最新九年级数学求二次函数解析式专题讲解

最新九年级数学求二次函数解析式专题讲解
类型一利用“三点式”求二次函数解析式
1.已知一个二次函数的图象经过A(0,-1)、B(1,5)、C(-1,-3)三点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)用配方法把这个函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式.
解析(1)设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
-
根据题意得
--
解得
-
所以这个二次函数的解析式为y=2x2+4x-1.
(2)y=2x2+4x-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3.
2.已知二次函数的图象经过点(0,3)、(-3,0)、(2,-5).
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.
解析(1)设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 将(0,3)、(-3,0)、(2,-5)代入y=ax2+bx+c,得
解得--
∴此二次函数的解析式是y=-x2-2x+3.
(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,
∴点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.
3.已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点D是抛物线上一点,且点D的横坐标为-2,求△AOD的面积. 解析(1)把A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c得-
-
解得-
-
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5,即D(-2,5),
∵A(3,0),∴OA=3,
∴S△AOD=×3×5=.
类型二利用“顶点式”求二次函数解析式
4.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点坐标为(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么该抛物线的解析式是()
A.y=-2x2+8x+3
B.y=-2x2-8x+3
C.y=-2x2+8x-5
D.y=-2x2-8x+2
答案C根据题意,设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3(a≠0),因为该抛物线经过点(3,1),所以a+3=1,a=-2.所以抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3=-2x2+8x-5.故选C.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数值y与自变量x的部分对应值如
下表:
x …-1 0 1 2 3 …
y …10 5 2 1 2 …
(1)求该函数的表达式;
(2)当y<5时,x的取值范围是.
解析(1)由题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,1), 设函数的表达式为y=a(x-2)2+1.
由题意得函数的图象经过点(0,5),
所以5=a·(-2)2+1.
所以a=1.
所以函数的表达式为y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).
(2)由所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2,
∴(0,5)和(4,5)均在该函数图象上.
∴当y<5时,对应的x的范围为0<x<4,
故答案为0<x<4.
6.已知二次函数图象的顶点坐标为(2,-2),且经过点(3,1),求此二次函数的解析式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.
解析根据题意,可设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-2(a≠0),
把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,得a(3-2)2-2=1,
解得a=3,
所以二次函数的解析式为y=3(x-2)2-2.
当x=0时,y=3×4-2=10,
所以该函数图象与y轴的交点坐标为(0,10).
类型三利用“交点式”求二次函数解析式
7.如图22-5-1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(4,0),C(0,3)三点,求抛物
线的解析式.
图22-5-1
解析根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4)(a≠0),把C(0,3)代入得a·(-1)×(-4)=3,解得a=,所以抛物线的解析式为y=(x-1)(x-4),即y=x2-x+3.
8.已知关于x的二次函数的图象与x轴交于(-1,0),(3,0)两点,且图象过点(0,3).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
解析(1)∵二次函数的图象交x轴于(-1,0),(3,0)两点,
∴设该二次函数的解析式为y=a(x-3)(x+1)(a≠0).
将(0,3)代入,得3=a(0-3)×(0+1),
解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),
即y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴这个函数的图象的开口向下,对称轴为直线x=1.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)
图22-5-2
解析(1)根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)·(x+3)(a≠0),
把C(0,-3)代入得a×(-1)×3=-3,
解得a=1,
所以这个二次函数的解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
(2)∵A(1,0),B(-3,0),
∴AB=4.
设P(m,n),
∵△ABP的面积为6,
∴AB·|n|=6,
解得n=±3,
当n=3时,m2+2m-3=3,
解得m=-1+或-1-,
∴P(-1+,3)或P(-1-,3).
当n=-3时,m2+2m-3=-3,
解得m=0或m=-2,
∴P(0,-3)或P(-2,-3).
故P(-1+,3)或P(-1-,3)或P(0,-3)或P(-2,-3).
类型四利用“平移规律”求二次函数解析式
10.如图22-5-3,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为A'、B'.若
曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()
图22-5-3
A.y=(x-2)2-2
B.y=(x-2)2+7
C.y=(x-2)2-5
D.y=(x-2)2+4
答案D如图,连接AB、A'B',则S阴影=S四边形ABB'A'.
由平移可知,AA'=BB',AA'∥BB',
∴四边形ABB'A'是平行四边形.分别延长A'A、B'B交x轴于点M、N.
∵A(1,m)、B(4,n),
∴MN=4-1=3.
∵S▱ABB'A'=AA'·MN,
∴9=3AA',解得AA'=3,
即原函数图象沿y轴向上平移了3个单位,
∴新图象的函数表达式为y=(x-2)2+4.
11.将抛物线y=3(x-4)2+2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后抛物线的解析式是.
答案y=3(x-5)2-1
解析y=3(x-4)2+2的顶点坐标为(4,2),将其向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度所得点的坐标为(5,-1),所以平移后抛物线的解析式为y=3(x-5)2-1.
12.如图22-5-4,抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后,顶点在直线y=x上的M处,则平移后抛物线的解析式为.
图22-5-4
答案y=(x-1)2+1
解析抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后,顶点在直线y=x 上的M处,则平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.
13.如图22-5-5,△OAB的OA边在x轴上,其中B点坐标为(3,4)且OB=BA.
(1)求经过A,B,O三点的抛物线的解析式;
(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设点A,B的对应点分别为点A',B',若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的解析式.
图22-5-5
解析(1)∵B点坐标为(3,4)且OB=BA,
∴A(6,0).
设所求抛物线的解析式为y=ax(x-6),
将(3,4)代入,可得4=-9a,
∴a=-,
∴y=-x(x-6)=-x2+x.
(2)∵B点坐标为(3,4),OB=BA,
∴A(6,0),
∴BA==5.
∵四边形ABB'A'为菱形,
∴BB'=BA=5.
①若抛物线沿x轴向右平移,则B'(8,4),
∴平移后抛物线的解析式为y=-(x-8)2+4;
②若抛物线沿x轴向左平移,则B'(-2,4), ∴平移后抛物线的解析式为y=-(x+2)2+4.。