旋转知识点习题及答案

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(必考题)初中九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点总结(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC //AB '，则BAB '∠=（）A ．30B ．35︒C ．40︒D ．50︒ 2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 3．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形4．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（）．A ．4B ．5C ．6D ．85．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 6．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒7．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．512- 8．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 与对应点D 重合，得到EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则AC 的长度为（）A ．5B ．6C 26D 419．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A ．6B ．5C ．4D ．310．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（）A ．(﹣1，1)B ．(20)-，C ．(﹣1，﹣1)D ．(02)-， 11．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（）A ．内部B ．外部C ．边上D ．以上都有可能 12．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种13．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 14．如图，△ABC 的顶点在网格中，现将△ABC 绕格点O 顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（）A ．1个B ．3个C ．6个D ．8个15．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（）A ．45°B ．60°C ．70°D ．90°二、填空题16．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若B '落到BC 边上，50B ∠=︒，则CB C ''∠的度数为______．17．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．18．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝4，PB ＝23，PC ＝2，以下五个结论：①∠BPC ＝120°；②∠APC ＝120°；③S △ABC ＝143；④AB ＝28；⑤点P 到△ABC 三边的距离分别为PE ，PF ，PG ，则有PE +PF +PG ＝32AB ，其中正确的有_________．19．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC ≌△DEF 关于点H 成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．20．如图，在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，点P 是ABC 内一点，将ABP △绕点A 逆时针旋转后能与ACP '△重合，如果5AP =，则PP '的长为______．21．将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝_________.（结果保留根号）22．如图，如果正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，连接DG ，那么∠DGE ＝________．23．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.24．在平面直角坐标系中，△OAB 的位置如图所示，将△OAB 绕点O 顺时针旋转90°得△OA 1B 1；再将△OA 1B 1绕点O 顺时针旋转90°得△OA 2B 2；再将△OA 2B 2绕点O 顺时针旋转90°得△OA 3B 3；……依此类推，第2020次旋转得到△OA 2020B 2020，则项点A 的对应点A 2020的坐标是_______．25．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形；④9634AOC AOB S S +=+△△．26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，点D 为线段AC 上一动点，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90°，点B 的对应点为E ，连接AE ，则AE 长的最小值为_____．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，0），B （4，0），C （5，2）．将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转90︒后得到△AB 1C 1．（1）请画出△AB 1C 1；（2）写出点B 1，C 1的坐标；（3）求出线段1BB 的长．28．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点Р是正方形ABCD 内一点，1,2,3PA PB PC ===，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC ∆绕点B 逆时针旋转90，得到'P BA ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB ∆绕点B 顺时针旋转90，得到'P CB ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数．请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（2）如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，要使45APB ∠=，线段PA ，PB ，PC 应满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．29．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1，1），B （4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．30．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC以点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．。

人教版九上数学《旋转》知识点练习题

《旋转》章节复习考点一：旋转基本性质1．如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'2．如图，△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置，已知∠AOB＝40°，则∠AOD等于（）A．55°B．45°C．40°D．35°3．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上．若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）A．1B．C．2D．4﹣4．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝68°，则∠α的大小是（）A．68°B．20°C．28°D．22°考点二：旋转与坐标规律6．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（）A．（6，4）B．（﹣6，4）B．C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）考点三：中心对称与中心对称图形7．下列图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．已知P1（a，﹣2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2021的值为（）A．﹣1B．1C．﹣52021D．520219．已知点P（a﹣3，7）关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围是．10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（）A．y＝x﹣2B．y＝3x﹣6B．C．D．考点四：手拉手与半角模型11．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结P A，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC＝∠P AB，AD＝AP，连结DP，DC．（1）求证：△ADC≌△APB．（2）若P A＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．12．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．13．如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图2中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图3，当∠EAF绕点A旋转到图3位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（3）如图4，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC ＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．考点五：旋转的应用14．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD 绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE（选择是或不是）等补四边形．（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．。

九年级数学上册第二十三章旋转知识点汇总(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转知识点汇总单选题1、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴选项B正确；∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴选项C不正确；∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确；故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．2、有一个正n边形旋转90∘后与自身重合，则n为（）A．6B．9C．12D．15答案：C分析：根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90∘一致或有倍数关系的则符合题意．如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90∘是30∘的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．小提示：本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．3、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连接EF，则BF 的长为（）A．2B．3√2C．3D．2√22答案：A分析：把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，在△A FE和△AGE中，AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED＋DG，∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故选：A．小提示：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．4、如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C= 90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B分析：根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC的度数，由旋转可知∠BAC=∠B′AC′，在根据平角的定义求出∠BAC′的度数即可．∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°，∵由旋转可知∠BAC=∠B′AC′=60°，∴∠BAC′=180°−∠BAC−∠B′AC′=180°−60°−60°=60°，故答案选：B．小提示：本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．5、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.6、如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据绕点B按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．A、Rt△A′O′B是由Rt△AOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、Rt△A′O′B是由Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、Rt△A′O′B与Rt△AOB对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、Rt△AOB是由Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．小提示：本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．7、如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形是（）A．B．C．D．答案：A分析：将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形为．故选：A小提示：本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案．8、在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q(3,240°)B．Q(3,−450°)C．Q(3,600°)D．(3,−120°)答案：B分析：根据中心对称的性质解答即可．解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．小提示：本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．9、如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°答案：B分析：根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°-70°-45°=65°，故选：B．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．10、如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，若点D恰好在BC的延长线上，则∠BDE的度数为（）A．100°B．80°C．70°D．60°答案：B分析：由旋转的性质可知∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BDA=∠ADE=40°，从而可求得∠BDE=80°．解：由旋转的性质可知：∠B=∠ADE，AB=AD，∠BAD=100°．∵AB=AD，∠BAD=100°，∴∠B=∠BDA=40°，∴∠ADE=40°，∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=40°+40°=80°．故选B．小提示：本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转的性质得到△ABD为等腰三角形是解题的关键．填空题11、如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是__.答案：38°分析：根据旋转变换的性质得到∠AOD=31°，∠BOC=31°，结合图形，计算即可．解：由旋转的性质可知，∠AOD=31°，∠BOC=31°，∴∠DOB=∠AOC−∠AOD−∠BOC=38°，所以答案是：38°．小提示：本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．12、在平面直角坐标系内，点P(−3,2)关于原点的对称点Q的坐标为______．答案：(3,−2)分析：根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即可直接作答．根据中心对称性质可知：点P (−3,2)关于原点的对称点Q 的坐标为(3,−2)，故答案为(3,−2)．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，属于基础问题，熟记知识点是解题关键．13、点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 分别是AB 边上的点，且EF ＝12AB ；G 、H 分别是BC 边上的点，且GH ＝13BC ；若S 1,S 2分别表示∆EOF 和∆GOH 的面积，则S 1,S 2之间的等量关系是______________答案：2S 1＝3S 2分析：过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，根据点O 是平行四边形ABCD 的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM ，再根据S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，则可得到答案．过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S 平行四边形ABCD =AB •2ON ， S 平行四边形ABCD =BC•2OM ，∴AB•ON=BC•OM ，∵S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，∴S 1=14AB•ON ，S 2=16BC•OM ， ∴2S 1＝3S 2，故答案为2S 1＝3S 2．小提示：本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．14、如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为___________．答案：(−√2,√6+1)##(−√2,1+√6)分析：连接OB，OB′由题意可得∠BOB′=75°，可得出∠COB′=30°，可求出B′的坐标，即可得出点B″的坐标．解：如图：连接OB，OB′，作B′M⊥y轴∵ABCO是正方形，OA=2∴∠COB=45°，OB=2√2∵绕原点O逆时针旋转75°∴∠BOB′=75°∴∠COB′=30°∵OB′=OB=2√2∴MB′=√2，MO=√6∴B′(−√2,√6)∵沿y轴方向向上平移1个单位长度∴B″(−√2,√6+1)所以答案是：(−√2,√6+1)小提示：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．15、如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．答案：60分析：利用旋转的性质即可得出答案．解：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=60°，由旋转的性质可知，∠PAP1=∠CAB=60°．所以答案是：60．小提示：本题考查正三角形的性质和旋转的性质，由旋转的性质得出∠PAP1=∠CAB是解题的关键．解答题16、如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．答案：（1）y=16x2−16x−2；（2）SΔACQ=34；（3）D(3,−1)或D(−8,10)分析：（1）将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)，即可求解；（2）先求直线AB的解析式为y=12x−2，则Q(1,−32)，C(1,−2)，可求SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=34；（3）设P(t,0)，过点D作x轴垂线交于点N，可证明ΔPND≅ΔBOP(AAS)，则D(t+2,−t)，将D点代入抛物线解析式得−t=16(t+2+3)(t+2−4)，求得D(3,−1)或D(−8,10)．解：（1）将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)，∴a=16，∴y=16(x+3)(x−4)=16x2−16x−2；（2）令y=0，则16(x+3)(x−4)=0，∴x=−3或x=4，∴A(4,0)，设直线AB的解析式为y=kx+b，∴{b=−24k+b=0，∴{k=1 2b=−2，∴y=12x−2，∵OP=1，∴P(1,0)，∵PQ⊥x轴，∴Q(1,−32)，C(1,−2)，∴AP=3，∴SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=12×3×2−12×3×32=34；（3）设P(t,0)，如图2，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD=90°，∴∠OPB+∠NPD=90°，∠OPB+∠OBP=90°，∴∠NPD=∠OBP，∵BP=PD，∴ΔPND≅ΔBOP(AAS)，∴OP=ND，BO=PN，∴D(t+2,−t)，∴−t=16(t+2+3)(t+2−4)，解得t=1或t=−10，∴D(3,−1)或D(−8,10)．小提示：本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．17、如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：PD2；①ΔPDF的面积S=12②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．答案：（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜2√5分析：（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明△PEH≌△BPA，结合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得△AHE≌△FGD，进而即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，EF，HG= 2AD=8，EH+FG=AD=4，然后求出当点P与点D重合时，EF最大值=4√5，当点P与AD的中点重合MN=12时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴△PFG≌△CPD（AAS），∴FG=PD，∴ΔPDF的面积S=12PD⋅FG=12PD2；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴△PEH≌△BPA（AAS），∴EH=PA，由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：△PFG≌△CPD，∴PG=CD，∴PD+GD= CD= EH+FG，∴FG+GD= EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，又∵∠AHE=∠FGD，∴△AHE≌△FGD，∴EA=FD；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，由（1）得：△AHE≌△FGD，∴∠HAE=∠GFD，∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∵点N是EF的中点，∴MN=1EF，2∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值=√42+82=4√5，当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，∴MN的取值范围是：4≤MN＜2√5．小提示：本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．18、如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别交OB、AB 于点E、F．(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；(2)求证：△AOG≌△DOE；(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．答案：(1)=(2)证明见解析(3)6√3，详见解析分析：（1）根据旋转性质及等腰三角形性质即可得答案；（2）由旋转性质知∠AOB=∠DOC，可证得∠AOG=∠DOE，结合OA=OB及（1）中结论，得证；（3）分两种情况讨论，设∠A=x°，先利用三角形内角和求出x的值，再借助勾股定理求出CD的长度即可．（1）解：由旋转知，∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D∴∠A=∠D，所以答案是：=．（2）证明：由旋转知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，即∠AOG=∠DOE，∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠A=∠D，∴△AOG≌△DOE．（3）解：分两种情况讨论，①如图所示，设∠A=∠B=∠C=∠D=x°，则∠DOB=2x°，∵OB⊥CD，∴∠OED=90°，∴x+2x=90°，解得：x=30，即∠D=30°，在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=√62−32=3√3，∵OC=OD，OE⊥CD，∴CD=2DE=6√3．②当D与A重合时，如图所示，同理，得：CD=6√3．综上所述，当A，O，D三点共线时，OB⊥CD，此时CD的长为6√3．小提示：本题考查了旋转的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题关键是利用旋转性质得到边、角的关系．。

人教版九年级数学上册第23章《旋转》基础练习含答案(4套)(含知识点)

旋转基础练习附答案时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J23-1-1，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝CE B．∠A＝∠DEC C．AB＝CD D．BC＝EC2．如图J23-1-2，将三角尺ABC(其中∠ABC＝60°，∠C＝90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于()A．120°B．90°C．60°D．30°图J23-1-1 图J23-1-2 图J23-1-3 图J23-1-4二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-1-3，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A的对应角是__________，∠B＝________，AB＝________，AC＝________.4．如图J23-1-4，AC⊥BE，AC＝EC，CB＝CF，则△EFC可以看作是△ABC绕点________按________方向旋转了__________度而得到的．三、解答题(共11分)5．如图J23-1-5，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE＝BC，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AC与EF的关系如何？图J23-1-5基础知识反馈卡·23.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是()2．如图J23-2-1，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是()A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′图J23-2-1 图J23-2-2 图J23-2-3二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-2-2，△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，如果连接线段AA′，BB′，CC′，它们都经过点_____，且AB＝________，AC＝________，BC＝________.4．如图J23-2-3，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC＝BD.其中正确的是________(写上正确的序号)．三、解答题(共11分)5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图J23-2-4所示，将△ABC沿y 轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.图J23-2-4基础知识反馈卡·23.2.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．若点A(n,2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝()A．－1 B．－5C．1 D．52．点P关于原点的对称点为P1(3,4)，则点P的坐标为()A．(3，－4) B．(－3，－4)C．(－4，－3) D．(－3,4)3．若点A(2，－2)关于x轴的对称点为B，点B关于原点的对称点为C，则点C的坐标是()A．(2,2) B．(－2,2)C．(－1，－1) D．(－2，－2)二、填空题(每小题4分，共8分)4．点A(－2,1)关于y轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________．5．若点A(2，a)关于x轴的对称点是B(b，－3)，则ab的值是________．三、解答题(共8分)6．如图J23-2-5，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB 关于原点对称的图形．图J23-2-5基础知识反馈卡·23.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．下列选项中，能通过旋转把图a变换为图b的是()2．图J23-3-1的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有()图J23-3-1A．1个B．2个C．3个D．4个3．在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是()二、填空题(每小题4分，共8分)4．正六边形可以看成由基本图形________经过________次旋转而成．5．如图J23-3-2，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是__________；在前16个图案中“”有______个．图J23-3-2三、解答题(共8分)6．认真观察图J23-3-3中的四个图案，回答下列问题：图J23-3-3(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：____________________；特征2：____________________________.(2)请你在图J23-3-4中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图J23-3-4基础知识反馈卡·23.2.11．B 2.D3．O A′B′A′C′B′C′ 4.①②③5．解：如图DJ1.图DJ1基础知识反馈卡·23.2.21．D 2.B 3.D4．(2,1)(2，－1) 5.66．解：如图DJ2.图DJ2基础知识反馈卡·23.31．A 2.D 3.B4．正三角形 65. 56．解：(1)是轴对称图形是中心对称图形(2)如图DJ3(答案不唯一)．图DJ3以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目录七年级数学（上）知识点 (1)第一章有理数 (1)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (4)第四章图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章相交线与平行线 (6)第六章平面直角坐标系 (8)第七章三角形 (9)第八章二元一次方程组 (12)第九章不等式与不等式组 (13)第十章数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章全等三角形 (14)第十二章轴对称 (15)第十三章实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是a1；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。

中考数学专题22 图形的旋转(知识点串讲)(解析版)

专题22 图形的旋转考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一旋转的基础旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转.点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P经过旋转变化点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.如图所示，A OB''∆绕定点O逆时针旋转45︒得到的，其中点A与点A'叫作对应点，线段OB与∆是AOB线段OB'叫作对应线段，OAB∠与OA B'∠）的度数叫∠叫作对应角，点O叫作旋转中心，AOA'∠（或BOB'作旋转的角度. 【注意】1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。

【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征：➢ 对应点到旋转中心的距离相等；➢ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ➢ 旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法：➢ 确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ➢ 找出图形上的关键点；➢ 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； ➢ 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 平移、旋转、轴对称之间的联系：变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。

平移、旋转、轴对称之间的区别： 1）变化方式不同：平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。

旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。

轴对称：将一个图形沿一条直线对折。

2）对应线段、对应角之间的关系不同平移：变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。

旋转：变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。

轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。

3）确定条件不同A平移：距离与方向旋转：旋转的三要素。

旋转知识点单元测试题及答案

旋转知识点单元测试题及答案一、选择题1. 平面内，一个点绕着一个定点旋转多少度后，它的位置不变？A. 0度B. 180度C. 360度D. 90度2. 旋转变换不改变图形的：A. 形状B. 大小C. 颜色D. 位置3. 在数学中，旋转对称图形至少有几个对称轴？A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题1. 旋转变换是一种保持图形______不变的几何变换。

2. 旋转中心是旋转变换中的______点。

3. 旋转角度是旋转变换中图形绕旋转中心旋转的______。

三、简答题1. 请简述旋转的性质有哪些？2. 如何确定一个图形是否是旋转对称图形？四、计算题1. 若点P(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度，求旋转后点P的新坐标。

五、解答题1. 给定一个正方形，其四个顶点分别位于(1,1), (1,-1), (-1,-1), (-1,1)，请说明如何通过旋转变换将该正方形绕原点O(0,0)旋转45度。

答案：一、选择题1. C2. A, B3. B二、填空题1. 形状和大小2. 固定不动3. 角度三、简答题1. 旋转的性质包括：保持图形的形状和大小不变，图形上任意两点与旋转中心连线的夹角等于旋转角度。

2. 确定一个图形是否是旋转对称图形，需要检查图形是否在绕某一点旋转一定角度后能与原图形重合。

四、计算题1. 点P(3,4)顺时针旋转90度后，新坐标为(4,-3)。

五、解答题1. 将正方形绕原点O(0,0)旋转45度，可以通过以下步骤实现：- 首先，将正方形的每个顶点分别与原点O(0,0)相连。

- 然后，计算每个顶点绕原点旋转45度后的新位置。

这可以通过计算旋转矩阵来实现。

- 最后，将旋转后的顶点坐标连接起来，形成新的正方形。

结束语：通过本次单元测试，我们复习了旋转的基本概念、性质和应用。

希望同学们能够熟练掌握旋转变换的相关知识，并在实际问题中灵活运用。

人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点复习(含答案解析)

一、选择题1．下列图形一定不是中心对称图形的是（）A ．正六边形B ．线段()213y x x =-+≤≤C ．圆D ．抛物线2y x x =+ 2．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 3．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（）．A ．4B ．5C ．6D ．8 4．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3)7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（）A ．3B ．23C ．4D ．458．下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形．其中正确的结论有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（）A ．（-13）B 3-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 11．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕A 逆时针转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是 ( )A ．2B ．23C ．4D ．不能确定 12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 13．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 14．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（）A ．（﹣4，﹣2﹣3）B ．（﹣4，﹣2+3）C ．（﹣2，﹣2+3）D ．（﹣2，﹣2﹣3）15．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°二、填空题16．有两个直角三角板，其中45E ∠=︒，30C ∠=︒，按图①的方式叠放，先将ABC固定，再将AED 绕顶点A 顺时针旋转，使//BC DE （如图②所示），则旋转角BAD ∠的度数为______．17．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．18．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．19．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．21．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．22．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．23．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE∥BC，则旋转的最小度数为_____．24．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是_____°．25．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．将Rt ABC绕点A逆时针旋转△，使点C '落在AB边上，连结BB'，则BB'的长度为_________．得到Rt AB C''26．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD=15°时，BC∥DE，当90°<∠BAD<180°时，∠BAD的度数为___．三、解答题27．如图，在一个1010⨯的正方形网格中有一个,ABC ABC ∆∆的顶点都在格点上．（1）在网格中画出ABC ∆向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的111A B C ∆．（2）在网格中画出ABC ∆关于点P 成中心对称得到的222A B C ∆．（3）若可将111A B C ∆绕点О旋转得到222A B C ∆，请在正方形网格中标出点O ，连接12A A 和12B B ，请直接写出四边形2211A B A B 的面积．28．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）在射线 MA 上取点D ，点M 关于点D 的对称点为E ，连接EP ，当PDO ∠= 时，使得对于任意的点M ，总有ON EP =，并证明29．如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=︒，将BCD △绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE △．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由．30．江都大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：（1）填空：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？。

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（）A．AB=DB B．∠CBD=80°C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE答案：C分析：利用旋转的性质得△ABC≌△DBE，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE，故选项A、D一定成立；∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°，.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，故选C．小提示：本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．2、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（）A．60°或300°B．60°或330°C．30°D．60°答案：A分析：当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=1AD，2∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=60°；②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=360°-60°=300°，故选：A ．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3、已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm答案：B分析：分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊥CD ，AB ＝96cm ，∴AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ），如图1，∵OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝√OA 2−AM 2＝√502−482＝14（cm ），∴CM ＝OC +OM ＝50+14＝64（cm ），∴AC＝√AM2+CM2＝√642+482＝80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50−14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝√AM2+CM2＝60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．小提示：本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．4、已知点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标（）A．(−3,2)B．(2,−3)C．(3,2)D．(−2,−3)答案：B分析：根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可．解：点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(2,−3)，故选：B．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．5、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：DAB=5，然后在分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=12RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=1AB，OA=7，2∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA′=4cm，则CE的长为（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm答案：B分析：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=1A′B，进而可求解CE的长．2解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，∵∠ACB=90∘，点D是AB的中点，∴CD=AD=BD=A′D=1AB，2∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△AB A′的中位线，∴DE=1A′B，2∵AB=14cm，BA′=4cm，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．小提示：本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．7、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．小提示：本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．8、如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据旋转的定义进行分析即可解答解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C．故选：C．小提示：本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.9、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.10、下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形答案：B分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．填空题11、如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °答案：55分析：根据旋转的性质可得∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．解：∵把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C∴∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，∵∠A ′DC =90°，∴∠A ′=55°∴∠A =55°．所以答案是：55小提示：本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．12、在平面直角坐标系xOy 中，直线y =−√33x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点．将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°，得到射线AN ．点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部．（1）△BCD 周长的最小值是____________________；（2）当△BCD 的周长取得最小值，且BD =53√2时，△BCD 的面积为__________．答案： 4√2 43分析：（1）可作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．连接C 1C 2．利用两点之间线段最短，可得到当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长．（2）根据（1）的作图可知四边形AC 1CC 2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD ＝90°．利用勾股定理得到CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2，因为CB +CD ＝4√2﹣5√23，可推出CB •CD 的值，进而求出三角形的面积．（1）∵直线y ＝−√33x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点，把y =0代入，解得x =2√3，把x =0代入，解得y =2，∴点C 的坐标为（2√3，0），点A 的坐标为（0，2）．∴AC ＝√22+(2√3)2=4．作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．由轴对称的性质，可知CD ＝C 1D ，CB ＝C 2B ． ∴CB +BD +CD ＝C 2B +BD +C 1D ＝C 1C 2连接AC 1、AC 2，可得∠C 1AD ＝∠CAD ，∠C 2AB ＝∠CAB ，AC 1＝AC 2＝AC ＝4．∵∠DAB ＝45°，∴∠C 1AC 2＝90°．连接C 1C 2．C 1C 2=√42+42=4√2，∵两点之间线段最短，∴当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长． ∴△BCD 的周长的最小值为4√2．所以答案是：4√2．（2）根据（1）的作图可知四边形AECF 的对角互补，其中∠DAB ＝45°，因此，∠C 2CC 1＝135°．即∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝135°，∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+2∠BCD ＝270°①，∵∠BC 2C ＝∠BCC 2，∠DCC 1＝∠DC 1C ，∠BC 2C +∠DC 1C +∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝180°， ∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+∠BCD ＝180°②，①-②得，∠BCD ＝90°．∴CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2=509，∵CB +CD ＝4√2﹣5√23=7√23，（CB +CD ）2＝CB 2+CD 2+2CB •CD ，∴2CB •CD ＝（CB +CD ）2-（CB 2+CD 2）= (7√23)2−509=163∴S=12⋅CB⋅CD=43．所以答案是：43小提示：本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．13、若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．答案：2分析：根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，∴a-1+5=0，5+1-b=0，∴a=-4，b=6，∴a+b=2．所以答案是：2小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．14、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．答案：7√2；分析：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，∵O是正方形DBCE的对称中心，∴BO=CO，∠BOC=90°，∵FO⊥AO，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，∴∠AOC=∠FBO，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO，在△AOC和△FOB中，{∠AOC=∠FOBAO=FO∠ACO=∠FBO，∴△AOC≌△FOB（ASA），∴AO=FO，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×√22=7√2．故答案为7√2．小提示：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．15、如图，在正方形网格中，格点ΔABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=_____度．答案：90°分析：先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1=90°，∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示：本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.解答题16、如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2、B2的坐标．答案：(1)图见解析，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）(2)图见解析，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）分析：（1）根据旋转先找到找到A1，B1点，再进行连线即可；（2）根据关于原点对称的点特征，找到A2，B2点，再进行连线即可；（1）如图所示，△OA1B1即为所求，由图知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）；（2）如图所示，△OA2B2即为所求，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）．小提示：本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．17、已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．(1)如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．答案：(1)证明见解析(2)等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF分析：（1）由角平分线可知∠ABD=∠CBD，由平行可知∠BDE=∠ABD，可得∠CBD=∠BDE，DE=BE= AF，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF是菱形，D,E,F是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD∵DE∥AB∴∠BDE=∠ABD∴∠CBD=∠BDE∴DE=BE=AF∵DE∥AF，DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形．（2）解：由（1）知四边形ADEF是平行四边形∴EF∥AC∵△ABC是等边三角形∴∠EFB=∠C=∠B=60°∴BE=EF=DE∴四边形ADEF是菱形∴AF=BF,BE=CE,CD=AD∴D,E,F是等边三角形的中点∴BG⊥EF,BD⊥EF∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF．小提示：本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18、如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．答案：(1)16°(2)DL＝EN+GM，见解析分析：（1）根据题意易求出∠BDC=53°．在图②中连接BD．根据旋转结合正方形性质即得出BD=DE= DG，∠DCB=90°．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出∠BDC=∠CDG=53°，从而可求出∠CDE的大小，进而即可求出∠BDE的大小，即旋转角．（2）在图③中，过点G作GK//BM，交DE于K，由正方形的性质可得出∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．又易证GK⊥DN，即得出∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，从而得出∠EDN＝∠DGK，由此可证明△DKG≌△END(ASA)，得出EN＝DK．由GK//ML，KL//GM，可判定四边形KLMG是平行四边形，得出结论GM＝KL，从而即可证明DL=EN+GM．（1）由图①知，∠BDC=90°−∠CDG=90°−37°=53°，如图②，连接BD，根据旋转和正方形性质可知BD=DE=DG，∠DCB=90°．∴∠BDC=∠CDG=53°，∴∠CDE=90°−∠CDG=90°−53°=37°，∴∠BDE=∠BDC−∠CDE=53°−37°=16°，∴旋转角为16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：如图③，过点G作GK//BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．∵GK//BM，DN⊥BM，∴GK⊥DN，∴∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END(ASA)，∴EN＝DK，∵GK//ML，KL//GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL=DK+KL=EN+GM．小提示：本题考查正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，综合性较强．正确的做出辅助线以及利用数形结合的思想是解题关键．。

数学全等三角形角6090旋转知识点-+典型题含答案

数学全等三角形角6090旋转知识点-+典型题含答案一、全等三角形角6090旋转1．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，将△DCB 绕点C 顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到△ACE ，若AB ＝3，BC ＝4，求BD 的长？2．如图，在等腰ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，E 是BC 上一点，将E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，连接DE 、CD ．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）当BC ＝6，CE ＝2时，求DE 的长．3．如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △≌ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．4．已知：等边三角形ABC ，直线l 过点C 且与AB 平行，点D 是直线l 上不与点C 重合的一点，作射线DB ，并将射线DB 绕点D 顺时针转动60︒，与直线AC 交于点E （即60BDE ∠=︒）．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ，求证：DE DB =；（2）如图2，2AB =，4CD =，依题意补全图2，试求出DE 的长；（3）当点D 在点C 右侧时，直接写出线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系．5．如图，BC 为等边△ABM 的高，AB ＝52，点P 为射线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PD ，连接MD ，BD ．（1）如图①，当点P 在线段BC 上时，求证：BP ＝MD ；（2）如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，求证：BP ＝MD ；（3）若点P 在线段BC 的延长线上，且∠BDM ＝30°时，请直接写出线段AP 的长度．6．如图，点O 是正△ABC 内一点，∠AOB=90°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得到△AEC ，连结OE ．（1）求证，△COE 是正三角形；（2）当α为何值时，AC ⊥OE ，并说明理由；（3）探究是否存在α的值使得点O 到正△ABC 三个顶点的距离之比为32，若存在请直接写出α的值，若不存在请说明理由．7．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，连结CD ．（1）如图①，BC与BD之间的数量关系是_________，请写出理由；（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF，BP，BD三者之间的数量关系．=45°，正方8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，BAF△的周长为_______．形ABCD的边长为5，则ECF9．请用图形变换（对称、平移或旋转）解决下列各题：（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，若P 是边AD上的任意一点，则△BPC周长的最小值为．（2）如图2，已知M（0，1）、P（6，3）、E（a，0）、F（a+1，0），问a为何值时，四边形PMEF的周长最小？（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PB＝2，PC＝3，∠BPC＝150°，M、N为边AB、AC上的动点，且AM＝AN，请直接写出PM+PN的最小值．10．观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E 沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角6090旋转1．5【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=4，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．【详解】解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=4，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，223+4=5，∴BD=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．2．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，可得AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，进而可以证明△ABE ≌△ACD ；（2）结合（1）△ABE ≌△ACD ，和等腰三角形的性质，可得∠DCE ＝90°，再根据勾股定理即可求出DE 的长．【详解】（1）证明：∵E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∵∠CAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB ，∵AC ＝AB ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；（2）∵等腰△ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠DCA ＝∠ABE ＝45°，∴∠DCE ＝90°，∵BC ＝6，CE ＝2，∴BE ＝4＝CD ，∴DE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．3．（1）证明见解析；（2）正方形ABCD 的边长为6．【分析】（1）先根据旋转的性质可得,AE AN BAE DAN =∠=∠，再根据正方形的性质、角的和差可得45∠=︒MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，从而可得3,2CM x CN x =-=-，再根据旋转的性质可得2BE DN ==，从而可得5ME =，然后根据三角形全等的性质可得5MN ME ==，最后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）由旋转的性质得：,AE AN BAE DAN =∠=∠四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，即90BAN DAN ∠+∠=︒90BAN BAE ∴∠+∠=︒，即90EAN ∠=︒45MAN ∠=︒904545MAE EAN MAN ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在AEM △和ANM 中，45AE AN MAE MAN AM AM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ANM A S S EM A ≅∴；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，则BC CD x ==3,2BM DN ==3,2CM BC BM x CN CD DN x ∴=-=-=-=-由旋转的性质得：2BE DN ==235ME BE BM ∴=+=+=由（1）已证：AEM ANM ≅5MN ME ∴== 又四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒ 则在Rt CMN 中，222CM CN MN +=，即222(3)(2)5x x -+-=解得6x =或1x =-（不符题意，舍去）故正方形ABCD 的边长为6．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．4．（1）见解析；（2）DE的长为3）CD= BC+CE 或BC=CD+CE ．【分析】（1）过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出∠DFB=∠ACB=60°，∠ECD=60°，∠EDC=∠FDB ，CD=DF ．由此即可证出△CDE ≌△BDF ，从而得出DE=DB ；（2）分两种情况：①当D 在点C 右侧时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ；②当D 在点C 左侧时，过点D 作BC 的平行线与CA 于点F ，作BH ⊥CD 于H ．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；（3）分两种情况考虑：①当点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ；②当点E 在线段AC 上时，过点D 作AC 的平行线与CB 交于点F ．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．【详解】解：（1）如图1，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DF ∥AC ，CD ∥AB ，∴∠DFB=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠ECD=60°，∴∠CDF=60°，CD=DF ，∵∠BDE=60°，∴∠EDC+∠CDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，∴∠EDC=∠FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有60ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE=DB ．（2）分两种情况：①当D 在点C 右侧时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图2所示．由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，∴BF=2，∴BD 是等边三角形△CDF 的高，∴BD=32CD=23∴DE=BD=23．②当D 在点C 左侧时，过点D 作BC 的平行线与CA 于点F ，作BH ⊥CD 于H ．如图3所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠CAB=60°，∵DF ∥BC ，CD ∥AB ，∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠CAB=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠DCB=120°，∠DFE=120°，∴∠CDF=60°，CD=DF ，∵∠BDE=60°，∴∠EDF+∠FDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，∴∠EDF=∠CDB ．在△CDB 和△EDF 中，有120BCD EFD CD DFBDC EDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDB ≌△EDF （ASA ），∴DE=DB ．在R t △BCH 中，∠BCH=60°，∠CBH=30°，CB=AB=2，∴CH=1，3在R t △BDH 中，DH=DC+CH=5，3 ∴22225(3)27DB DH BH =+=+=∴DE=7，综上，DE 的长为327（3）分两种情况：①当点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图1所示．由（2）可知，CD=CF ，CE=BF ，∴CD=BC+BF=BC+CE ，②当点E 在线段AC 上时，过点D 作AC 的平行线与CB 交于点F ．如图4所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DF ∥AC ，CD ∥AB ，∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠CFD=60°，∴∠CDF=60°，CD=DF=CF ，∠BFD=120°，∠DCE=120°，∵∠BDE=60°，∴∠EDC+∠EDF=60°，∠FDB+∠EDF=60°，∴∠EDC=∠FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有120ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴CE=BF ．∴BC=CF+BF=CD+CE ．综上所述，当点D 在点C 右侧时，线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系是CD= BC+CE 或BC=CD+CE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP＝52【分析】（1）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；（2）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；（3）由△BAP≌△MAD和BC为等边△ABM的高，计算得∠DBM＝60°，从而证明点D在BA的延长线上，再利用Rt△BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案．【详解】（1）如图①，连接AD∵△ABM是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠MAD＝∠PAD﹣∠CAP∴∠BAP＝∠MAD∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（2）如图②，连接AD∵△AMB是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP ∴∠BAP＝∠MAD在△BAP与△MAD中∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（3）∵BC为等边△ABM的高∴∠ABC＝30°∵△BAP≌△MAD∴∠ABP＝∠AMD＝30°∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°∴∠BMD＝90°∵∠BDM＝30°∴∠DBM＝60°∴点D在BA的延长线上如图③∵∠BDM＝30°,∠BMD＝90°∴BD＝2BM＝2∴AD＝BD﹣AB＝2∵PA＝PD＝AD∴AP＝AD＝2．【点睛】本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．6．（1）证明见解析；（2）α=135°时，AC⊥OE；（3）存在，a=120°或150°．【分析】（1）利用旋转的性质得出CO=CE，∠OCE=60°，即可得出答案；（2）根据∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，得出∠AOE=210°-α，再利用∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°得出α的度数即可；（3）根据当OE：AO：AE=132时以及当OA：EO：AE=132时，由勾股定理的逆定理及旋转的性质得出α的度数即可．【详解】（1）∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴CO=CE，∠OCE=60°，∴△COE是正三角形．（2）当α=135°时，AC⊥OE，理由如下：∵△COE是正三角形，AC⊥OE∴AC垂直平分OE，∴AO=AE，∴∠AOE=∠AEO，∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，∴∠AOE=210°-α，∵将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得到△AEC ，∴∠AEC=∠BOC=α，∴∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°，∴210°-α=α-60°，解得：α=135°，∴当α=135°时，AC ⊥OE ．（3）∵△COE 是正三角形，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得到△AEC ，∴AC=BC ，EC=CO=EO ，BO=AE ，∠AEC=∠BOC ，①如图，当OC ：OA ：OB=1：3：2时，OE ：OA ：AE=1：3：2，∵12+（3）2=22，∴△AOE 是直角三角形，∠AOE=90°，∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，②当OC ：OB ：OA=1：3：2时，EO ：AE ：OA=1：3：2时，∵12+（3）2=22，∴△AOE 是直角三角形，∠AEO=90°，∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，∴当α=120°或150°时，存在α的值使得点O 到正△ABC 三个顶点的距离之比为132．【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论的思想得出不同情况是此题的易错点．7．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）BF BP BD +=．【分析】（1）利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =，即可得出结论；（2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆，得出CP BF =即可解答；（3）同（2）的方法得出结论．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =，点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，故答案为：BC BD =；（2）BF BP BD +=，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =，点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠-∠=∠-∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BP BC +=，BF BP BC ∴+=，BC BD =，BF BP BD ∴+=；（3）如图③，BF BD BP =+，理由：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60CBA ∴∠=︒，12BC AB =，点D 是AB 的中点，BC BD ∴=，DBC ∴∆是等边三角形，60CDB ∴∠=︒，DC DB =，线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，60PDF ∴∠=︒，DP DF =，CDB PDB PDF PDB ∴∠+∠=∠+∠，CDP BDF ∴∠=∠，在DCP ∆和DBF ∆中， DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCP DBF ∴∆≅∆，CP BF ∴=，CP BC BP =+，BF BC BP ∴=+，BC BD =，BF BD BP ∴=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出DCP DBF ∆≅∆，是一道中等难度的中考常考题．8．10【分析】将DAF ∆绕点A 顺时针旋转90度到BAF ∆'位置，根据旋转的性质得出45EAF ∠'=︒，进而得出FAE EAF ∆≅∆'，即可得出EF EF BE BF BE DF '==+'=+，从而可得ECF △的周长=CD CB +．【详解】解：将DAF ∆绕点A 顺时针旋转90度到BAF ∆'位置，由题意可得出：DAF BAF ∆≅∆'，DF BF ∴='，DAF BAF ∠=∠'，45EAF ∴∠'=︒，在FAE ∆和EAF ∆'中，AF AF FAE EAF AE AE ='⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩，()FAE EAF SAS ∴∆≅∆'，EF EF ∴='，∴EF EF BE BF BE DF '==+'=+∴ECF △的周长=EF EC FC DF FC BE EC CD BC ++=+++=+，∵正方形ABCD 的边长为5，即==5CD BC ，∴ECF △的周长25=10⨯．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出FAE EAF ∆≅∆'是解题关键．9．（1）12336+2）a ＝6+14时，四边形PMEF 周长最小；（3）PM +PN 的最小13【分析】（1）如图1（见解析），先根据轴对称的性质、两点之间线段最短得出BPC ∆周长最小时，点P 的位置，再根据矩形的性质、直角三角形的性质求出CD 的长，从而可得CC '的长，然后利用勾股定理可得BC '的长，由此即可得出答案；（2）如图2（见解析），要使四边形PMEF 的周长最小，只需ME PF +最小；先利用平移、轴对称的性质得出2ME F M =，再根据两点之间线段最短得出2M F PF +最小时，点F 的位置，然后利用待定系数法求出直线2PM 的解析式，从而可得a 的值；（3）如图（见解析），先将BCP ∆绕点C 顺时针旋转60︒，利用旋转的性质、勾股定理求出PA 的长，再将APM ∆绕点A 逆时针旋转60︒，根据旋转的性质、两点之间线段最短确认PM PN +最小时，点N 的位置，然后根据等边三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）如图1，作点C 关于直线AD 的对称点C '，连接C B '交AD 于P '，则CD C D由轴对称的性质、两点之间线段最短可知，此时BPC ∆周长最小，最小值为1212BC BP CP BP P C BC ''''''++=++=+作AH BC ⊥于H//,AD BC CD BC ⊥AD CD ∴⊥90AHC DCH ADC ∴∠=∠=∠=︒∴四边形ADCH 是矩形,AD CH AH CD ∴==12,8BC AD ==8,1284CH BH BC CH ∴==-=-=在Rt ABH ∆中，60,9030ABH BAH ABH ∠=︒∠=︒-∠=︒ 2228,43AB BH AH AB BH ∴===-=43C D CD AH '∴===283CC CD '∴==222212(83)336BC BC CC ''∴=+=+=则BPC ∆周长的最小值为1212336BC '+=+故答案为：12336+；（2）四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，则只要ME PF +最小，四边形PMEF 的周长将取得最小值如图2，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），连接1M F则1(1,1)M ，四边形1MEFM 是平行四边形1ME M F ∴=作点1M 关于x 轴的对称点2M ，连接2M F则2(1,1)M -，12M F M F =12M F ME PF PF M P F F ∴+=+=+由两点之间线段最短得：当点2,,M F P 共线时，2M F PF +最小，最小值为2PM 设直线2PM 的解析式为y mx n =+ 将点2(1,1),(26,3)P M -+代入得1(26)3m n m n +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得46454615m n ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩则直线2PM 的解析式为46446155y x --+=将点(1,0)F a +代入得464461(1)055a -++=- 解得614a += 故当614a +=时，四边形PMEF 周长最小；（3）如图3﹣1中，将BCP ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ACE ∆，连接PE由旋转的性质得：150,60,2,3AEC BPC PCE AE BP PC EC ∠=∠=︒∠=︒==== PCE ∴∆是等边三角形60,3PEC PE PC ∴∠=︒==90AEP AEC PEC ∴∠=∠-∠=︒22222313PA AE PE ∴=+=+如图3﹣2中，将APM ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AFN ∆，连接PF ，交AC 于点D 由旋转的性质得：60,13,PAF AF PA PM NF ∠=︒===PAF ∴∆是等边三角形，13PF PA ==PM PN NF PN ∴+=++最小，最小值为PF由两点之间线段最短得：当点N与点D重合时，NF PN+的最小值为13．故PM PN【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了图形变换（对称、平移、旋转）、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握理解并灵活运用图形变换是解题关键．10．（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5【分析】(1）根据题干可知本题考查全等三角形证明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CD．(2)根据图2和条件，作B'D⊥AC于D，先证明△B'AD≌△A B'D得到B'D=AC=6，则可根据三角形面积公式计算；(3)根据图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，则EP=CE＋CP=5，然后计算点P运动的时间t．【详解】(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，又∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)如图2，作B'D⊥AC于D，∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，∴AB’=AB，∠B’AB=90°，即∠B′AC＋∠BAC=90°，而∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△A BD(AAS)，∴B′D=AC=6，∴△A B′C的面积=6×6÷2=18；(3)如图3，由旋转知，OP=OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP ∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BC-OC=1，∴CP=1，∴EP=CE＋CP=5，∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．【点睛】本题难道角度特别是需要作辅助线，要明确本题考点几何的综合变换，结合全等三角形及辅助线技巧，大胆猜想，小心求证．。

全等三角形旋转模型知识点-+典型题及答案(1)

全等三角形旋转模型知识点-+典型题及答案(1)一、全等三角形旋转模型1．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=，()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．2．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形，连接AB ，DF ，延长DF 交AB 于点E ．（1）如图1，若AD ＝BD ，DE 是∠ADB 的平分线，BC ＝1，求CD 的长度；（2）如图2，连接CE ，求证：DE ＝2CE ＋AE ；（3）如图3，改变△BCF 的大小，始终保持点在线段AC 上（点F 与点A ，C 不重合）．将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ，取AD 的中点O ，连接OP ．当AC ＝2时，直接写出OP 长度的最大值．解析：（1）21CD =；（2）证明见解析；（3）22+【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求出1FC BC ==，再判断出FA FB =，即可得出结论；（2）先判断出ABC DFC ≅△△，得出BAC CDF ∠=∠，进而判断出ACE DCH ≅△△，得出AE DH =，CE CH =，即可得出结论；（3）先判断出2OE OQ ==，再判断出OED QEP ≅△△，进而求出2PQ OD ==．即可得出结论．【详解】（1）解：BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC CD ∴=，1FC BC ==，2FB =，AD BD =，DE 是ABD ∆的平分线，DE ∴垂直平分AB ，2FA FB ∴==，21AC FA FC ∴=+=+，21CD ∴=+；（2）证明：如图2，过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ，BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC DC ∴=，FC BC =，90ACB DCF ∠=∠=︒；()ABC DFC SAS ∴≅△△，BAC CDF ∴∠=∠，90ECH ∠=︒，90ACE ACH ∴∠+∠=︒，90ACD ∠=︒，90DCH ACH ∴∠+∠=︒，ACE DCH ∴∠=∠．在ACE 和DCH 中，BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACE DCH ASA ∴≅△△，AE DH ∴=，CE CH =，2EH CE ∴=．2DE EH DH CE AE =+=+；（3）OP 的最大值是22+．解：如图3，连接OE ，将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ，连接OQ ，PQ ，则2OQ OE =．由（2）知，90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED △中，点O 是斜边AD 的中点，122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===，在OED 和QEP △中， OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OED QEP SAS ∴≅△△，2PQ OD ∴==22OP OQ PQ +=+O 、P 、Q 三点共线时，取“=”号，OP ∴的最大值是22+【点睛】此题是几何变换综合题，主要等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．3．如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△AEF 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE 、DF 相交于点P ．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．答案：B解析：（1）BE＝DF；（2）不成立，结论：DF＝nBE；理由见解析（3）634或634【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF，理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，AE=12AB，AF=12AD，∴AE=AF，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，故答案为：BE=DF；（2）结论不成立，结论：DF=nBE，∵AE=12AB，AF=12AD，AD=nAB，∴AF=nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE=AD∶AB，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，∴DF=nBE；（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=12AB=4，∴BE=22AB AE-=43，∵△ABE∽△ADF，∴ABAD =BE DF，∴812=43DF，∴DF=63，∵四边形AEPF是矩形，∴AE=PF=4，∴PD=DF-PF=634-；如图4-2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF=63PF=AE=4，∴PD=DF＋PF=634，综上所述，满足条件的PD的值为634-或634．【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题，是一道较难的几何综合题．4．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝（用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-，∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．5．在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，BP 平分∠ABO ．（1）如图1，点T 在BA 延长线上，若AP 平分∠TAO ，求∠P 的度数；（2）如图2，点C 为x 轴正半轴上一点，∠ABC ＝2∠ACB ，且P 在AC 的垂直平分线上． ①求证：AP //BC ；②D 是AB 上一点，E 是x 轴正半轴上一点，连接AE 交DP 于H ．当∠DHE 与∠ABE 满足什么数量关系时，DP ＝AE ．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE +∠ABE ＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB ＝2∠P ＝90°，可求解；（2）①过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，连接PC ，由角平分线的性质可得PE ＝PF ，由垂直平分线的性质可得PA ＝PC ，由“HL ”可证Rt △APE ≌Rt △CPF ，可得∠EPA ＝∠CPF ，由四边形内角和定理可得∠EBF +∠EPF ＝180°，由角的数量关系可证∠ACB ＝∠PAC ，由平行线的判定可证AP ∥BC ；②如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，通过证明△ADP ≌△NEA ，可得DP ＝AE ．【详解】解：（1）∵BP 平分∠ABO ，AP 平分∠TAO ，∴∠PBT ＝12∠ABO ，∠TAP ＝12∠TAO ， ∵∠TAO ＝∠ABO+∠AOB ，∠TAP ＝∠P+∠ABP ，∴∠AOB ＝2∠P ＝90°，∴∠P ＝45°；（2）①如图2，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，连接PC ，又∵PB 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ，∵P 在AC 的垂直平分线上，∴PA ＝PC ，∴∠PAC ＝∠PCA ，在Rt △APE 和Rt △CPF 中，AP PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ），∴∠EPA ＝∠CPF ，∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°，∴∠EBF+∠EPF ＝180°，∴∠ABC+∠APC ＝180°，∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°，∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ，∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠PAC ，∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ，∴AB ＝AN ，∴∠ABN ＝∠ANB ，∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°，∴AP ＝AB ，∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°，∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°，∴∠BDH+∠BEH ＝180°，∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ，在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△NEA （AAS ），∴DP ＝AE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△；（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证．【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC =∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形∴∠CFD=90°又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒∴DM BC ，DN AC∵D 为AB 边的中点 ∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC = ∵AC=BC∴MD=ND∵90EDF ∠=︒∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒∴MDE NDF ∠=∠在DME ∆与DNF ∆中DME DNF MD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆∴DME DNF S S ∆∆=∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形 ∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 对于图3：连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆ ∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形 ∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．7．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB ≌△AEC∴BD=EC ，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF ≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F 是BC 的中点（3）当点P 在△ABC 内部，如图所示，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4∴PP '=23，∵∠AP C '=120°，∠AP P '=30°，∴∠PP C '=90°，∴PC=()2223427+=．当点P 在△ABC 外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '3∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+=．综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．8．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝PDAD，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P（32，154）；（3）M（9332-，0）或（9332+，0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S△ABC＝12•AB•OC＝12×4×3＝6，∴t＝PDAD ＝6PBCS∆＝211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m2+34m＝﹣14（m﹣32）2+916，∵﹣14＜0，∴m＝32时，t有最大值，最大值为916，此时P（32，154）；（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，∵∠COM＝∠EHM＝∠CME＝90°，∴∠EMH+∠CMH＝90°，∠EMH+∠MEH＝90°，∴∠MEH ＝∠CMO ，∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ，整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m ＝9332-或9332+， ∴M （9332-，0）或（9332+，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．9．如图，BC ⊥CA ，BC ＝CA ，DC ⊥CE ，DC ＝CE ，直线BD 与AE 交于点F ，交AC 于点G ，连接CF ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）求证：BF ⊥AE ；（3）请判断∠CFE 与∠CAB 的大小关系并说明理由．答案：C解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE ＝∠CAB ，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ；（2）∵△BCD ≌△ACE ，∴∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BGC ＝∠AGE ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AE ；（3）∠CFE ＝∠CAB ，过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，∵△BCD ≌△ACE ，∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==，∴CH ＝CI ，∴CF 平分∠BFH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠CFE ＝∠CAB ．【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。

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旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A ．20°B ．26°C ．30°D ．36°3．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB 于D ，则旋转角等于（）A ．70°B ．80°C ．60°D ．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠AED 都是直角，点E 在AB 上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC 为等边三角形，D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置．如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置．(图4) (图5) (图6) (图7)如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=12AB ．（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE 与DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转旋转中心旋转角2．A 45°3．点A 60°等边三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．（2）BE=DF，BE⊥DF2．翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC 的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD 的对角线交于O 点，若点E 在AC的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，则△OAF 与△OBE 重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A 3．D二、1．相等 2．△ACE 图形全等 = 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB 、AC 的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=12． 3．重合：证明：∵EG ⊥AF∴∠2+∠3=90°∵∠3+∠1+90°=180°∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2同理∠E=∠F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC∴△ABF ≌△BCE ，∴BF=CE ，∴OE=OF ，∵OA=OB∴△OBE 绕O 点旋转90°便可和△OAF 重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A ．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B ．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C ．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D ．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成把菱形ABCD 以A 为中心（）A ．顺时针旋转60°得到的B ．顺时针旋转120°得到的C ．逆时针旋转60°得到的D ．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（）A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）D．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D的位置．21085答案:一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（）A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．D 1C 1B 1A 1B AED G F3．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一三、1．（1）①假 ②真（2）①③（3）①例如正五边形正十五边形 •②例如正十边正二十边形2．（1）证明：∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1BD=∠C 1FB又∵四边形ABEF 是由四边形A 1B 1EF 翻折的，∴∠B 1FE=∠EFB ，同理可得：∠FBG=∠D 1BG ，初中数学资源网 ∴∠EFB=90°-12∠C 1FB ，∠FBG=90°-12∠A 1BD ， ∴∠EFB=∠FBG∴EF ∥BG ，∵EB ∥FG∴四边形BEFG 是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD 1∥FC 1，∴∠BGF=∠D 1BG ，∴∠FGB=∠FBG同理可得：∠B 1BF=∠FB 1B ．∴∠B 1BG=90°，∴△B 1BG 是直角三角形3．解：（1）如右图所示（2）由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴1042a b cca b c=-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解这个方程组得12121abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求五数解析式为y=-12x2+12x+1．。