4岁男童平均体重与正常男童平均体 重无显著差异。
例题
例4 某实验组随机选择了40名儿童作提高儿童智 力水平实验，实验结束后，对参加实验的儿童 进行韦氏儿童智力测验，结果得到这40名儿童 的智商平均值为105，标准差为12，已知韦氏 儿童智力测验的平均值为100，试问该实验是 否成功？
㈤假设检验的步骤
第一，根据问题要求，提出虚无假设和备择假设。 第二，选择适当的检验统计量。 第三，规定显著性水平。
显著性水平的大小应根据研究问题的实际情况而定。 若要求结果比较精确，则显著性水平应小一些，反之， 可稍大一些。 第四，计算检验统计量的值。 第五，做出决策。
第二节 平均数差异显著性检验
当总体方差已知时,其检验公式为:Z X 源自0SE X其中SE X
0
n
当总体方差未知时,上式中的 0可用它的
概率论与数理统计第八章假设检验
对于(a)小概率P{X 0 u }
u是所选取合适的统计量 U 的分位点
1
单侧检验
P{ X 0 u } x 0 u为拒绝区域
其含义是依这样本x所推断的
小
概率
事
件H
发生
0
了
，
拒
绝H
0
u
拒绝
1
u 拒绝
对于(b)小概率P{X 0 u } (密度函数为对称时)
由 经 验 知 0.015公 斤 ， 为 了 检 验 某 天 机器 工 作 是 否 正 常 ， 抽 取其 所
包 装 的9袋 称 得 重 量 分 别 为0：.497,0.506,0.518,0.524,0.488,0.511,0.510,0.515,0.519； 问这天机器正常否？
现在另一天任然抽取9袋得样本均值x 0.511公斤，推断这天机器是否工作正常?
小 概 率 事 件 是: 样 本 均 值X与 所 假 设 的 期 望0相 差 X 0
不 能 太 大, 若 相 差 太 大 则 拒 绝H0
小概率事件P{ X 0 u }
u
是
2
所
选
取
合
适
的
统
计
量U
2
的
2
分
位
点
1
P{ X 0 u } x 0 u 为拒绝区域 2
较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何 处？应由什么原则来确定？
问题是：如何给出这个量的界限？ 这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：
小概率事件在一次试验 中基本上不会发生(若发 生了则认为假设是错 )
在假设检验中,称这个小概率为显著性水平,用 表示.
第八章 假设检验
第八章 假设检验第一节 假设检验的原理 一、假设与假设检验（一）备择假设就是实验人员希望证实的假设，也称研究假设。
从内容上看，备择假设是假设两个样本统计（或两个总体参数）之间，又或者是样本统计量与总体参数之间存在真实的差异，是一种有差假设。
表达方式有二，即μ≠X 或0≠-μX ； 21μμ≠或021≠-μμ。
（二）虚无假设是研究人员为了证实研究假设是真的而利用概率论的反证法所进行的假设，即从研究假设的反面进行假设，用符号0H 表示。
建立起虚无假设目的是希望通过检验说明虚无假设是假的，以此来证明研究假设是真的。
因此，假设检验都是从虚无假设开始的。
从内容上看，虚无假设是假设两个总体参数之间或样本统计量与总体参数之间不存在真正的差异，其现存的表面差异是由抽样所造成的误差，是一种无差假设，又称零假设或原假设。
表达方式有二，即μ=X 或0=-μX 表示； 21μμ=或021=-μμ。
二、显著性水平（一）显著性水平的意义显著性水平指拒绝虚无假设的小概率值。
从理论上说，显著性水平的理论依据来自小概率事件。
统计中一般认为概率小于或等于0.05的随机事件属小概率事件。
若随机样本统计量的数值在抽样分布上出现的概率等于或小于这些小概率值，就以小概率事件拒绝虚无假设。
从直观上看，当两个总体均数相等时，1μ和2μ会落在Z 轴的同一点上，即0=Z 处，当1μ和2μ有差异时，则会产生差距，其差距在Z 轴上达到或超出±1.96σ时，就被认为出现显著差异，因此±1.96σ之内称接受虚无假设的概率区，其包含的面积达95%。
只要两均数差异检验的Z 值落入该区域，就认为差异不显著，这时应接受虚无假设而拒绝研究假设。
而±1.96σ之外称则拒绝虚无假设的小概率区，其包含面积为5%，称小概率值，即05.0=α。
只要两均数差异检验的Z 值落入这一区域，就认为存在显著差异。
这时应拒绝虚无假设而接受研究假设。
（二）差异显著性的判断规则表8-1 Z 值、p 值与差异显著性的关系Z p 值显著性 符号表示＜1.96 ＞0.05 不显著≥1.96 ≤0.05 显 著 * ≥2.58≤0.01极显著**值得注意的是，显著性水平的取值实际上是因事物的性质、统计的要求及研究者的需求不同确定的。
第八章 假设检验
的分布函数未知，这时检验统计量的精确分布难 于求出或相当复杂，如有可能求出其渐近分布，则 只适用于大样问题.非参数性的检验问题，一般都是 大样问题，如例3中所讨论的检验问题.
第三步，确定 H0 的否定域 如例1中，当原假设H0 成立时，检验统计量 U 服从 正态 N (0，1) ，那么给定满足 0 1 的 值，在标准正
态分布表中查得临界值 u ，使得 P{| U | u } , 或者 P{u |U | u } 1.
若由子样 1,,n 的观察值 x1,, xn ，算得统计量 U 的值 u 落在 (， u ) 或 (u ，) 时则否定 H0，称 (， u ) 及 (u ，) 组成为 H0 的否定域，称 u 为临界值.
如果 多于两个点，0 {0}, 0 { 1} 为非 单点集，即有：
H0 : 0 , H1 : 1. 这时称 H0 为简单原假设, H1 为复合备选假设.
一、数学期望 a 的检验问题
一个总体时 a 的检验：
H0 : a a0 , H1 : a a1.
对原假设 H0作出否定域或不否定的判断，通常称之 为对 H0 作显著性检验.称 为显著性水平，1为置信 水平.以后常用“在显著性水平”下对 H0 作显著性检验” 这类术语.值得强调的是，我们对 H0 作出判断，是冒着
犯第一类错误的风险的.
对于 H0，给定不同的显著性水平 ，对应有不同 的临界值 u，相应地有不同的否定域，因而有不同的 判断结论，这点必须注意，如图（1）所示.
例2 某工厂生产的灯泡其光通量 服从正态分布； 某电话交换台在某段时间接到呼唤次数 是服从泊松 分布.是否正确，如何检验？
上述例1是关于数学期望 E( ) 2 的假设检验问题.
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Z ) 2
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
x 511, n 9, 15, Z0.05 Z0.025 1.96 2
n (x 0 ) 9(511 500) 2.2 1.96
15
于是拒绝 H0，认为这天包装机工作不正常。
• 两类错误
决策 没有拒绝 H0 拒绝 H0
n(x 0 ) 200(0.076 0.081) 2.83 1.96
s
0.025
于是拒绝H0 ，认为新老机床加工零件椭圆度 的均值有显著差异。
（2）样本量小
a) 正态总体，方差已知：
检验统计量为 Z n(X 0) ～N（0，1）
（例8.1）
b)正态总体，方差未知
检验统计量为 Z n(X 0) ～t（n-1） S
真实情况
H0 为真 正确决策 H0 为假 取伪错误
弃真错误 正确决策
• 单侧检验
H0 : 0和H1 : 0 (右边检验 ) H0 : 0和H1 : 0 (左边检验 )
例8.2 某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据 合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于 1000小时。已知灯泡使用寿命服从正态分 布，标准差为200小时。在总体中随机抽取 了100个灯泡，得知样本均值为960小时， 批发商是否应该购买这批灯泡？（ 0.05）
（2）确定检验统计量：t
n(X 0)
S
～t(n-1)
（3）求出拒绝域：
P(| t |
n(X 0)
S
t (n 1)) 2
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
x 5.3, n 10, s 0.3, t0.05 (10 1) t0.025 (9) 2.2622 2
497 506 518 524 498 511 520 515 512
问机器是否正常？( 0.05)
解：（1）提出两个相对立的假设：
H0 : 0 500和H1 : 0
（2）确定检验统计量：Z n(X 0) ～N(0,1)
（3）求出拒绝域：
P(| Z |
n(X 0)
t n(x 0 ) 10(5.3 5) 3.16 2.2622
s
0.3
于是拒绝H0 ，认为该机器的性能不好。
0.01155
例8.8 一项统计结果声称，某市老年人口（年 龄在65岁以上） 所占的比例为14.7%，该 市老年人口研究会为了检验该项统计是否 可靠，随机抽取了400名居民，发现其中有 57 人年龄在65岁以上。调查结果是否支持 该市老年人口比例为14.7%的看法 （ 0.05） ？
例8.7 某机器制造出的肥皂厚度服从正态分布， 均值为5cm,今欲了解机器性能是否良好， 随机抽取10块肥皂作为样本，测得平均厚 度为5.3cm,标准差为0.3cm,试以0.05的显著 性水平检验机器性能良好的假设。
解：:(1)提出假设：
H0 : 5cm机器性能良好
H1 : 5cm机器性能不好
解：（1）提出假设：
H0 : 1000 和H1 : 1000 (左边检验 )
（2）确定检验统计量：Z n(X 0) ～N(0,1)
（3）求出拒绝域：
P(Z
n
(
X
0
)
Z1
)
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
x 960, n 100, 200, Z10.05 Z0.05 1.645
第八章 假设检验1
• 假设检验的基本问题 • 一个总体参数的检验 • 两个总体参数的检验 • 检验问题的进一步说明
第一节假设检验的基本问题
• 假设检验的基本思想和做法 例 8.1 某车间用一台包装机包装葡萄糖。包
得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正 态分布。当机器正常时，其均值为500克， 标准差为15克。某日开工后为检验包装机 工作是否正常，随机地抽取它所包装的糖 9袋，称得净重为（克）：
解:(1)提出假设：
H0 : 0.081mm没有显著差别 H1 : 0.081mm有显著差别
（2）确定检验统计量：Z
n(X 0)
S
～N(0,1)
（3）求出拒绝域：
P(| Z |
n(X 0)
S
Z ) 2
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
x 0.076, n 200, s 0.025, Z0.05 Z0.025 1.96 2
b)方差未知 检验统计量为 Z n(X 0) ～N（0，1）
S
例8.4 某机床厂加工一种零件，根据经验知道， 该厂加工零件的椭圆度渐近服从正态分布， 其总体均值为0.081mm,今另换一种新机床 进行加工，取200个零件进行检验，得到椭 圆度均值为0.076mm,样本标准差为 0.025mm,问新机床加工零件的椭圆度总体 均值与以前有无显著差别？
z n(x 0 ) 100(960 1000) 2 1.645
200
于是拒绝H0 ，认为这批灯泡的使用寿命低于
1000小时，批发商不应购买。
注：P值=P（Z≤z）,若 P 值 < ,则拒绝 H0
第二节 一个总体参数的检验
• 总体均值的检验 （1）样本量大 a) 方差已知:(例8.2） 检验统计量为 Z n(X 0) ～N（0，1）
pˆ 0 0 (1 0 )
～N(0,1)
（3）求出拒绝域：
n
P(| z |
pˆ 0 0 (1 0 )
Z ) 2
n
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
pˆ
57 400
0.1425, n源自400, Z0.05 2
Z 0.025
解：:(1)提出假设：
H0 : 14.7%支持
H1 : 14.7%不支持
• 总体比例的检验
二项分布当n很大时，与正态分布近似，
检验统计量 Z pˆ 0 ～ N(0,1), 0 (1 0 ) n
式中 pˆ 为样本比例； 0 为总体比例 的假设
值。
（2）确定检验统计量：Z