同济大学第六版高等数学综合测试题答案

同济大学第六版高等数学综合测试题答案

This manuscript was revised on November 28, 2020

第一章综合测试题解答

一、1．[1,2) 2

．()g x =．

11e

- 4．ln 5 5

．[[2,1+

二、1．（C ） 2．(B) 3．（D ） 4.（D ） 5.（C ） 三、解 20,0,0, ()00, 0,1()(||)[()],0.

(),()0,0,

2x x x f x x x f x x x x x x x ????<<

∴ 原式00(4)16lim(4)cot lim cos 444t t t t t t t t t πππ

π→→-=-==.

2、原式=23

2211113(1)(2)(2)lim lim lim 11(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x →→→++--+-+===---++++. 3、设11()31x f x x =+-，原式=()()1()lim 1()xf x f x x f x →+∞??+????.

1111lim ()lim [31]lim lim (31)1 1lim ln 31ln 3,x x x x x x x xf x x x x x x x x

→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=+-=?+-=+?=+ ∴ 原式1ln33.e e +==

4、22222121212121

n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤+++++， 22212(1)112lim lim lim ,12(1)2n n n n n n n n n n n

→∞→∞→∞+++++++===+++ ∴ 原式12

=. 5、1/1/01101lim arctan =();10122

x x x e e x ππ-→++?-=-- ++1/1/1/1/001111 lim arctan =lim arctan ,112

x x x x x x e e e x e x π--→→++=--

∴ 原式2π

=.

五、解 当0x <时，2(4)()sin x x f x x

π-=为初等函数，()f x 在点()x n n Z =-∈处无定义，

22222(4)(4)8lim ()lim lim ;sin (2)x x x x x x x f x x x πππ→-→-→---===+ lim ()1,3,4,;x n f x n →-=∞=，

当0x >时，2(1)()1

x x f x x +=-为初等函数，()f x 在点1x =处无定义，1

lim ();x f x →=∞ 0x =在点处，220000(4)4(1)lim ()lim ,lim ()lim 0;sin 1

x x x x x x x x f x f x x x ππ--++→→→→--+====- 综上，()f x 的间断点为=(),x k k Z +-∈=0x 与1x =，且2x =-为可去间断点（第一类），=0x 为跳跃间断点（第一类），(1,3,4,)x n n =-=与1x =为无穷间断点（第二类）. ()f x 在其它点处皆连续.

六、解

lim lim lim

x x x A

βα→+∞

==

)321 lim 21 lim 111,

2k

x k x A x x A x x →+∞-→+∞+=-?=-++=???

31;24

k A ∴==- 七、解 224230001/2()sin 3()lim lim lim 5,1/3()2(1x x x f x x f x x f x x →→→?===? 20()10lim .3

x f x x →∴= 八、证明：由已知，得(0)2(0)f f =，(0)0f ∴=.

(,)x ?∈-∞+∞，()()()f x x f x f x +?=+?. 由)(x f 在0x =处连续性，得

00

lim[()()]lim ()(0)0.x x f x x f x f x f ?→?→+?-=?==

从而)(x f 在点x 处连续性，由x 的任意性，)(x f 在(,)-∞+∞内连续.

九、证明：(,)x ?∈-∞+∞, 则,n Z ?∈ 使得1,n x n ≤<+ 则[]x n =.于是()0,()11,f x n n f x n n ≥-=≤+-= 从而()f x 在(,)-∞+∞上有界. (,)x ?∈-∞+∞，(1)1[1]1([]1)()f x x x x x f x +=+-+=+-+=，∴()f x 是以1为周期的周期函数.

十、证明：构造辅助函数()()()F x f x a f x =+-. 由已知，得

(0)()(0)()F f a f f a =-=，(1)(1)(1)(1)F a f f a f a -=--=--，由)(x f 非负，可得，

(0)(1)()(1)0F F a f a f a ?-=-?-≤.

若()0f a =或(1)=0f a -，可取00x =或01x a =-，即有00()()f x a f x +=. 否则(0)(1)0F F a ?-<，()f x 在]1,0[上连续，()F x ∴在[0,1]a -上连续. 根据零点定理0(0,1)[0,1],x a ?∈-? 使得0[0,1]x a +∈，且()0F x =，即00()()f x a f x +=. 得证.