(完整版)第十八章平行四边形知识点及练习

知识点1：平行四边形的定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）表示方法：平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD 记作“ ABCD ”，其中表示顶点的字母要按顺时针或逆时针方向排列。

（3）平行四边形的基本元素：边，角，对角线。

边：邻边：AB 和AD ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB ，共有四对。

对边：AB 和DC ，AD 和BC ，共有两对。

角：邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠DAB 和∠ABC ，共有四对。

对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ADC 和∠ABC ，共有两对。 对角线：AC 和BD ，共有两条。

注意：平行四边形的定义既是性质，又是判定。 (1)由定义知平行四边形两组对边分别平行；

（2）由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

例：如图，已知AB//DE ，EF//BC ，DF//AC ，图中有几个平行四边形？将它们表示出了，并说明理由。

知识点2：平行四边形的性质

边：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD//BC ，AB=CD ，AB//CD 角：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴（1）∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC 。

（2）∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°，∠BCD+∠ADC=180°，∠ADC+∠BAD=180°。 对角线：平行四边形的对角线互相平行。

符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=AC ，OB=OD=BD

例1：如图所示，在平行四边形ABCD 中，过AC 中点O 作直线，分别交AD 、BC 于点E 、F ，求证：△AOE ≌△COF 。

例2：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分∠ADC ，交AB 于点E ，BF 平分∠ABC ，交CD 于点F 。

(1)求证：DE=BF

(2)连接EF ，写出图中所有的全等三角形。（不要求证明）

例3：如图所示，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过点O 作OE ⊥BD ，交BC 于点E ，若△CDE

1

l 2

l

1

E

C

的周长为10，则□ABCD 的周长为__________.

知识点3：平行线间的距离 （1）平行线间的距离的定义

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一点直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （2）平行线间的垂线段的性质

①文字叙述：平行线间的距离处处相等。

②数学语言：如图所示，A ，C 是l 上任意两点。

若l ∥l ，AB ⊥l ，CD ⊥l ，则AB=CD 。

拓展：三种距离之间的区别与联系 两点间的距离：连接两点的线段的长度。 点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度。

两条平行线间的距离：两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度。 联系：它们都是指某一条线段的长度。

例：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 、l 、l 上，且l 、l 之间的距离为2，l 、l 之间的距离为3，则AC 的长是（ ）

A.2 17

B.2 5

C.4 2

D.7

知识点4：平行四边形的面积 平行四边形的面积等于它的底（即平行四边形的一条边）和该底上的高的积。 （1）如图①所示，S =BC AE=CD BF 。

（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等，如图②所示，□ABCD 和□EBCF 有公共边BC ，则S =S 。

例1：如图所示，已知□ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm ，∠B=30°，求□ABCD 的面积。

例2：如图所示，已知P 是□ABCD 的对角线BD 上一点，EF ∥BC ，

MN ∥AB ，且EF 、MN 相交于点P ，则图中□AEPM 与□PNCF 的面积关系是（ A.相等 B. □AEPM 的面积大

C. □AEPM 的面积小

D.无法确定

知识点5：平行四边形的判定

B

O D

A E

C F

A B

D A

C

D F

D B

A 1、边：

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义），

符号语言：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

符号语言：∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形； (3)一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，

符号语言：∵AB ∥CD 且AB=CD （或AD ∥BC 且AD=BC ），∴四边形ABCD 是平行四边形。 2、角：

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

符号语言：∵∠ABC=∠ADC ，∠BAD=∠BCD ，∴四边形ABCD 是平行四边形。 3、对角线：

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，

符号语言：∵AO=CO ，DO=BO ，∴四边形ABCD 是平行四边形。

例1：四边形ABCD 如图所示，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的选项是（ ）

A. AB ∥CD ，AB=CD

B. AB=CD ，AD=BC

C. AB=CD ，AD ∥BC

D. AB ∥CD ，AD ∥BC

例2：如图所示，将□ABCD 的对角线BD 向两个方向延长至点E 和点F ，使BE=DF ，求证四边形AECF 是平行四边形。

知识点6：三角形的中位线

（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

几何描述：如图所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，则线段DE 、EF 、FD 是△ABC 的三条中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 几何描述：如图所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，则线段DE 、EF 、FD 是△ABC 的三条中位线，故DF ∥BC ，DF= BC ；DE ∥AC ，DE= AC ；

EF ∥BA ，EF= BA 。

（3）三角形中位线定理的作用：①证位置关系：可以证明两条直线平行；②证数量关系：可以证明线段的线段或倍分关系。

例：如图所示，□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为__________.

能力点1：运用平行四边形的性质计算

例：如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，∠A+∠C=80°，□ABCD 的周长为40，且AB-BC=2，求□ABCD 各内角的度数和各边的长。

能力点2：运用平行四边形的性质证明

例1：如图所示，在□ABCD 中，AE ∥CF ，AE 与BD 相交于点P ，CF 与BD 相交于点Q ， 求证：BP=DQ 。

例2：如图所示，在□ABCD 中，点E 是AB 的中点，连接DE 并延长，交BC 的延长线于点F 。 （1）求证：△ADE ≌△BFE

（2）若DF 平分∠ADC ，连接CE ，试判断CE 与DF 的位置关系，并说明理由。

能力点3：平行四边形性质的综合运用

例：如图所示，在□ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB=AE. （1）求证：△ABC ≌△EAD

（2）若AE 平分∠DAB ，∠EAC=25°，求∠AED 的度数。

能力点4：平行四边形的判定和性质的综合应用

D

C

例：在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线B C于点E，交直线DC于点F。

（1）如图所示，证明CE=CF

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DG（如图2），直接写出∠BDG的度数。

能力点5：构造平行四边形解决问题

掌握构造平行四边形的两种基本方法：一是作平行线构造平行四边形；二是延长经过中点的某条线段，再顺次连接线段的端点。

例1：如图所示，已知CD是△ABC的中线，CN=MN，求证：AM=CB。

例2：如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=2∠ABC，求证：AB=AD+CD.

能力6：三角形的中位线问题

由三角形的中位线定理，可直接得到边边之间的数量关系及位置关系。在有中点条件时，可考虑利用中位线或构造中位线解决问题。

例1：如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，M、N分别为AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点P、Q，且∠FPQ=∠FQP。若BD=10，求线段AC的长。

例2：如图所示，已知AO是△ABC中∠BAC的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点。求证：DE= （AB-AC）。

能力点7：平行四边形探究性问题

平行四边形的探究问题形式多样，要根据题目条件特征及具体的问题来选用判定方法及性质来综合解决问题。

例：如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=1cm ，点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以cm/s 的速度由点C 向点B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？ 18.2.1矩形

知识点1：矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

用符号语言表示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形。

例：已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC 且AD=BC ，请添加一个条件，使四边形ABCD 成为矩形，加上的条件可以是_____________.

知识点2：矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还有以下性质： （1）矩形的四个角都是直角。 （2）矩形的对角线相等。

（3）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是过两组对边中点的直线。

例：如图，矩形ABCD 的对角线AC=8cm ，∠AOD=120°，则AB 的长为（ ）

A.cm

B.2cm

C.2cm

D.4cm

知识点3：矩形的判定 判定定理1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。

例：如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形。

知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质

（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（2） 斜边上中线性质的逆命题也是真命题，即如图三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三

角形是直角三角形。

E

例：如图所示，BD ，CE 是△ABC 的高，G ，F 分别是BC ，DE 的中点，试说明GF ⊥DE 。

能力点1：矩形性质的应用 根据矩形的性质、等腰三角形的性质等，经过简单的计算、推理，求线段长及角的度数或是证明线段（或角）相等。

例1：如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知AC=6cm ，∠BOC=120°， 求：（1）∠ACB 的度数；（2）AB 、BC 的长。

例2：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，若∠CAE=15°，求∠BOE 的度数。

例3：如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的平分线交CD 于点E ，EF ⊥AE ，交BC 于点F 。求证：AE=EF 。

能力点2：直角三角形斜边上的中线的性质应用

根据直角三角形斜边上的中线的性质，快速找到两条线段间的数量关系，为进一步的证明找到切入点。 例：如图所示，延长矩形的边CB 至点E ，使CE=CA ，点F 为AE 的中点，求证：BF ⊥FD 。

能力点3：矩形中的折叠问题

例：如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB=3，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°。 （1） 求BE ，QF 的长；

N

（2） 求四边形PEFH 的面积。

能力点4：矩形的判定的应用

根据题目中所给的条件的不同，灵活地选用矩形的判定方法进行证明。在动态问题中，要能判断出隐含的不变的数量关系或位置关系来。

例1：已知：如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

例2：如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC 。设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F 。 （1） 求证：OE=OF ；

（2） 若CE=12，CF=5，求OC 的长；

（3） 当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由。

18.2.2菱形

知识点1：菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

例：如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗？试说明理由。

知识点2：菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还具有以下性质： （1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。 拓展：菱形面积的求法：

（1）菱形的面积等于底乘以高；

（2）菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，因此菱形的面积可以用两条对角线之积的一半来表示，即菱形ABCD 的面积=4S =4×AO BO=2AO BO=AC BD 。

例1：如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）。

A.cm

B.cm

C.cm

D. cm

例2：如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，求证：∠DHO=∠DCO 。

知识点3：菱形的判定 （1）（定义法判定）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这个定理的另一种说法是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（3）判定定理2：四边相等的四边形是菱形。 例1：将平行四边形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到点D ’处，折痕为EF 。 （1） 求证：△ABE ≌△AD ’F ； （2） 连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论。

例2：如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC ，分别与BC ，CD 交于E ，F ，EH ⊥AB 于H ，连接FH ，求证：四边形CFHE 是菱形。

18.2.3正方形

知识点1：正方形的定义

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

例1：如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形。

知识点2：正方形的性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

归纳：（1）正方形的四条边相等，四个角都是直角。

（2）正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角。

（3）正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

（4）正方形的对角线把它分割为四个全等的等腰直角三角形。

（5）正方形的面积等于对角线平分的一半。

例1：如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM=EF.

知识点3：正方形的判定

（1）从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（2）从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）正方形的判定的示意图。

例：如图，已知矩形ABCD的各内角的平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，求证：四边

形MNPO 是正方形。

能力点1：性质的综合应用

利用菱形的性质与勾股定理相结合，解决与计算有关的问题，与三角形全等相结合，解决推理论证类问题。在解答过程中，还可以直接应用菱形的轴对称性解决部分问题。

例1：如图，在菱形ABCD 中，点F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过点M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2。 （1）若CE=1，求BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME 。

例2：菱形ABCD 中，∠B=60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD （1）如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF 。 （2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF 是等边三角形。

能力点2：菱形的判定的综合应用

根据题目中所给的角、边、对角线等方面的条件，结合其他几何知识，灵活地运用菱形的判定方法进行证明。

例1：如图所示，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为P ，Q ，M ，N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论。

例2：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点。

（1） 求证：△MBA ≌△NDC ；

（2） 四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说理由。

能力点3：菱形中的最值问题

菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。运用其轴对称可解决求最小值类的问题。

例1：如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点

M,N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM+PN 的最小值是__________. 例2：在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）

A.1

B.

C.2

D.+1

能力点4：与菱形相关的开放性问题

根据题意，利用平行四边形、菱形的性质、判定，利用分析法来找所需条件，解条件开放型问题。 例1：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE=BF ，连接AE ，CE ，请你以点F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需证明一组线段相等即可） （1）连接_____________： （2）猜想：____________=_____________；

（3）证明你的猜想。

例2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 的延

长线上，并且AF=CE.

（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形。 （2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？证明你的结论。

能力点5：正方形性质的综合运用

根据正方形的性质进行证明或计算，要注意结合题目有选择地运用。

例1：如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC 是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F 。

（1）求证：BE=CF ； （2）求BE 的长。

例2：如图所示，四边形OABC 与四边形ODEF 均为正方形，CF 交OA 于点P ，交DA 于点Q 。 （1）求证：AD=CF 。

（2）AD 与CF 垂直吗？说明你的理由；

（3）当正方形ODEF 绕O 点在平面内旋转时，（1）、（2明理由）

能力点6： 正方形的判定

根据题目条件，选择适当的判定方法，条理清晰、层次分明地证明一个四边形为正方形。

例：如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于D ，交AB 于E ，且CF=BE ， 求证：四边形BECF 是正方形。