三角形等积变形
三角形等积变形
三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。
以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。
例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。
2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。
可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。
3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。
4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。
这些是一些常见的三角形等积变形的示例。
以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。
2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。
保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。
3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。
保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。
五大模型——三角形等积变形、共角模型
xueersi学而思网校小升初几何重点考查内容萤内容拱黑一，岛头模型（共角模型）两个三角形中有一小南相等或互补，这西小三房形叫械挂角王角形花角三角形的面枳比等于对成角（相等角或互补制三、三角夥的等秋霓形直知8平有于CD ,可加£」皿=£路两个三庵形高相等，面积比等于它们的底之比两个三用形底相尊*面积比等于它们的商之比&L 皿* &皿1 = BD；CD（★★★）已知三角形DEF的面积为18, AD : BD = 2 : 3, AE : CE= 1 : 2, BF : CF = 3 : 2,则三角形ABC的面积为？伽(…)如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD = AB;延长BC至E,使CE = 2BC;延长CA至F,使AF = 3AC，求三角形DEF的面积。
^9(★★★ ★)如图将四边形ABCD四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5cm2,贝U四边形EFGH的面积是多少？例4工―(★★★)图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。
那么三角形AEF的面积是多少平方厘米(★★★★)如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成。
求阴影部分的面积。
4. ★★★★如图， 角形AEF 的面积是18平方厘米，三角形 ABC 的面积是（）平方厘米?C. 725. ★★图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABC D 三条边的三等分点， 如果正方形的边长是 12, 那么阴影部分的面积是（）A . 50B . 48 C. 56 D . 45羌I 赛班 ABC 的BA 边延长1倍到D, CB 的边延长2倍到E, AC 边延 :ABC 的面积等于1 ,那么三角形DEF 的面积是多少？ B . 8 C. 3. ★★★★★如图, ABCD 的面积是 A . 130 把四边形 ABCD 的各边都延长 6,则EFGH 的面积是（）？ B. 145 C. 160D 是BC 的中点，AD 的长是 AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍.。
六年级数学上册讲义：直线型计算综合(一)
六年级数学上册讲义：直线型计算综合（一）知识点回顾 一、等积变形等底等高的两个三角形面积相等，这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等。
第一类：两个三角形有一个公共顶点，而这个公共顶点所对的边在一条直线上且相等。
第二类：两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上。
二、比例模型两个三角形的高相等，面积比等于它们的底边之比 两个三角形的的底相等，面积之比等于它们的高之比三、鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵EDCBAEDCB A四、蝴蝶模型任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”或“蝴蝶模型”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
本讲重点 1. 等积变形2. 三角形内接正方形3. 鸟头模型4. 蝴蝶模型A BC DO ba S 3S 2S 1S 4热身小练习1.如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是平方厘米。
2.图中两个正方形的边长分别是5cm和3cm，阴影部分的面积是2cm。
3.下图的三角形ABC中，AD：DC=2：3，AE=EB，则甲乙两个图形面积的比是。
典型例题例1：如图，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，点M，N，I，H分别是边BC,AD 第2题图第3题图的三等分点，点E，F,G是边CD的四等分点，求图中阴影部分面积。
三角形等积变形
定理一：等底等高的三角形面积相等。
定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
1. 校园里有两块三角形空地，计划分别种上玫瑰和牡丹，玫瑰园和牡丹园一共占地多少平方米？2. 如下图，已知阴影部分的面积为28平方厘米，求平行四边形的面积。
3. 下图由两个正方形组成，其边长6cm和4cm，求阴影部分的面积。
4. 已知平行四边形的底边为10cm，高为5cm，求两个阴影面积之和是多少？5. 在△ABC中，已知CD=2BD，如果△ABD的面积为15平方厘米，求△ACD的面积。
6. 在△ABC 中，AD=BD ，DE=BD ，△BEC 的面积为7.5平方厘米，求△ABC 的面积。
7. △ABC 的面积为28平方厘米，CD=3BD ，求△ABD 和△ACD 的面积。
8. 平行四边形ABCD 的面积为135平方厘米，CE=2AE,求△ABE 的面积。
9. 已知E 是BC 的中点，△ABC 的面积是60平方厘米，DE=3BD ，求△ABD 的面积。
D B CE AB C DA10. 已知△AOD的面积是15平方厘米，△BOC的面积是30平方厘米，CO=2AO，求阴影部分的面积及梯形ABCD的面积。
11. 如下图，在三角形ABC中，AD=BD，CE=3BE。
若三角形BED的面积是1平方厘米，求△ABC的面积。
12.在△ABC中，已知D是AB的中点，DE=2CE，△ADE的面积为28平方厘米，求△ABC的面积。
13.已知△ABC的面积是56平方厘米，△ADC的面积是20平方厘米，BE=3AE，求△BDE 的面积。
1. 如下图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求△ABC的面积。
2. 如下图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求阴影部分的面积。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
而四边形CEFH是它们的公共部分，
所以三角形DHF的面积=三角形BCH的面积，
进而可得阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积= 10×10÷2=50（平方厘米）。
法2：连接CF，那么CF平行BD，
所以，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=50（平方厘米）。
附加题目
【附1】 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数
【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。
法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
分析：
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
分析：连结AE、BF、CD(如右下图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等，而底边EB=2BC，所以三角形AEB的面积是2.同理，三角形CBF的面积是3，三角形ACD的面积是1.
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
第三讲三角形的等面积变形
例 3，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中三角形 BDF 面积为多少平方厘米？
A
DG FHBEC分析:连接 CF.则 CF∥BD。则三角形 BCD 与三角形 BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。 因为他们有一条公共的底边 BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条
E
D
F
G
O
C
连接 FD、OD,则三角形 OFD 与三角形 OFE 是等积三角形，所以面积相等，所以凹四边形 CFDO 的面积等于三角形 CEF 的面积，都是 32 平方厘米，而 CDF 的面积为长方形面积的 一半模型，所以等于长方形面积的一半，即 12×8÷2=48（平方厘米），所以三角形 CDF 的 面积=48-32=16（平方厘米），所以 OG=16×2÷8=4（厘米）。 学案 4 如下图所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近 B 点的四等 分点。三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？
请同学们自己试一试吧。 学案 2，
F
A B
D
C
E
如上图，已知三角形 ABC 的面积为 1，延长 AB 至 D,使 BD=AB,延长 BC 至 E,使 CE=2BC, 延长 CA 至 F,使 AF=3AC,求三角形 DEF 的面积。 分析：连接 CD,AE.因为 AB:BD=1:1,所以三角形 DBC 的面积：三角形 ABC 的面积=1：1， 所以也是 1 个单位，因为 BC:CE=1:2,所以三角形 DCE 的面积为 2 个单位，同理三角形 ACE 的面积也是 2 个单位，因为 AC:AF=1:3,所以三角形 AEF 的面积为 6 个单位，因为三角形 ADC 的面积为 2 个单位，而 AC:AF=1:3,所以三角形 ADF 的面积为 6 个单位，这样 DEF 的 面积为 6+6+2+2+1+1=18 个平方单位。
三角形的等积变形
三角形的等积变形一、等积变形【例1】★★★三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。
求图中阴影部分的面积。
二、倍比关系【例2】★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
bS1︰S2 =a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S 4S 3s 2s 1O DCBA①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；F D CBAS 4S 3s 2s 1ba。
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例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E， 交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积． 解：连结AC，∵AB//CD， ∴S△ADE=S△ACE 又∵AD//BC， ∴S△ACF=S△ABF 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶ S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
再 见
方法 1：如下左图，将 BC边八等分，取 1∶3∶4的分点D、E， 连结AD、AE，从而得 到△ABD、△ADE、 △AEC的面积比为 1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、 △ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可 以自己寻找解决
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线， 其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角 的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两 个三角形面积相等．
例如在右图中，△ABC与 △DBC的底相同（它们的 底都是BC），它所对的 两个顶点A、D在与底BC 平行的直线上，（也就 是它们的高相等），那 么这两个三角形的面积 相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角 形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 例如右图中，△ABC与 △DBC的底相同（它们的底 都是BC），△ABC的高是 △DBC高的2倍（D是AB中点， ABБайду номын сангаас2BD，有AH=2DE），则 △ABC的面积是△DBC面积 的2倍．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE， BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分 成两个部分S1与S2．连结FD， 有S△FBD=S△DBC=S1 所以 S△CGF=S△DFC=2S1． 同理 S△AEH=2S2， 因此 S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2 （S1+S2）=2×1=2． 同理，连结AC之后，可求 出S△HGD+S△EBF=2所以四边 形EFGH的面积为2+2+1=5（平 方单位）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD， ∴ S△ACE=3S△ADE=3 （平方厘米）． 在△ABC中，∵BE=3AE ∴ S△ABC=4S△ACE =4×3=12（平方厘 米）．
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE=EF=FC。求阴形面积。
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果 △ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE， ∴S△ADE=S△ACE； S△CDF=S△ACF；又∵AC 与EF平行， ∴S△ACE=S△ACF； ∴ S△ADE=S△CDF=4（平方 厘米）．