质点运动学典型例题2

求解风吹气球时气球的运动情况一气球以速率0V 从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按by V x =增大，其中b 是正的常量，y 是从地面算起的高度，x 轴取水平向右的方向。

试计算：(1) 气球的运动学方程；(2) 气球水平飘移的距离与高度的关系；(3) 气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。

解：（1）取平面直角坐标系x0y ，如图一，令t=0时气球位于坐标原点（地面），已知0V V y =，.by V x =显然，有.0t V y = （1） 而,,00tdt bV dx t bV by dtdx === 对上式积分，⎰⎰=xttdt bV dx 000,得到 .220t bV x = （2） 故气球的运动学方程为：j t V i t bV r ϖϖϖ0202+=. (2)由（1）和（2）式消去t ，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系.220y V b x = （3）气球的运动速率202220220222V y b V t V b V V V y x +=+=+=气球的切向加速度.12022022202V y b y V b t b t V b dt dV a +=+==τ而由22τa a a n -=和,)()(20222222V b dt dV dt dV a a a y x yx =+=+=可得.202220Vy b bV a n +=由ρ2V a n =，求得202/320222)(bV V y b a V n +==ρ 小船船头恒指向某固定点的过河情况一条笔直的河流宽度为d ，河水以恒定速度u ϖ流动，小船从河岸的A 点出发，为了到达对岸的O 点，相对于河水以恒定的速率V （V>u ）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向O 点，如图一，已知,,00φ=∠=AOP r O A 试求：小船的运动轨迹。

若O 点刚好在A 点的对面（即d O A =），结果又如何？解：选定极坐标系，原点为O 点，极轴为OP 。

在任一时刻t ，小船的位置为（φ,r ），小船速度的径向分量和横向分量φcos u V dt dr V r +-== φφθsin u dtd r V -== 两式相除，得到φφφφcos sin u V u dr d r dtdr dt d r +--== 分离变量，,)sin (sin cos φφφφφφd ctg u V d u u V r dr -=-+-= 积分后，得到φφφφφd ctg u V r dr rr ⎰⎰-=00)sin ( )],sin sin (]22ln[[)sin ln sin (ln )2tan ln 2tan (ln ln 0/0000φφφφφφφφ⋅=-+-=u V tg tg u V r r 既 ).sin sin (]22[0/0φφφφ⋅=u V tg tg r r 这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。

若O 点刚好在A 点的对面，则2,00πφ==d r ，代入，得 .)2(sin /u V tg d r φφ= 求解小环对地的运动情况一细杆绕端点O 在平面内匀角速旋转，角速度为ω，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设0=t 时小环位于杆的端点O ，求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。

解：本题采用极坐标系较为方便。

取t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点O.任意时刻t ，小环的位置,ut r =t ωθ=.这就是小环在极坐标系中的运动学方程。

消去t ，便得小环的轨迹方程：,θωu r = 式中ωu 为常量，r 与θ成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。

在任意时刻，小环的径向速度 ,u dtdr V r == 横向速度 ,t u r dtd r V ωωθθ=== 速度的大小 .1)(222222t u r u V V V r ωωθ+=+=+=速度的方向指向阿基米德线的切线方向。

小环的径向速度的大小不变，横向速度随r 的增大而增大。

任意时刻，小环的加速度)(00ωθr ur dtd dt V d a +==ϖϖ， 0r 和0θ为径向和横向的单位矢量，则dtd r dt dr dt dr u a 000θωθω++=ϖ 0020002ωθωθωθωθθu r r r dt d r dt dr dt d u+-=-+=既径向加速度;22t u r a ωωτ-=-=横向加速度ωθu a 2=.加速度的大小为22224t u a a a ωωθτ+=+=尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。

即使u=0,小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。

横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。

求解烟对船的速度当蒸汽船以15km/h 的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。

过一会儿，船以24km/h 的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向。

若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求： 风速。

（烟对地的速度即风对地的速度。

）解：设风速为V ，则人观察到烟的飘向速度为船地冯地烟船V V V -=由图一所示，可知15sin =θV （1） 0045sin )135sin(24V =-θ （2） 由（2），得到.24sin cos V=+θθ 将（1）代入上式，得到 ,5sin 8sin /1524sin cos θθθθ==+ ,sin 8sin 5cos 5θθθ=+ 得到67.135==θtg ， 059=θ 即风来自西偏南059，风速大小为17.5km/h.运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间一架飞机由A 处向北飞往B 处，然后又向南飞回A 处。

已知A 、B 相距为L ，飞机相对于空气的速度为V ，而空气相对于地面的速度（即风速）为u ，其方向为北偏西θ角，求：飞机往返一次的飞行时间。

解：由分析可知，气对地机对气机对地V V V +=，为了使飞机相对于地面的速度V '的方向指向正北。

飞机相对于空气的速度V 必须北偏东φ角，如图一所示。

由上面的矢量式，得到0sin sin =-='θφu V V x .cos cos θφu V V y +='消去φ，得到θθcos sin 222u u V V y +-='所以往程所需时间为 y V L t '=1 当飞机由B 返回A 时，V u V ϖϖϖ''、、三者的关系如图二所示。

同样可得，,0sin sin =-'=''θφu V V x θφcos cos u V V y -'=''消去φ'，得到.cos sin222θθu u V V y --=''所以返程所需时间为 y2V L ''=t 则所求时间可求。

运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为1m =1kg 的板，板与桌面之间的摩擦因数=1u 0.5.板上有放有质量2m =2kg 的物体，板与物体之间的摩擦因数25.02=μ，如图一。

今以水平力F=19.6N 将板从物体下抽出。

问：板与物体的加速度各为多少？解：当用力F 拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。

现分两种情况分别讨论。

（1） 物体的运动滞后于板的运动的情况物体和板的受力情况如图二所示。

注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为滑动摩擦力。

设板的加速度为1a ，物体的加速度为2a 。

列出板和物体的运动方程：对板：,1121a m f f F =--0121=--g m N N ，.0,22222=-='g m N a m f又因为222111,N f N f μμ==联立方程组，得.,)(221211221g a m g m m g m F a μμμ=+--= 代入数值，得221/45.225.0,0S m g a a ===在本题的条件下，,12a a >这显然是不合理的。

（2） 物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况物体与板的受力图如图三所示。

这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。

板与物体的加速度相同，设为a ，列出板与物体的运动方程：,121a m f f F =--,0121=--g m N N,0,2222=-=g m N a m f又因为.111N f μ=联立解方程，得到 ,)(21211m m g m m F a ++-=μ ,)(2121122m m g m m F m f ++-=μ 代入数值，得到2/63.1S m a =，.26.32N f =所求得的静摩擦力2f 小于最大静摩擦力（N N f mzx 9.422==μ），所以是可能实现的。

由第一种情况的讨论可知，只有21a a >才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得,)(2121122g m g m m g m F μμμ>+-- 或者.))((2121g m m F ++>μμ代入数值，得到22.5N.2.25g =〉F飞车走壁一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。

设演员和摩托车的总质量为M ，直壁半径为R ，演员骑摩托车在直壁上以速率V 做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h ，如图一所示，求：直壁对演员和摩托车的作用力。

解：演员受到两个力的作用。

一是重力G ，另一个是直壁的作用力N.把N 分解为沿直壁向上的1N 和指向圆周运动中心的2N ，如图二所示。

同样，把演员的速度V 分解为竖直向上的1V 和绕筒壁做圆周运动的水平速度2V ，于是,1Mg N = .222R V M Ma N n == 展开螺旋面成斜面，如图三所示，V 沿斜面向上。

且有,)2(2cos 222h R R VV V +==ππθ代入，得到 22222244h R R MV N +=ππ 故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为2221N N N += 方向与壁成角φ，.)4(42222212gh R RV arctg N N arctg +==ππφ 求解小船转向的情况一质量为M 的机动船，在进入河道弯道前Q 点处关闭发动机，以速度0V 在静水中行驶，设水的阻力与船速成正比。

（1）若Q 点至弯道处P 点的距离为0L ，求船行至P 点时的速度；（2）若船行至P 点时开动发动机，给船以0F ϖ的转向力，0F ϖ与速度方向的夹角为θ，如图一所示，求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。