数理统计例题
数理统计学考试题及答案
数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。
数理统计典型例题分析
典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。
由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。
1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。
例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。
我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。
数理统计习题答案-2
数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。
硕士生《数理统计》例题及答案
硕⼠⽣《数理统计》例题及答案《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试⽤矩法和极⼤似然法估计其中的未知参数β。
解：（1）矩法由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(222222222=+-=-=-+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2=（2）极⼤似然法∑===-=-∏ni i i x nni x e21111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122?β2. 设总体X 的概率密度函数为：<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;(其中β>0，现从总体X 中抽取⼀组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别⽤矩法和极⼤似然法估计其未知参数βα和。
解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβαααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-??x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1 )()(222][)(1222222βαβαβαβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+??EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令==2S DX X EX 即==+22SXββα故063.0?,116.2?===-=S S X βα（2）极⼤似然法 )(111),;(αββ===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=??>=??X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，⼜12,,,n X X X α≥L所以05.2?)1(==X α令0ln =??βL 得126.0?)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）⽤矩法估计其未知参数θ；（2）⽤极⼤似然法估计其未知参数θ。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
数理统计习题(汇总)
150 162 175 165
（1） 求 Y 对 X 的线性回归方程； （2） 检验回归方程的显著性； （3） 求回归系数 b 的 95%的置信区间； （4） 取 x 0 =90，求 y 0 的预测值及 95%的预测区间。 8. 为了考察影响某种化工产品转化率的因素 , 选择了三个有关因素: 反应温度 (A)、反应时 间（ B)、用碱量(C)，而每个因素取三种水平，列表如下： 水平 因子 温度(A) 时间（B) 用碱量(C) 1 80℃（ A1 ） 90 分（ B1 ） 5%（ C1 ） 2 90℃（ A2 ） 120 分（ B2 ） 6%（ C2 ） 3 90℃（ A3 ） 150 分（ B3 ） 7%（ C3 ）
X ________， E ( X ) ______, D( X ) ______ .
3. 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i N (0,1).(i 1, 2, , n) 则 的________分布。
2 4. 设 X N (0,1).Y ( n). X 与 Y 独 立 ，则 随 机 变 量 T
2
9． 某厂生产一种乐器用的合金弦线，按以往的资料知其抗拉强度（单位： kg cm 2 ）服从 正态分布 N (10560,802 ) ，今用新配方生产了一批弦线，欲考察这批弦线的抗拉强度是 否有提高，为此随机抽取 10 根弦线做抗拉试验，测得其抗拉强度均值为 x 10631.4 ， 均方差 s 81.00 。 （检验水平 0.05 ） 。 10． 某厂生产一种保险丝，规定保险丝熔化时间的方差不能超过 400。今从一批产品中
2 2 2 sB 1024( h2 ) ，取置信水平为 0.99 ，试求：
（1）
2 1 的区间估计。 2 2
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
数理统计
考点1：子样平均值、方差、顺序中位数、三种分布及其性质1. 设X 1，X 2，…，X n ，是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。
（填空）（★P30 题13）22(1,1)11022()(11)112123i x U a b E X EX b a n n n -+-+====-+===由 DX DX=n 2. 设母体X 具有正态分布N(0，1)，从此母体中取一容量为6的子样（X 1，X 2，X 3，X 4，X 5，X 6）。
又设Y=(X 1+X 2+X 3)2+(X 4+X 5+X 6)2。
试决定常数C ，使得CY 服从χ2分布。
（★P30题15） 解：123456221234562(0,1)(0,1)3(0,1)33()3()33(2)i x N X X XN X X X N X X X X X X Y CY χ++⇒++⇒++++=+ 123456由于 则 X +X +X N(0,3) X +X +X N(0,3) 1则当 C=时，33. 设X 1，X 2，…，X n ，X n+1，…，X n+m 是分布为N(0,σ2)的正态母体容量为n+m 的子样，试求下列统计量的概率分布：（填空）（★P30题18）211122211(1);(2)nnii i i n mn m i i i n i n m X m X Y Y n X nX ==++=+=+==∑∑∑∑。
2211222222111122211(1)(0,)(0,)(0,1)(0,1)(1)()()i nini i i n mii i i n nini ii n mn miii n i n X N XX N n N n X X X N m Xm X n Y t m X nXmσσσχχσσσσσ==+=+==++=+=+⇒⇒⇒==∑∑∑∑∑∑∑ 由于 故22222221222122211222211(2)(0,)(0,1)(1)()()/(,)/i nii i i n mi i n nni ii i n mn mi i i n i n X N X X X N n X m X m X nY F n m X n X mσχχσσσχσσσ=+=+==++=+=+⇒⇒==∑∑∑∑∑∑由于4、设X 1，X 2，…，X n 来自N(0，1)的子样，则2121()()m m n x x b x x +++++ 服从什么分布且b 为多少。
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例题解析（1）例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~222211σμσμN Y N X 。
1621,,,X X X Λ是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y Λ是Y 的一个样本，测得数据∑∑∑∑========1012101161216172,18,563,84i i i i i ii i y y x x（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，22211σσ>：H 。
解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：8.1101ˆ,25.5161ˆ10121611=====∑∑==i i i i y x x μμ。
（2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为∑=-==n i i X X n 122)(1ˆσ。
因此2221σσ和的极大似然估计值为625.716161)(161ˆ161122221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ96.316101)(101ˆ101122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。
待检假设22210σσ≤：H ；22211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。
因为4.4)(91,31.8)(151121221221=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S &。
所以F 同机量得值847.14.415.82221===S S F查F 分布表，得01.391505.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2221σσ不比大。
例2 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。
机器1 机器2 机器3试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）（05.0=α。
解 检验假设3210μμμ==：H 。
i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。
经计算15,5,3321=====n n n n s ，8102.4,8.3,963912.031231512===∑∑∑=⋅==j j j i ijT T x 。
3001245.0151231512&=-=∑∑==T x S j i ij T ， 3001053.0151513122&=-=∑=⋅j j A T T S ,000192.0=-=E T E S S S .因为92.3293.821205.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。
在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。
下面写出常用的几个估计：①sn S E-=2ˆσ是的无偏估计。
②j j x x ⋅==μμˆ,ˆ分别是j μμ,的无偏估计。
③x x j j -=⋅σˆ是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。
④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为))11()((k j E k j n n S s n t x x +--⋅⋅αμ。
例3 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为的 置信区间。
解 000016.0315000192.0ˆ2=-=-=s n S E σ， 262.0ˆˆ256.0ˆ240.0ˆ332211======⋅⋅⋅x x x μμμ，，， 011.0ˆ253.0ˆ1-=-===⋅x x x δμ，， 又由1788.2315025.0=-）（t ， 3610256.152101611--⨯=⨯⨯=+k j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，故323121μμμμμμ---及，的置信度为的置信区间分别为（μ）=（，）， （μ）=（，）， （μ）=（，）。
例4 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。
解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。
待检验 假设032101===ααα：H ，0432102====χβββ：H 。
因为43==s r ，，所以67.98436431159402=⨯⨯-=）（T S ，17.2543643163466412=⨯⨯-⨯=）（A S ，34.6936443147732312=⨯⨯-⨯=）（B S ，16.4=--=B A T E S S S S 。
列出方差分析表如下因为35.3376.4)6,3(16.18145.62(05.005.0=<==<=比比，），F F F F ，所以拒绝01H 和02H ，认为催化剂和原料的影响都是显著的。
例5 设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用（单位：千元）y 如下 所示：求（1）关于x 的回归方程，2σ的无偏估计；（2）检验回归是否显著，并求7=x 时，维修费用y 的预测区间。
解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。
列计算表：并计算下列数据：，）（1020519012112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni ixx x n x l 3.122520513.1121111=⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===n i i n i i ni i i xy y x n y x l 78.15255178.140122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==）（n i i ni i yyy n y l ，解得 23.1103.12ˆ===xx xy l l b， 08.0423.15ˆ1ˆ1=⨯-=-=∑=x b y n ani i 。
所以，线性回归方程为x y23.108.0ˆ+=。
2σ的无偏估计为8837.0)3.11223.178.140(31)ˆ(21ˆ2=⨯-=--=xyyy l b l n σ。
（2）将70=x 代入回归方程得69.8ˆ0=y。
因为35.2)3(,5025.0==t n ，所以0y 的置信度为的置信区间为))(11ˆ)2(ˆ2020xx l x x n n t y-++-±σα（ )893.11,487.5()45.194.035.269.8(=⨯⨯±=。
计算t 统计量187.13908837.023.1ˆˆ===xx l b t σ。
因为187.131824.3)3(025.0=<=t t ，故知回归效果是显著的。
例6（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活天数，问三种菌型的平均存活天数有无显著差异表4-3菌 型接种后存活天数∑=91i ixⅠ型（1A ） 2 4 3 2 4 7 7 2 5 36 Ⅱ型（2A ） 5 6 8 5 10 7 12 6 6 65 Ⅲ （3A ） 7 11 6 6 7 9 5 10 6 67计算：222.6,444.7,22.7,4321====X X X X()()8889.66)168(27144894225129691271)(911122453351517667,65,36221232221121232191232191=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++=++=====⇒=∑∑∑∑∑=====ri i r i i ri iiA j ij i j ij i S S S S S n n S Q SS SS SS x SS S S S x S()6667.1788889.667778.1117778.1112222.1112533515176931231=+=+==-++=-=∑∑==A E T i i i i E Q Q Q S SS Q 列成表格如下，其中，方差来源 平方和自由度均方 F值因素8889.66=A Q误差7778.111=E Q总和6667.178=T Q657.4247778.1114445.3328889.66122==-===-=r n Q S r Q S E E A A1809.76574.44445.33220===E A S S F ，查表()40.324,205.0=F对给定的显著水平05.0=α，查表,40.3)24,2(05.0=F 因40.3)24,2(1809.705.0=>=F F ，故拒绝0H ，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌的平均存活天数有显著差异。
关于未知求2σ， i μ，i δ（i ＝1,2,3）的参数估计2ˆσ＝6574.42==-E E S r n Q 222.2222.6000.4ˆ11-=-=-=X X δ000.1222.6222.7ˆ22=-=-=X X δ 222.1222.6444.7ˆ33=-=-=X X δ i μ的区间估计26.4)24,1(),1(05.005.0==-F r n Fi μ的置信区间为（)),1(2r n F n S X iE i -αμ)),1(2r n F n S iE-α=9/657.4X 26.4=置信区间为的，，%95321μμμ的置信区间为的－均值之差αμμ-1k i （22i 11)(E ki k S n n r n t X X +-αμ－）)(2r n t -α0624.2)24(025.0=t)(2r n t -α211Eki S n n +=100.265.492=⨯⨯ 的置信区间为的－，95%,323,121μμμμμμ--∴（－，－）；（－，－）；（－，）例7.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。
考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：C 0），等温温度（单位：C 0），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。
水平列号 A 加热温度 B等温温度 C淬火返修次数 1 2 3900 880 860250 260 2700 1 2因为是3元素3水平，选择正交表)3(49L 合适。
表头设计 A B C列号试验号1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1（900） 2（880） 3（860） 1 2 3 1 2 3 1（250） 1 1 2（260） 2 2 3（270） 3 3 3（2） 1（0） 2（1） 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3确定试验方案 在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。