2017年春季学期新人教A版高中数学选修2-2：第三章数系的扩充与复数的引入A
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的
方法技巧 复数与函数的综合应用
对于求复数的题目，一般的解题思路是： 先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结 合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的 代数形式写出来. 例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.
12345
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中
点，则点C对应的复数是( A.4＋8i
)C B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3). 由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)， 故点C对应的复数为2＋4i.
答案 返回 第十页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型探究
重点突破
题型一 复数与复平面内的点 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚 轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m 的取值范围.
反第思十与一页感，悟编辑于星期五：十解七点析一答分。案
圆环，并且包括圆环的边界.
反思第十与六页感，悟编辑于星期五：十七解点析一答分。案
2π
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i， ∴|z－i|＝ x2＋y－12， 由|z－i|≤ 2知 x2＋y－12≤ 2，x2＋(y－1)2≤2.
解析答案 第十八页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型三 复数的模及其应用
例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2，
【教育资料】人教版高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学案3.1：数系的扩充与复数的概念(学生
数系的扩充与复数的概念__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．一．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C ＝{a ＋bi|a ，b ∈R|}中的数，即形如a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫做复数．其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝___________．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的___________与___________．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C ＝___________．二．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋bi|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋bi ，c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋bi 与c ＋di 相等的充要条件是___________．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．三．复数的分类(1)复数a ＋bi(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a≠0）. (2)集合表示：四．复平面、实轴、虚轴点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)可用点___________表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做___________，y 轴叫做___________，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示___________．五．复数的几何意义六．复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|且|z|＝___________．类型一.复数的概念例1：请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 练习1：复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？练习2：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？类型二.复数相等的条件例2：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .练习1：满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______. 类型三.复数的分类例3：设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R)，如果z 是纯虚数，求m 的值.练习1：已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 类型四.复数的几何意义例4：复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________________．练习1：实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：(1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．类型五.复数的模例5：已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．1.若复数2-b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数,则b 的值为( )A .-2B .1C .-1D .22.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则( )A .M ∪R=I B.(∁I M )∪R=IC.(∁I M )∩R=RD.M ∩(∁I R )=⌀3.若复数(x 2+y 2-4)+(x-y )i 是纯虚数,则点(x ,y )的轨迹是( )A .以原点为圆心,以2为半径的圆B .两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C .以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D .以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点,)[来源:14.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( )A.-2B.3C.-3D.±35.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i6.已知0<a<2,复数z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是( )A.(1,) ) C.(1,3) D.(1,5)7. 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限８． 复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --９． 设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 １０．已知z 1=-4a+1+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R,z 1>z 2,则a 的值为____________.１１.已知复数z 1=x+yi,z 2=x+(x-3y)i,x,y ∈R.若z 1=z 2,且|z 1|=,则z 1=____________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则2x+y的值为( )A. B.2 C.0 D.12.已知集合M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3},且M ∩N={3},则实数m 的值为( )A.4B.-1C.-1或4D.-1或63.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i 2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i5.已知复数z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z 对应点的轨迹为( )A .一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆6.已知在△ABC 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.7.在复平面内,若复数z=(m 2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.14．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．。
2016-2017学年人教A版数学选修2-2课件 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数代数
第一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2.2 复数代数形式的乘除运算
第二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[学习目标] 1.理解复数代数形式的乘、除运算法则 (重点)． 2.会进行复数代数形式的乘、除运算(重点、难 点)．
第三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
归纳升华 (1)由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复 数时，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成 代数形式，再写出其共轭复数； (2)涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如 z＋z- 等于 z 的实部的两倍，z·z- ＝|z|2 等，另外注 意复数问题实数化及方程思想的应用．
第八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：(1)错，两个复数互为共轭复数是它们的模相 等的充分条件．
(2)错，如 z1＝1，z2＝i，满足 z21＋z22＝0，但 z1≠z2≠0. (3)对，如 z1＝1＋i，z2＝1－i，z1z2＝2 为实数． 答案：(1)× (2)× (3)√
第九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
第五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称 这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z- 表示．即 z＝a ＋bi，则z- ＝a－bi． 4．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)， 则zz21＝ac＋＋dbii＝_ac_c2_＋＋__bd_d2_＋__bc_c2_－＋__ad_d2_i ．
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2
答案： C
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z2＝________. 解析： 2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝212－i＋1＋2i＋i2 ＝1－i＋2i＝1＋i.
答案： 1＋i
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)(1＋2i)·(3－4i)＝3－4i＋6i－8i2
＝11＋2i.
(3)1－2－2i3i＝1－2＋2ii＝1－2＋2ii11＋＋
2i 2i
＝
2＋2i＋i＋ 1－ 2i2
2i2＝1＋3i 2＝i.
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
共轭复数
设z1，z2为共轭复数，且(z1＋z2)2－3z1z2i＝4－6i， 求z1和z2.
[思路点拨]
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
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(4)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
A．A C．C
B．B D．D
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代
自主学习
重点突破
自查自纠
第三页，编辑于星期五：十七点 一分。
知识梳理 知识点一 复数的乘法
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋d i)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有
返回 第二十七页，编辑于星期五：十七点 一分。
第六页，编辑于星期五：十七点 一分答。 案
知识点三 复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋d i(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋db
i a＋b i＝c＋d
ic－d ic－d
i ac＋bd bc－ad i＝c2＋d 2＋c2＋d 2i.
思考 写出下列各题的计算结果. (1)1i ＝ －i .
1＋i (2)1－i＝
第十页，编辑于星期五：十七解点 一析分答。 案
例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
1＋2i 1＋2i3＋4i 解 (1＋2i)÷(3－4i)＝3－4i＝3－4i3＋4i ＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
(2)11－ ＋ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
解
原式＝1＋i26＋ 2
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
第一页，编辑于星期五：十七点 一分。
学习 目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
第二页，编辑于星期五：十七点 一分。
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
人教A版高中数学高二选修2-2课件 第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.1
解析 答案
反思与感悟
(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x， y∈R).
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝__6_－__2_i__. 解析 ∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.
1234 5
解析 答案
规律与方法
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆 运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几 何意义就是向量减法的三角形法则.
本课结束
解答
(1)技巧：
反思与感悟
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工
具运用于几何之中.
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点 为C，O为坐标原点.
①四边形OACB为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝__1_0_. 解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
√A.1
B.－1
C.12－
பைடு நூலகம்
人教a版数学【选修2-2】第3章《数系扩充与复数引入》总结课件
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有
2 a －1＝0， 2a＜0.
∴a＝－1.
3．(2013· 吉林白山一中高二期末)若复数 1＋i、－2＋i、3 －2i 在复平面上的对应点分别为 A、B、C，BC 的中点 D，则 → 向量AD对应的复数是( 3 5 A．2－2i 3 5 C．－2＋2i ) 1 3 B．2＋2i 1 3 D．－2－2i
[答案] 1
[解析] 设 z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z2＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i. ∵z2 的实部是－1.即 a－b＝－1， ∴z2 的虚部 b－a＝1.
典例探究学案
复数的概念 熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的 条件是熟练解答复数题的前提．
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 章末归纳总结
1
自主预习学案
1.复数代数形式z＝a＋bi中，a、b∈R应用复数相等的条件， 必须先化成代数形式． 2．复数表示各类数的条件，其前提必须是代数形式z＝a＋ bi(a，b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯 虚数的区别． 3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同类 项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
[答案] A
)
B．在圆上 D．不能确定
2＋i 2＋i1＋i [解析] ∵a＋bi＝ ＝ 2 1－i 1 3 ＝2＋2i(a，b∈R)， 1 a＝2 ∴ b＝3 2
，
1 3 5 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝2>2，
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计
人教版高中选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计教学目标1.了解实数系中的全序性、稠密性等性质，掌握有理数集、无理数集的基本概念及其运算；2.通过数系的扩充引入复数，掌握复数的定义、性质及四则运算；3.学会应用复数解决实际问题，理解复数概念在物理、工程等领域的重要性。
教学内容及教学步骤教学内容1.数系的扩充–实数集的基本概念–有理数集和无理数集的运算–实数集中的全序性、稠密性2.复数的引入–复数的定义–复数的加减法–复数的乘法–复数的除法–复数的共轭–复数的模及其性质–复数的辐角及其性质3.复数的应用–两个复数的等式与不等式–解二次方程–用复数解决物理、工程等实际问题教学步骤1. 导入•介绍数系的扩充概念，通过实际生活中的例子，让学生意识到数学思想存在于日常生活中，并引出本节课的主要内容——数系的扩充和复数的引入。
2. 讲解实数集•通过具体实际生活中的例子，引出实数集的定义，教师向学生明确有理数集和无理数集的概念以及其基本性质。
3. 讲解复数的引入•介绍复数的定义和基本性质，通过实际生活中的例子进行说明，使学生明白复数是怎么来的，具有什么样的意义。
4. 讲解复数的运算•详细讲解复数的加减、乘除及模与辐角的性质，并通过例题加强巩固。
5. 复数应用•通过实际的案例，讲解复数在物理、工程等领域的应用，让学生更加深入地理解并意识到复数的重要性。
6. 总结•对本节课的主要内容进行概括性讲解，帮助学生加深对数系扩充和复数引入的理解，并向学生明确下一步的学习目标。
教学反思本节教学难度较大，需要学生具有一定的数学基础，并且对抽象的概念有一定的理解。
因此，在教学过程中，应重点强化概念的理解和例题的演示，同时在教学前期，为学生做好概念的铺垫，以便在后续的教学中更好地理解和掌握相关知识。
在教学过程中，需要讲师灵活运用多种方法，如课堂讲解、案例分析、数学实验、小组讨论等，以便提高学生的参与程度和知识掌握程度。
最后，在教学过程中，应结合实际应用，将抽象的数学知识与实际生活联系起来，让学生明白这些概念和知识的实际意义和用途。
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第三章测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．i 是虚数单位，则i 1＋i
的虚部是( ) A ．12i B ．－12i C ．12 D ．－12
3．设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为1－2i ，－4＋3i ，那么向量BA 对应
的复数是( )
A ．－5＋5i
B ．－5－5i
C ．5＋5i
D ．5－5i
4．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
5．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且12z z ⋅是实数，则实数t 等于( ) A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34
6．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( )
A ．－2－2i
B ．－2＋2i
C ．2－2i
D ．2＋2i
7．设a 是实数，且a 1＋i
＋1＋i 2是实数，则a 等于( ) A ．12 B ．1 C ．32
D ．2 8．已知z
1＋i
＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i
C ．3＋i
D ．3－i
9．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 为( )
A ．1
B ．0
C ．3
D ．复数无法比较大小
10．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈Z )，则集合{f (n )|n ∈Z }中元素有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．无数个
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．
12．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________.
13．设z ∈C ，且(1－i)z ＝2i(i 是虚数单位)，则z ＝__________，|z |＝__________.
14．复数z 1＝1＋3i ，z 2＝2－i ，则复数z 1z 2
的虚部是________． 15．数列{a n }满足a 1＝2i ，(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，则a 10＝__________.
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是3＋i ，向量AC 对应
的复数是－2－4i ，向量BC 对应的复数是－4－i ，求B 点对应的复数．
17．(本小题6分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(本小题6分)设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i
，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 19．(本小题7分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2
在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、1．解析：由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，
则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，故选D ．
答案：D
2．解析：
i 1＋i
＝i(1－i)2＝1＋i 2，虚部为12. 答案：C 3．解析：BA 对应的复数为1－2i －(－4＋3i)＝5－5i ，故选D ．
答案：D
4．解析：⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 2
2＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.
答案：A
5．解析：12z z ⋅＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.
因为12z z ⋅是实数，所以4t －3＝0，
所以t ＝34
.因此选A ． 答案：A 6．解析：因为z －i ＝52－i ＝5(2＋i)(2－i)(2＋i)
＝5(2＋i)5＝2＋i ，所以z ＝2＋i ＋i ＝2＋2i. 答案：D
7．解析：a 1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i)2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由题意可知1－a 2
＝0， 即a ＝1.
答案：B
8．解析：∵z 1＋i ＝2＋i ， ∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，
∴z ＝1－3i.
答案：B
9．解析：∵m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10，且虚数不能比较大小，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2
<10，m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |<10，m ＝0或m ＝3，
m ＝3或m ＝1，∴m ＝3.
当m ＝3时，原不等式成立．故选C ．
答案：C
10．解析：f (n )＝i n ＋(－i)n ，i n 和(－i)n (n ∈Z )的最小正周期均为4，n 取特殊值1,2,3,4，可得相应的值f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2.故选C ．
答案：C
二、11．解析：复数z 对应的点的坐标为(m －1，m ＋2)，又该点在直线y ＝2x 上，故m ＋2＝2(m －1)，解得m ＝4.
答案：4
12．解析：因为z ＝1－2i ，所以z ·z ＝|z |2＝5，
所以z ·z ＋z ＝6－2i.
答案：6－2i
13．解析：由题意得，z ＝2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)
＝－1＋i ， 所以|z |＝(－1)2＋12＝ 2.
答案：－1＋i 2
14．解析：z 1z 2＝1＋3i 2－i ＝(1＋3i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－15＋75
i ， 所以复数z 1z 2的虚部是75
. 答案：75
15．解析：由(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，
得a n ＋1a n ＝1－i 1＋i
＝－i ， 所以数列{a n }是等比数列，
于是a 10＝a 1·(－i)9＝2i·(－i)9＝2.
答案：2
三、16．解：因为向量AC 对应的复数是－2－4i ，向量BC 对应的复数是－4－i ，所以
AB 表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB ＝OA ＋AB 对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)
＝5－2i ，所以B 点对应的复数为5－2i.
17．解：∵z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i
＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，
∴(1)由m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．
(2)由m 2－3m ＋2≠0，得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．解：z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3(1－i)2＋i
＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)(2＋i)(2－i)
＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，
(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝4. 19．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15
(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15
(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝0，15
(2y ＋x )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝－2， ∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2
＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， ∴2＜a ＜6.
∴实数a的取值范围是(2,6)．。