九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程解读二次函数素材(新版)北师大版
二次函数图像平移题型、题型解读5 二次函数与一元二次方程关系题型-北师大版九年级数学下册教学讲义
题型解读4 二次函数图像平移题型【解题方法】1.平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”2.注意：①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
【典型例题】1．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ B ）2.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）AA．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）y=﹣2（x﹣1）2+24.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）y=（x﹣4）2﹣25.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的解析式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的解析式为（）A. y=x2+8x+14B. y=x2−8x+14C. y=x2+4x+3D. y=x2−4x+3解析：考查二次函数图像的平移。
∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),∴点C与A关于原点对称，∴C(-2,-1),纸上的点与二次函数同时移，即相当于二次函数平移，该点由点A移到点C，即向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，则二次函数也随之向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，∴二次函数的解析式为：y=(x+4)2−2，选A6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027 ，4027 ）．解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），所以M2014，2014×2﹣1=4027 （4027，4027），7.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（（10.5，﹣0.25））．解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（2.5，﹣0.25）P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（10.5，﹣0.25）．题型解读5 二次函数与一元二次方程关系题型【知识梳理】一.二次函数与一元二次方程的关系二.二次函数最值问题(一).对二次函数2(0)y axbx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2ba x a>=-时，244ac b y a-=最小值（2）当0,2ba x a<=-时，244ac b y a -=最大值（3）可直接根据图象或采用配方法和公式法求二次函数的最值.三.二次函数表达式（一）二次函数的三种表示方法1、解析法（用函数表达式表示）；2、表格法；3、图像法 （二）用待定系数法求二次函数的解析式(简称”一般两根三顶点”) （1）一般式：c bx ax y++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y+-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=(即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 求根公式验证素材 (新版)北师大版
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/5/72022/5/72022/5/72022/5/7
谢谢收看
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月7日 星期六2022/5/72022/5/72022/5/7
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 2022/5/72022/5/72022/5/75/7/2022
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/5/72022/5/7May 7, 2022
先求出一元二次方程x2+2x-1=0的根， 再结合二次函数y=x2+2x-1的图像.求 出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0时， x的取值范围. 解：根据求根公式可以得x2+2x-1=0 的根为 x1=-1- 2 ，x2=-1+ 2 .
二次函数y=x2+2x-1的图像如下.
y y=x2+2x-1
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11、人总是珍惜为得到。2022/5/72022/5/72022/5/7M ay-227-May-22
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12、人乱于心，不宽余请。2022/5/72022/5/72022/5/7Saturday, May 07, 2022
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/5/72022/5/72022/5/72022/5/75/7/2022
-2 O 1
-3x1 -1 x2 2
x
根据图像可以知，当x<x1或者x>x2时， y=x2+2x-1>0；当x1<x<x2时，y<0.
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2022/5/72022/5/7Saturday, May 07, 2022
北师大版九年级下册数学《二次函数与一元二次方程》二次函数教学说课(第2课时)
课堂小测
解：（1）由题意得
-1-b+c=0, c=3,
解得
b=2, c=3,
故所求解析式为y=-x2+2x+3 .
（2）令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1, x2=3,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3 , 0) ,
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围 是－1＜x＜3．
(2).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根 为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
小组交流
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应 该注意什么？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
。
（-2，0）和（3，0）
2 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）c
A 两个交点 B 一个交点
C 没有交点 D 画出图象后才能说明
3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。 抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为： （-2，0）和（3，0）
2
(1)求m的值. (2)先作y=x2-(m+1)x+1 (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后
2
将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写 出变化后图象的解析式. (3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点 时,求n2-4n的最大值和最小值.
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。
接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。
2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
九年级数学下第2章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系习题北师大
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
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1D 2A 3C 4B
5C 6D 7C 8A
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9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
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1．【2020·成都】关于二次函数 y＝x2＋2x－8，下列说法正确的 是( D ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为(0，8) C．图象与 x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D．y 的最小值为－9
【答案】C
8．【中考·徐州】若函数 y＝x2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交
点，则 b 的取值范围是( A )
A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b
＞0，解得 b＜1.但本题易忽略与 x 轴的交点不能在原点上，即 b
【答案】D
7．【2020·遵义】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝－2. 抛物线与 x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其 部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有( ) ①4a－b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个 不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】①∵对称轴在 y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，
∵c＜0，∴abc＞0，故①正确； ②∵对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴2a＋b＝0，故②正确； ③∵2a＋b＝0，∴a＝－12b，∵当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＞0， ∴－12b－b＋c＞0，∴3b－2c＜0，故③正确；
2024北师大版数学九年级下册2.5.1《二次函数与一元二次方程》教学设计
2024北师大版数学九年级下册2.5.1《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上，引出一元二次方程，并通过解决实际问题，让学生了解一元二次方程的解法及其应用。
教材通过生活中的实例，引导学生探究一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识和图像，对于一元二次方程也有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深而产生困惑。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深化对二次函数和一元二次方程的理解，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，并能应用于实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.难点：如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程解决。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生自主探究，合作解决实际问题，从而提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关实际问题素材。
3.投影仪、白板等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某商品打8折后的售价为120元，请问原价是多少？”让学生思考并尝试解决。
2.呈现（10分钟）教师引导学生将实际问题转化为数学模型，呈现出一元二次方程的形式。
例如，设商品原价为x元，则打8折后的售价为0.8x，根据题意可得方程0.8x = 120。
3.操练（10分钟）教师引导学生运用一元二次方程的解法求解问题。
首先，让学生回忆二次函数的图像和性质，然后引导学生利用“开平方法”求解方程。
九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程课时教案 北师大版(2021学年)
九年级数学下册２.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版)北师大版的全部内容。
２.５二次函数与一元二次方程一、教学目标1。
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。
二、课时安排1课时三、教学重点理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根．四、教学难点理解一元二次方程的根就是二次函数与ｘ轴交点的横坐标.五、教学过程(一）导入新课1。
一元二次方程aｘ2+bx＋c=0 的求根公式是什么？2.解下列一元二次方程:(１)x2+2x=０（2)x2－2x+１=0 （3)x2-2x+2=0.（二)讲授新课活动１:小组合作探究1:我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (ｍ）与运动时间ｔ(s)的关系可以用公式h=-5t 2＋v 0ｔ ＋h 0 表示，其中h 0 （ｍ)是抛出点距地面的高度，v ０ (m/ｓ）是抛出时的速度.一个小球从地面被以4０ ｍ／s 的速度竖直向上抛起，小球的高度ｈ (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么(1)ｈ与ｔ 的关系式是什么？（2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴交流。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
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解读二次函数
我们知道，二次函数是函数大家族中的极为重要的成员之一，它的许多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学习时一定要深刻领会以下几个问题：
一、正确理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达式
一般地，形如y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y＝－
x2，y＝x2+3x，y＝x2+x－3，等等都是二次函数.
二次函数解析式的表达形式有：①一般式：y＝ax2+bx+c(a≠0)；②顶点式：y＝a(x－h)2+ k，顶点为(h，k)；③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2表示图象与x轴两交点，即(x1，0)、(x2，0).
二、知道二次函数的图象和性质
一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点. a越大，抛物线的开口越小；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. a越大，抛物线的开口越大.
三、知道形如y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的图象都可以由抛物线y＝ax2平移
而得到
一般地，抛物线y＝a(x－h)2+ k与y＝ax2形状相同，位置不同.把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2+ k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.
抛物线y＝a(x－h)2+ k有如下特点：①当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
②对称轴是直线x＝h；③顶点坐标是(h，k).
四、能确定抛物线顶点与对称轴的公式，会求二次函数的最值
一般地，我们可以用配方求抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.即y＝ax2+bx+c ＝a+.因此，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，).
一般地，因为抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(高)点，所以当x＝－时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小(大)值.
如，y＝－x2+2x－3＝－(x－1)2－2的对称轴是x＝1，顶点坐标是(1，－2)；顶点是最
高点，当x＝1时，有最大值－2.
五、知道二次函数与一元二次方程的关系
一般地，从二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知：①如果抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2+bx+c＝0
的一个根；②二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由此可知，对于二次函数y＝ax2+bx+c，若设△＝b2－4ac，则△的符号决定抛物线与x
轴交点情况：当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时的两个交点的横坐标即为一元二
次方程ax2+bx+c＝0的两个不等的实数根；当△＜0时，抛物线与x轴有一个交点，此时的这
个交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个相等的实数根；当△＝0时，抛物线
与x轴没有交点，此时的一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根.以上结论的逆命题也成立.
如，已知二次函数y＝－x2+4x.求函数图象与x轴的交点坐标.
若设y＝0，则－x2+4x＝0，即x(x－4)＝0，所以x1＝0，x2＝4，所以图象与x轴的交点坐标为：(0，0)与(4，0).
六、明确待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法
一般地，在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x，y•的值)•可设解析式为y＝ax2+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解；在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设解析式为y＝a(x－h)2+k；在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴，则可设解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)来求解.
如，二次函数的图象经过点(－3，2)，(2，7)，(0，－1)，求其解析式.
不妨设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c.则把(－3，2)，(2，7)，(0，－1)三点坐标代入上式，得解得a＝1，b＝2，c＝－1.即所求二次函数为y＝x2+2x－1.
另外，由已知图象的平移或翻折变换求表达式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即y＝a(x－k)2+h的形式，若图象右(左)移动几个单位，k的值就减(加)几个单位，若图象向上(下)移动几个单位，h的值就加(减)几个单位.当的图象绕顶点旋转180°，即翻折时，旋转前后顶点坐标不变，而开口方向相反，故二次顶系数互为相反数；
当图象沿x轴翻折时，翻折前后顶点关于x轴对称，开口方向相反.。