第一章 质点运动学习题分析与解答

第一章 质点运动学部分习题分析与解答
第一章 质点运动学部分习题分析与解答
1-1 已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为 x=2m+(6m•s-2)t2-(2m •s -3)t3 .求(1)质点在运动开始后 4.0s内位移的大小;（2）质点在该时间内所通过的路程。
（1）质点在4.0s的位移的大小：
x x4 x0 32m
第一章 质点运动学部分习题分析与解答 (10 3t 2 )i 2t 2 j
(2)由上述结果可得质点y/m 消去参数t,可得运动的轨迹方程
3y 2x 20
这是一个直线方程.直线的斜率:
k dy tg 2 , 33041 o
dx
s
v0t
1 2
bt 2
运
动,v0、b都是常量。（1）求t时刻质点的总加速度；（2）t为
何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度达到b时，质点
已沿圆周运动了多少圈？
分析： 在自然坐标中，s表示圆圆上从某一点开始的曲线坐
标，由给定的运动方程s=s(t),对时间求一阶、二阶导数，即
是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量at,而加速度的法 向分量为an=v2/R。这样总加速度a=atet+anen。至于质点在t时
质点在竖直平面内的运动方程得到。由于水平距离x已知,球门 高度又限定了y方向的范围，故只需将x、y值代入即可求出。
解： 取图示坐标系Oxy，由运动方程
x vtcos ,
消去t得轨迹方程
y vtsin 1 gt2
2
y
xtg
g 2v2
(1
tg
2
)x2
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以x=25.0m，v=20.0m.s-1及3.44>=y>=0代入后，可解得
h
v0t
1 2
at
2
则: d h h 0.716m
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1-5一质点P沿半径R=3.00m的圆周作匀速率运动,运动
一周所需时间为20.0s,设t=0时,质点位于o点,按图中所
示oxy坐标系,求:(1)质点P在任意时刻的位矢;(2)5s时的
速度和加速度.
如图所示,在oxy坐标系中,因 2 t ,则
3
10
X/m
轨迹如图所示.
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1-11 一足球运动员在正对门前25.0m处以20.0m.s-1的初速率 罚任意球,已知球门高为3.44m。若要在垂直平面内将足球直 接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？ (足球可视为质点) 分析： 被踢出后的足球，在空中作斜抛运动，其轨迹方程可由
解： 因ωR=v，由题意ω∝t2得比例系
k
t2
v Rt2
2rad s 3
所以ω=ω（t)=(2rad.s-3)t2
则t’=0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为
(2rad s3 )t'2 0.5rad s1
d (4rad s3 )t' 2.0rad s2
dt
at R 1.0m s2
j
dt
dt
则t1=1.00s时的速度为:
v 2.00i 4.00 j
切向和法向加速度分别为:
dv d at dt dt (
vx2
v
2 y
)
d ( 2.002 (4.00t)2 ) 3.58m s2 dt
an a2 at2 ) 1.79m s2
1在-9t=一0时质,点其具速第一有度章恒为定零质加点,位运速置动度矢学a量部分r(06习m题(1s分0m2析))ii与.解(求4答m:（ s1）2 )在j, 任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在oxy平面上
s
st
s0
v02 2b
因此质点运行的圈数为
n s v02
2R 4bR
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1-17 一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度 与时间的平方成正比。在t=2.0s时测得轮缘一点的速度为 4.0m.s-1。求（1）该轮在t’=0.50s的角速度，轮缘一点的切向 加速度和总加速度；（2）该点在2.0s内所转过的角度。
间内通过的路程，即为曲线坐标的改变量 s st s0
因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然求得。
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解： （1）质点作圆周运动的速率为
v
ds dt
v0
bt
其加速度的切向分量和法向分量分别为
at
d 2s dt 2
b,
故加速度的大小为
an
v2 R
(v0 bt)2 R
r[(12rad s3 )t 2 ]2 r(24rad s3 )t
解得
t 0.55s
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1-19 一无风的下雨天，一列火车以v1=m.s-1的速度匀速前进， 在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成750角下降。求雨 滴下落的速度v2 。（设下降的雨滴作匀速运动）
1-7 r
质点在oxy平面内运动,其运动方程为 (2.00m s1)ti [19.0m (2.00m s2 )t
2
]
j
求:(1)质
点的轨迹方程;(2)在t1=1.00s到t2=2.00s时间内的平均
速度;(3)t1=1.00s时的速度及切向和法向加速度.
(1)由参数方程
x 2.00t y 19.0 2.00t 2
1-18 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角速度位置
2rad (4rad s3 )t3. 求（1）在t=2.0s时质点的法向
加速度和切向加速；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速 度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为多少时，法向加速度 和切向加速度的值相等。
分析： 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系， 应用运动学求解的方法即可得到。
分析： 首先应该确定角速度的函数关系ω=kt2。依据角量与 线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度，从而求出 式中的比例系数k,ω=ω(t)确定后，注意到运动的角量描述与 线量描述的相应关系，由运动学中两类问题求解的方法（微分 法和积分法），即可得到特定时刻的角速度、切向加速度和角 位移。
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71.11 1 69.92
说明：在初速度一定的条件 下，球击中球门底线或球门 上缘都对应有两个不同的投 射倾角（如图），如果投射 角不在上述范围，踢出的球 将因射程不足或越过球门而 不能射入球门。
27.92 2 18.89
3.44m
θ1 θ2
25m
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1-14 一质点沿半径为R的圆周按规律
解： （1）由于 则角速度
2rad (4rad s3)t3. d (12rad s3)t 2.
dt
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在t=2s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为
an t2s r 2 2.30102 m s2
at
t2s
r
d
dt
4.80m s2
（2）当
at
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总加速度
a
at
an
Ret
2
Ren
a (R)2 (2R)2 1.01m s2
在2.0s内该点所转过的角度
0
2s
dt
0
2s (2rad s 3 )t 2dt
0
( 2 rad s3 )t 3 5.33rad 3
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a an2 at2
R2b2 (v bt)4 R
其方向与切线之间的夹角为
arctg an arctg[ (v0 bt)2 ]
at
Rb
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（2）要使|a|=b，由 1 R2b2 (v bt)4 b 可得
R
t v0 b
（3）从t=0开始到t=v0/b时，质点经过的路程为
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（1）以地面为参考系,取如图所示的坐标系,
升降机与螺丝的运动方程为: y
y1 y2
1 v0t 2 h v0t
at 2 1
2
gt
2
y2
v
当螺丝落到底面时,有 y1 y2 ,即
v0t
1 2
at 2
h
v0t
1 2
gt 2
y1
ha
t 2h 0.705s ag
x
质点P的参数方程为
R cos( 900 ) R sin
2
t
T
y y
T
y R sin( 900 ) R cos 2 t
T 坐标变换后,在oxy坐标系中有:
R
o
x
x x R sin 2 t
y
y
R
T
R c
os
2
t
R
o
x
T
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则质r点PR的s位in 矢2方ti程 为(: R cos
在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处 理方法是取地面为参考系,分析讨论升降机竖直向 上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落 体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方 程,并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可 解;另一种方法是取升降机为参考系,这时螺丝相对 升降机作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加 速度.升降机厢的高度就是螺丝运动的路程.
1-3 如图1-3所示,湖中有一小船,岸上有人用绳跨过定
滑轮拉船靠岸,设滑轮距离水面高度为h,滑轮到原船位