(完整版)第十八章平行四边形知识点及练习

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人教版八年级数学下册第十八章平行四边形知识点复习及强化练习(无答案)

平行四边形知识点复习及强化练习一、知识点梳理：1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

3、平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

5、两条平行线间的距离处处相等。

二、典型例题：例1、（1）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【】A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行，另一组对边相等C. 一组对边平行且相等D. 两组对边分别相等（2）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是【】A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE（3）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O ，则OA 的取值范围是【】A ．2cm ＜OA ＜5cmB ．2cm ＜OA ＜8cmC ．1cm ＜OA ＜4cmD ．3cm ＜OA ＜8cm（4）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△CDE 的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为．【课堂练习1】1.如图1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是________________________.2、如图2，在ABCD 中，AD =8，点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，则EF = .图（1）图（2）（3）图（4）3、如图3,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,连结BE,BF,DF,DE,添加一个条件使四边形BEDF 是平行四边形，则添加的条件是______________（添加一个即可）.4、如图4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE //AD ，若AC ＝2，CE ＝4，则四边形ACEB 的周长为。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形同步资料及答案

《平行四边形边、角的性质》基础训练知识点1 平行四边形边、角的性质1.在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（） A.对边相等 B.对边平行C.对角互补D.内角和为3602.如图，在ABCD 中，M 是BC 延长线上的一点.若135A ︒∠=，则MCD ∠的度数是（）A.45︒B.55︒C.65︒D.75︒3.如图，若平行四边形ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长为（）A.14cmB.12cmC.10cmD.8cm4.（1）在ABCD 中，若200B D ︒∠+∠=，则A ∠=______；若:5:4A B ∠∠=，则C ∠=______________；（2）已知ABCD 的周长为28cm ，若:3:4AB BC =，则AB =________，BC =_____.5.（2019·吉林）如图，在ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接,,BE DF .求证：△ABE ≌△CDF .6.（2019·广安）如图，点E 是ABCD 的边CD 的中点，,AE BC 的延长线交于点,3,2F CF CE ==，求ABCD 的周长.知识点2 平行线间的距离7.如图，//,//,,a b AB CD CE b FG b ⊥⊥，点,E G 为垂足，则下列说法不正确的是（）A.AB CD =B.EC GF =C.,A B 两点的距离就是线段AB 的长度D.a 与b 的距离就是线段CD 的长度 8.如图，//,AB CD AB BC ⊥.若24cm,12cm ABCAB S ==，则△ABD 中AB 边上的高等于____________cm .易错点1 位置不确定，造成漏解9.已知直线////,a b c a 与b 的距离是5cm,b 与c 的距离是3cm ，则a 与c 的距离是__________.易错点2 不注意分情况讨论，造成漏解10.在ABCD中，A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则ABCD的周长是___________.参考答案1.C2.A3.D4.（1）80100︒︒（2）6cm 8cm5.证明：由题意可得：AE FC =，在ABCD 中，,AB DC A C =∠=∠.在△ABE和△CDF 中，,,,AE CF A C AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）.6.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，//.AD BC DAE ∴∴∠=,F D ECF ∠∠=∠. 又E 是CD 的中点，.ED EC ∴=∴△ADE ≌△FCE （AAS ）.3AD CF ∴==，2, 4. DE CE DC ABCD ==∴=∴的周长为2()14AD DC +=.7.D 8.6 9.8cm 或2cm 10.22或20《平行四边形边、角的性质》提升训练1.如图，在ABCD 中，4,6,AB BC AC ==的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE的周长是（）A.7B.10C.11D.122.如图所示，直线//,a b A 是直线a 上的一个定点，线段BC 在直线b 上移动，那么在移动过程中△ABC 的面积（）A.变大B.变小C.保持不变D.无法确定3.如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，DE 交BC 于点F ，连接CE ，则下列结论：①BE CD =；②BF DF =；③BEFDCFS S=；④//BD CE ，其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.（2019·梧州）如图，在ABCD 中，119,ADC BE DC ︒∠=⊥于点,E DF BC ⊥于点,F BE 与DF 交于点H ，则BHF ∠=______________.5.（2019·福建）在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点坐标分别为(0,0),(3,0),(4,2)O A B ，则其第四个顶点的坐标是____________.6.如图，在ABCD 中，CM AD ⊥于点,M CN AB ⊥于点N .（1）若45B ︒∠=，求MCN ∠的大小；（2）若ABCD 的周长等于15,2,3CM CN ==，求,AB AD 的长.7.（原创题）已知四边形ABCD 是平行四边形，,DAB ABC ∠∠的平分线相交于点P .（1）如图1，若点P 刚好落在CD 边上，5cm,8cm AD AP ==，求△APB 的周长；（2）如图2，若点P 落在ABCD 的内部，5cm,8cm AD AB ==，求EF 的长；（3）若点P 落在ABCD 的外部，画出图形并直接写出ABCD 应满足的条件.参考答案 1.B 2.C 3.D 4.61 5.(1,2)6.解：（1）45MCN ︒∠=.（2）3, 4.5AB AD ==7.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，//,//,,AD BC AB DC AD BC AB DC ∴==.180DAB CBA ︒∴∠+∠=.又AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，1()902PAB PBA DAB CBA ︒∴∠+∠=∠+∠=.180()90APB PAB PBA ︒︒∴∠=-∠+∠=.AP 平分,//DAB AB CD ∠，DAP PAB DPA ∴∠=∠=∠.5cm AD DP ∴==.同理：5cm PC BC AD ===. 10cm AB DC DP PC ∴==+=.在Rt △APB 中，10cm,8cm AB AP ==，221086(cm)BP ∴=-=.∴△APB 的周长为681024(cm)++=. （2）由（1）可知，,.5cm AD DE BC CF AD ===，5cm DE CF ∴==.又8cm AB =，8cm.2cm CD EF DE CF CD ∴=∴=+-=.（3）当ABCD 满足2AB AD >时，点P 落在ABCD 的外部，如图所示.《平行四边形对角线的性质》基础训练知识点1 平行四边形的对角线互相平分1.如图，在ABCD 中，O 是对角线,AC BD 的交点，下列结论错误的是（）A.//AB CDB.AB CD =C.AC BD =D.OA OC =2.（教材P44练习T1变式）如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，已知8,12,6AD BD AC ===，则△OBC 的周长为（）A.13B.17C.20D.263.如图，在ABCD 中，已知90,10cm,6cm ODA AC BD ︒∠===，则AD 的长为（）A.4cmB.5cmD.8cm4.如图，若ABCD的周长为22cm,,AC BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB 的周长小3cm，则AD=_________，AB=________.5.在ABCD中，3,5AB BCAC BD相交于点O，则OA的取值范围==，对角线,是________________.6.如图所示，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点,M N在对角线AC上，且AM CNBM DN.=，求证//知识点2 平行四边形的面积7.如图，在ABCD中，O是对角线,AC BD的交点.若△AOD的面积是5，则ABCD的面积是（）A.10B.15C.208.如图，若ABCD的面积为20,5BC=，则边AD与BC间的距离为_____________.9.如图，在ABCD中，对角线,==，AC BD相交于点O.若 1.5cm,5cmDO ABBC=，则ABCD的面积为___________.4cm易错点考虑不全面而致错10.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点,O AE BD⊥于⊥于点,E CF BD点F，则图中全等三角形共有（）A.7对B.6对C.5对D.4对参考答案1.C2.B3.A4. 4cm 7cm5.14OA <<6.证明：四边形ABCD 是平行四边形，,.OA OC OB OD AM CN ∴===，OM ON ∴=.在△BOM 和△DON 中，,,,OB OD BOM DON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOM ≌△DON (SAS)..//OBM ODN BM DN ∴∠=∠∴7.C 8.4 9.12 10.A《平行四边形对角线的性质》提升训练1.【整体思想】如图，ABCD 的对角线相交于点O ，且5AB =，△OCD 的周长为23，则ABCD 的两条对角线的和是（）A.18B.28C.36D.462.如图，ABCD 的对角线AC 的长为10cm,30,CAB AB ︒∠=的长为6cm ，则ABCD 的面积为（）A.260cmB.230cmC.220cmD.216cm3.（2019·遂宁）如图，在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,O OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE .若ABCD 的周长为28，则△ABE 的周长为（）A.28B.24C.21D.144.如图，在ABCD 中，,AC BD 为对角线，6,BC BC =边上的高为4，则阴影部分的面积为___________.5.（2018·福建改编）（1）如图1，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别交,AD BC 于点,E F .求证OE OF =；（2）如图2，在ABCD 中，若过点O 的直线与,BA DC 的延长线分别交于点,E F ，能得到（1）中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？6.（2019·荆门）如图，已知在ABCD 中，5,3,213AB BC AC === （1）求ABCD 的面积；（2）求证：BD BC ⊥.7.如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点,45,2E AEB BD ︒∠==，将△ABC 沿AC 所在直线翻折.若点B 的落点记为B '，则DB '的长为___________.参考答案1.C2.B3.D4.125.解：（1）证明：四边形ABCD 为平行四边形，∴//,AD BC OA OC =.,EAO FCO AEO CFO ∴∠=∠∠=∠.∴△AEO ≌△CFO （AAS ）. OE OF ∴=.（2）能得到（1）中的结论.证明如下：四边形ABCD 为平行四边形，//,.,AB CD OA OC EAO FCO AEO CFO ∴=∴∠=∠∠=∠.∴△AEO ≌△CFO（AAS ）. OE OF ∴=.一般性结论是：过平行四边形对角线的交点O 作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于,E F 两点，则OE OF =.6.解：（1）作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .设,BE x CE h ==，在Rt △CEB 中，229x h +=①，在Rt △CEA 中，22(5)52x h ++=②，联立①②，解得95x =，12.5h ABCD =∴的面积为12AB h ⋅=.（2）证明：作DF AB ⊥，垂足为,90F DFA CEB ︒∴∠=∠=.四边形ABCD 是平行四边形，,//AD BC AD BC ∴=.DAF CBE ∴∠=∠.又90DFA CEB ︒∠=∠=，,AD BC =∴△ADF ≌△BCE （AAS ）. 9916,5555AF BE BF ∴===-=，125DF CE ==.在Rt △DFB 中，2222212161655BD DF BF ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4BD ∴=.2223,5,BC DC CD DB BC ==∴=+.BD BC ∴⊥.《平行四边形的判定1》基础训练平行四边形的判定定理1：已知：四边形ABCD, AB=CD ，AD=BC 求证：四边形ABCD 是平行四边形平行四边形的判定定理2：已知：四边形ABCD, ∠A=∠C ，∠B=∠D 求证：四边形ABCD 是平行四边形平行四边形的判定定理3已知：四边形ABCD, AC 、BD 交于点O 且OA=OC ，OB=OD 求证：四边形ABCD 是平行四边形例题解析例：已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且OE=OF 。

八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记(带答案)

八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记单选题1、如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B ′D ′的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．1答案：D分析：先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′，从而可得答案.解：∵ 矩形纸片ABCD ，∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得：∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理：CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选：D.小提示：本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.2、如图，▱ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE +EO =4，则▱ABCD 的周长为( )A ．20B ．16C ．12D ．8答案：BBC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；分析：首先证明：OE=12解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=1BC，2∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．小提示：本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．3、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）D．2A．√2B．2√2C．32答案：A分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，∴P′D′=√2，即DQ+PQ的最小值为√2，故A正确．故选：A．小提示：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4、如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5答案：B分析：由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵点P 是BC 边上的一动点，∴AP ⊥BC 时，AP 有最小值，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝4， ∴BC ＝√BO 2+CO 2=√9+16=5， ∵S 菱形ABCD ＝12×AC×BD ＝BC×AP ，∴AP ＝245＝4.8，故选：B ．小提示：本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP ⊥BC 时，AP 有最小值是本题关键．5、如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(2,3)，则AC 长为（）A．√13B．√7C．5D．4答案：A分析：首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长．解：如图：连接OB∵点B的坐标为(2,3)，∴OB=√22+32=√13，又∵四边形OABC是矩形，∴AC=OB=√13，故选：A．小提示：本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．6、如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．√27B．3+√27C．6+√3D．6√3答案：D分析：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．解：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=DC=BC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE=√AD2−AE2=√62−32=3√3，∴2DE=6√3，∴MA+MB+MD的最小值是6√3，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．7、一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为（）A．28°B．56°C．36°D．62°答案：D分析：根据矩形的性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．解：如图所示标注字母，∵四边形EGHF为矩形，∴EF∥GH，过点C作CA∥EF，∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=∠NCA，∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故选：D．小提示：题目主要考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．8、如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5B．10C．6D．8答案：A分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，CP=12AC=3,BP=12BD=4,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9、如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则▱ABCD的周长为（）A．4B．6C．8D．12答案：C分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．解：∵在▱ABCD中，AC平分∠DAB，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．故选C．小提示：本题考查了菱形的判定定理，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．10、如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF//BC，分别交AB,CD于E,F，连接PB,PD，若AE= 1,PF=3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12答案：A分析：先根据矩形的性质证得S△DFP=S△PBE，然后求解即可．解：作PM⊥AD于M，交BC于N，∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，∵S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴S△DFP=S△PBE=12×1×3=32，∴S阴=32+32=3，故选：A．小提示：本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得S△DFP=S△PBE是解答本题的关键．填空题11、若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．答案：√2a分析：根据题意，可得正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边，结合勾股定理计算可得答案．解：∵正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边；∵正方形的边长为a，∴对角线长是√a2+a2=√2a．所以答案是：√2a小提示：本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟知正方形的两邻边与对角线构成一个等腰直角三角形是解题的关键．12、如图，在等腰Rt△ABC中，CA=BA，∠CAB=90°，点M是AB上一点，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM=1，BM=3，ΔCPD的面积的最小值为________．答案：6分析：设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′，得到当点M是PD的中点时，△CPD的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′，则点M不是P′D′的中点当MD′>MP′时，在MD′上截取ME=MP′，连接DE∵∠PMP′=∠DME∴△PMP′≅△DME(SAS)=S△PCD∴S△P′CD′>S四边形P′CDE当MD′<MP′时，同理可得S△P′CD′>S△PCD∴当点M是PD的中点时，△CPD的面积最小如图，作DH⊥AB于H则△DHM≌△PAM∴AM=MH,∠DHM=∠PAM=90°,AP=DH∴∠BHD=90°∵AM=1，BM=3∴AM=1=MH∴BH=2在等腰Rt△ABC中，CA=BA=3+1=4∴∠B=45°=∠C∴∠B=∠BDH=45°∴BH=DH=2=AP∴CP=AC+AP=4+2=6过点D作DK⊥PC交于K∴四边形AKDH是矩形∴DK=AH=AM+HM=2∴S△CDP=12CP⋅DK=12×6×2=6所以答案是：6小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．13、如图，在▱ABCD中，DB=CD，∠C=70°,AE⊥BD于E，则∠DAE=_______．答案：20°分析：要求∠DAE，就要先求出∠ADE，要求出∠ADE，就要先求出∠DBC．利用DB＝DC，∠C＝70°即可求出．解：∵DB＝DC，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，又∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝70°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°−∠ADE＝20°．故答案是：20°．小提示：此题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．14、如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，若AB=2,AD=4，则线段DF的长是_________．答案：32分析：根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF．解：∵长方形纸片ABCD，∴CD=AB=2，∠C=90°，根据折叠的性质可得AD′=CD=AB=2，∠AD′F=∠C=90°，D′F=DF，设D′F=DF=x，AF=AD−DF=4−x，根据勾股定理D′F+AD′=AF，即x2+2=(4−x)2，，解得x=32．所以答案是：32小提示：本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．15、如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为___________．答案：2分析：连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝1AB＝3，2由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，{AP=AP，AF=AD∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，所以答案是：2．小提示：本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．解答题16、如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S△ABD=S△ABC，求点D的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．分析：（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；（3）因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3时对应的点即可；（4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：-9+6+m=0，∴m=3；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；当x=0时，y=3，∴C（0，3），当y=0时，-x2+2x+3=0，x2-2x-3=0，（x+1）（x-3）=0，∴x=-1或3，∴B（-1，0）；（3）∵S△ABD=S△ABC，当y=3时，-x2+2x+3=3，-x2+2x=0，x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或2，∴只有（2，3）符合题意．综上所述，点D的坐标为（2，3）；（4）存在，理由：①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，∵AO=OC=3，故∠PAB=45°，∴矩形ABP′Q′为正方形，故点Q′的坐标为（3，4）；②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，同理可得，矩形APBQ为正方形，故点Q的坐标为（1，-2），故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．小提示：本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．17、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=3，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．2答案：(1)见解析(2)BD=6，四边形ABCD的周长为4√13分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）根据三角形中位线的性质可得OD=2EF=3，进而可得BD的长，Rt△AOD中，勾股定理求得AD，根据菱形的性质即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，OD，∴EF=12，∵EF=32∴OD=3，∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2OD=6，∵AC⊥BD，在Rt△AOD中，AO=2，OD=3，∴AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，∴菱形形ABCD的周长为4√13．小提示：本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．18、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G.（1）求证△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.答案：（1）证明见解析；（2）52.分析：分析：（1）先根据∠ADC=90∘,AF⊥DE证出∠DAF=∠CDF,再根据四边形GFCD是⊙O的内接四边形,得到∠FGA=∠FCD,从而证出结论;(2) 连接CG,根据△EDA∽△ADF得到EADA =AFDF,根据△AFG∽△DFC得AGDC=AFDF,从而AGDC=EADA,再根据DA=DC得AG=EA=1,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出⊙O的半径. （1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90∘.∴∠CDF+∠ADF=90∘.∵AF⊥DE.∴∠AFD=90∘.∴∠DAF+∠ADF=90∘.∴∠DAF=∠CDF.∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180∘.又∠FGA+∠DGF=180∘，∴∠FGA=∠FCD.∴△AFG∽△DFC.（2）解：如图，连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90∘，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF =DADF，即EADA=AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC =AFDF.∴AGDC =EADA.在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA−AG=4−1=3.∴CG=√DG2+DC2=√32+42=5.∵∠CDG=90∘，∴CG是⊙O的直径.∴⊙O的半径为52.小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.。

人教版初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B A G E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（）A ．3100mB ．4600mC ．5500mD ．6100m 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．43．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（）A ．52B ．26C ．13D ．39 4．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．△ABE ≌△CDE 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形6．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（）A ．100912B ．101012C ．101112D ．102112 7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（）A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤8．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．60 B．30 C．20 D．16a b c，若,a c的边长分别为1和3，则b的面积为（）9．如图，直线L上有三个正方形,,A．8 B．9 C．10 D．1110．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．13D．611．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即BDE）的面积为（）A．6 B．7.5 C．10 D．2012．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）A．8 B．3C．16 D．16313．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º14．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（）A ．6B ．43C ．43+D ．423+ 15．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（）①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC =③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2． 17．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．18．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF =_____．20．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 21．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________． 22．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若4AB =，6BC =，则EDF 的周长为__________．23．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________24．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．25．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．26．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝135°，AD ＝42，AB ＝8，作对角线AC 的垂直平分线EF ，分别交对边AB 、CD 于点E 和点F ，则AE 的长为_____．三、解答题27．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，连接AM 并延长至点E ，使EM AM =，连接CE ，CN ．（1）求证：ABM CDN ≌；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形MECN 是矩形？请说明理由；（3）连接AN ，EN ．当ANE 满足什么条件时，四边形MECN 是正方形？请说明理由．28．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，连接CE 使得点A 的对应点F 落在CE 上．（1）求证：CEB DCF ≅；（2）若2AB BC =，求CDE ∠的度数．29．如图，平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作,AE BD CF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．（1）求证：四边形CMAN 是平行四边形；（2）已知4,3DE FN ==．求BN 的长．30．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．。

人教版初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点(含答案解析)

一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠ 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．43．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（）A ．（一3，0）B ．（3，0）C ．（0，0）D ．（1，0） 4．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB CD =，AD BC =；③AO CO =，BO DO =；④AB ∥CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组．7．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6B ．8C ．3D ．48．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（）A ．2B ．2C ．3D ．510．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠11．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 12．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对边相等且平行 13．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③14．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．14C ．20D ．2415．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（）A ．12aB ．25aC ．32aD ．33a 二、填空题16．如图，在平行四边形ABCD 中，10,AB BAD =∠的平分线与BC 的延长线交于点E ､与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点M ，交AE 于点N ，连接DE ．若6DM =，则DE 的长为_______．17．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）18．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．19．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．20．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．21．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ．22．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AE 是对角线，则EAB ∠的度数是__________．23．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________．24．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．25．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．26．如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____．三、解答题27．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．（1）如图①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．28．如图，已知在Rt ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是斜边AB 上的中线，点E 是边BC 延长线上一点，连结,AE DE 、过点C 作CF DE ⊥于点F ，且DF EF =．（1）求证：AD CE =．（2）若5,6AD AC ==，求BDE ∆的面积．29．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，M 为边AB 的中点，连接MC ，MD ．（1）求证：MC ＝MD ：（2）若△MCD 是等边三角形，求∠AOB 的度数．30．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB ）顶端有一根绳子（AC ），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m （即0.7BC =），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m 处（即点E 到AB 的距离为3m ），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE ）为1.7m ，求宣传牌（AB ）的高度．。

平行四边形知识点总结及分类练习题

平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念，其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。

以下是对平行四边形知识点的总结：1、定义：平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行且相等。

可以用符号“▭”表示。

2、性质：1)对边平行：平行四边形的对边平行且相等。

2)对角相等：平行四边形的对角相等，邻角互补。

3)平行四边形的面积等于其底乘高。

3.判定方法：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5)邻角互补的四边形是平行四边形。

4.特殊平行四边形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们分别具有以下性质：1)矩形：对角线相等，四个角都是直角。

2)菱形：对角线垂直且平分，四边相等。

3)正方形：对角线垂直且相等，四个角都是直角。

二、分类练习题1、选择题：1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形？A.一组对边相等，一组对角相等B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对角相等，另一组对边平行D.一组对角相等，一组邻角互补答案：(C)一组对角相等，另一组对边平行。

因为一组对角相等，另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行，另一组对边相等的四边形经过平移得到，因此选项C正确。

其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。

2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形？A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等，一组邻角互补答案：(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形，而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B正确。

其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分，但不足以单独判定一个四边形为矩形。

特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。

八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳(带答案)

八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳单选题1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A．AB+BC=AC B．AB= AD C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°答案：B分析：由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．2、如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF:FC的值是（）A．3B．√5+1C．2√2+1D．2+√3答案：D分析：取AC的中点M，连接EM设CD=2x,由中位线性质可得EM//CD,EM=12CD,EM=x,再根据∠DAB= 60°，∠DEF=45°可得出FM=EM=x,从而得到FC的长，即可得到AF:FC的结果．解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM，设CD=2x,∵点E是DA中点，∴EM是△ACD的中位线，∴EM//CD,EM=12 CD,∴EM=x,∵∠DAB=60°,四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠DCA=∠EMA=30°，∠AMD=90°，∵∠DEF=45°∴∠EFM=45°−30°=15°,∠FEM=30°−15°=15°，∴∠EFM=∠FEM=15°,∴FM=EM=x,∵CD=DA=2x,∠CAD=∠ACD=30°,∴DM=12AD=x，∴AM=√AD2−AM2=√3x∴AC=2√3x,∴AM=√3x,∴FC=2√3x−√3x−x=√3x−x,∴AFFC=√3x√3x−x=√3√3−1=2+√3,故选：D．小提示：本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．3、如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为( )A．23°B．28°C．62°D．67°答案：D分析：先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∠A =134°∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴∠BEC =90°-23°=67°故答案为D.小提示：本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.4、如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB =3,BC =6，点E 、F 分别是矩形的边AD 、BC 上的动点，将该纸片沿直线EF 折叠．使点B 落在矩形边AD 上，对应点记为点G ，点A 落在M 处，连接EF 、BG 、BE,EF 与BG 交于点N ．则下列结论成立的是（）①BN =AB ；②当点G 与点D 重合时EF =3√52； ③△GNF 的面积S 的取值范围是94≤S ≤72； ④当CF =52时，S △MEG =3√134．A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④答案：D分析：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，所以EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又因为点E 是AD 边上的动点，所以3<BG<3√5．从而判断①不正确；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，再利用勾股定理求解即可；③当点E 与点A 重合时，△GNF 的面积S 有最小值94，当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值4516．故94<S <4516． ④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ，从而可求出△MEG 的面积．解：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，∴EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又∵点E 是AD 边上的动点，∴3<BG<3√5．故①错误；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则EH=AB=3，在Rt △ABE 中AE 2+AB 2=(AD −AE )2即AE 2+32=(6−AE )2解得：AE=94，∴BF=DE=6-94=154． ∴HF=154-94=32．在Rt △EFH 中EF =√EH 2+FH 2 =3√52；故②正确；③当点E 与点A 重合时，如图所示，△GNF 的面积S 有最小值=14S 正方形ABFG =14×3×3 =94，当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值=14S 菱形EBFG =14×154×3=4516．故94<S <4516．故③错误．④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ， ∴S △MEG =12×√132×3=3√134．故④正确．故选D ．小提示：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC =60°，BC =2AB ．下列结论：①AB ⊥AC ；②AD =4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE =14S △ABC．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1答案：A分析：通过判定ΔABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．解：∵点E为BC的中点，∴BC=2BE=2CE，又∵BC=2AB，∴AB=BE，∵∠ABC=60°，∴ΔABE是等边三角形，∴∠BAE=∠BEA=60°，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC，故①正确；在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，∴∠CAD=∠ACB，在ΔAOF和ΔCOE中，{∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，∴ΔAOF≅ΔCOE(ASA)，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，∴AE=CE，∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；∴AC⊥EF，在RtΔCOE中，∠ACE=30°，∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；在平行四边形ABCD中，OA=OC，又∵点E为BC的中点，∴SΔBOE=12SΔBOC=14SΔABC，故④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A．小提示：本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．6、如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2B．√3C．1.5D．√5答案：A分析：取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．解：取AB中点G点，连接PG，如图，∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，如下图，G、P、F三点共线，连接FG，∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴DF=12DC=12AB=AG，∵在菱形ABCD中，DC∥AB，∴DF∥AG，∴四边形AGFD是平行四边形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．小提示：本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．7、如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B ′D ′的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．1答案：D分析：先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′，从而可得答案.解：∵ 矩形纸片ABCD ，∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得：∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理：CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选：D.小提示：本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.8、如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，∠ABC =120°，点A (−3,0)，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（）A．3B．5C．2√2D．3√32答案：A分析：直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．如图：连接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A(−3,0)，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=√3,AD=DC=CB=2√3∴△CDB是等边三角形∴BD=2√3∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=√3,且BE⊥CD，2∴BE=√BD2−DE2=3故选：A．小提示：本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．9、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）D．2A．√2B．2√2C．32答案：A分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP ′=P ′D ’，2P ′D ′2=AD ′2，即2P ′D ′2=4，∴P ′D ′=√2，即DQ +PQ 的最小值为√2，故A 正确．故选：A ．小提示：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．10、如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5答案：B分析：由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵点P 是BC 边上的一动点，∴AP ⊥BC 时，AP 有最小值，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝4，∴BC＝√BO2+CO2=√9+16=5，∵S菱形ABCD＝1×AC×BD＝BC×AP，2∴AP＝24＝4.8，5故选：B．小提示：本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．填空题11、如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．答案：75分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB−2OB．解：如图,连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3∴AB=√AC2+BC2=5 (勾股定理)若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵12AB ⋅OC =12AC ⋅BC ， ∴OC =125.∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得，OB =√BC 2−OC 2=32−(125)2=95，∴AD =AB −2OB =75 故答案是：75．小提示：本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．12、如图所示，六边ABCDEF 中，AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，BC 平行且等于FE ，对角线FD ⊥BD ．已知FD ＝24cm ，BD ＝18cm ．则六边形ABCDEF 的面积是______.答案：432分析：连接AC 交BD 于G ，AE 交DF 于H ．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB 和AFDC ．易得AC=FD ，EH=BG ．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC 的面积+三角形ABC 的面积+三角形EFD 的面积．解：连接AC 交BD 于G ，AE 交DF 于H ．∵AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，∴四边形AEDB 是平行四边形，四边形AFDC 是平行四边形，∴AE=BD ，AC=FD ，∴EH=BG ．平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432，故答案为432.小提示：此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0)，顶点B的横坐标为−1，点E是AD的中点，则侧OE=_________．答案：52分析：作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，首先根据题意证明出ΔDHA≌ΔAFB(AAS)，然后利用勾股定理求出AD的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．解：如图所示，作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，∵BF⊥AF，∴∠HDA+∠DAH=90°，∵∠DAB=90°，∴∠FAB+∠DAH=90°，∴∠HDA=∠FAB，又∵∠H=∠F=90°，AD=AB，∴ΔDHA≌ΔAFB(AAS)，∴AH=BF，由题意可得，四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形，∵正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0)，∴DH=GF=OA=3，∵顶点B的横坐标为−1，∴BG=1，∴BF=BG+GF=4，∴AH=BF=4，∵∠H=90°，∴AD=√DH2+AH2=5，∵点E是AD的中点，∠DOA=90°，∴OE=12AD=52．所以答案是：52．小提示：此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理．14、如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．答案：1分析：连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．解：连接AG，EG，如图，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵点E是CD的中点，∴CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，所以答案是：1．小提示：本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．15、如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，若△DEF的周长为18，则△ABC的周长为________．答案：36分析：根据中位线定义得DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,再表示出三角形ABC 的周长即可求解. 解：∵D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，∴DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,（中位线性质）, ∵△DEF 的周长为18，即DE+DE+EF=18,∴△ABC 的周长=2（DE+DE+EF ）=36.小提示：本题考查了中位线的应用,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.解答题16、在平行四边形ACBO 中，AO ＝5，点B 的坐标为（﹣2，4）．（1）写出点A 、C 的坐标；（2）求出平行四边形ACBO 的面积．答案：（1）点A 坐标（﹣5，0），点C 坐标（﹣7，4）；（2）20分析：（1）首先过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据平行四边形的性质，可得OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，易得CE ＝BD ＝4，AE ＝OD ＝2，则点A 坐标，点C 坐标即可求出；（2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可．解：（1）∵四边形OACB 是平行四边形，∴OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∴CE ＝BD ＝4，∴AE ＝OD ＝2，∴点A坐标（﹣5，0），点C坐标（﹣7，4）；（2）∵AO＝5，BD＝4，∴S▱AOBC＝5×4＝20．小提示：此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式的运用，解题的关键是利用数形结合思想解题．17、如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．(1)求证：DG=BE；(2)如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，求证：EH=BE+DH；(3)在（2）的条件下，若AB=4，点H恰为CD中点，求△CEH的面积．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)S△CEH=83分析：（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，AE＝AG，再证∠BAE＝∠DAG，然后证△ADG≌△ABE（SAS即可得出结论；（2）证△AEH≌△AGH（SAS），得EH＝GH，再证C、D、G三点共线，然后由GH＝DG＋DH＝BE＋DH，即可得出结论；（3）设BE＝x，则CE＝4−x，DG＝BE＝x，EH＝BE＋DH＝x＋2，再由勾股定理得出方程，求出x＝43，则CE＝4−x＝83，然后由三角形面积公式即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°,AB=AD∴∠BAE+∠EAD=90°∵四边形AEFG是正方形∴∠EAG=90°,AE=AG∴∠EAD+∠DAG=90°∴∠BAE=∠DAG在△BAE和△DAG中{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG∴△BAE≌△DAG∴DG=BE．（2）由（1）知△BAE≌△DAG∴∠ADG=∠B−90°,BE=DG∵∠ADC=90°∴∠CDG=∠ADC+∠ADG=90°+90°=180°∴H，D，G三点共线∵四边形AEFG是正方形∴AE=AG,∠EAF=∠GAF=45°在△BAE和△DAG中{AE=AG∠EAF=∠GAFAH=AH，∴△EAH≌△GAH∴EH=HG∵HG=DG+DH∴EH=BE+DH（3）∵四边形ABCD是正方形，AB=4∴CD=AB=4∵H恰CD中点∴DH=HC=12CD=2∵△BAE≌△DAG∴BE=DG设BE=x，则DG=x,EC=4−x由（2）知EH=BE+DH=2+x在Rt△ECH中，由勾股定理知EC2+CH2=EH2∴(4−x)2+22=(2+x)2解得，x=43∴EC=83∴S△CEH=12EC⋅CH=12×83×2=83．小提示：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．18、（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明．答案：（1）EF=BE+DF，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．分析：（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．（1）解：EF=BE+DF，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF=1∠BAD，2∠EAG,∴∠EAF=12∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD =12∠GAF ．∴∠GAE ＝12∠BAD =∠EAF ．∵AE ＝AE ，AG ＝AF ．∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE −BG∴EF ＝BE −FD ．小提示：本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．。

初二数学下册(人教版)第十八章平行四边形18.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：初二数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十八章平行四边形 18.1 平行四边形一、学习任务1. 了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，能够运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算．2. 理解并掌握平行线间的距离及性质，并能利用这个性质解决有关的面积问题．3. 掌握平行四边形的判定方法，并能灵活的运用，解决相应的问题，培养推理论证的能力．4. 掌握三角形的中位线定理．二、知识清单平行四边形三角形的中位线三、知识讲解1.平行四边形平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram ）．平行四边形的性质① 平行四边形的对边相等；② 平行四边形的对角相等；③ 平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的判定① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形．如图，在平行四边形中，，，与相交于点，图中有多少个平行四边形？解：个．ABCD EF ∥AB GH ∥AD EF GH O 9描述：例题：2.三角形的中位线三角形中位线的定义平面几何内的三角形任意两边中点的连线叫做三角形的中位线．三角形中位线的定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分别是：平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形．AGOE GBF O F CHO HDEO AGHD GBCH ABF E EF CD ABCD 已知平行四边形中，，则（）A. B. C. D. 解：B．ABCD ∠B =4∠A ∠C =18∘36∘72∘144∘在下列条件中，不能确定四边形为平行四边形的是（）A. ，B.C. ，D. ，解：D．D 梯形是个反例．ABCD ∠A =∠C ∠B =∠D∠A =∠B =∠C =90∘∠A +∠B =180∘∠B +∠C =180∘∠A +∠B =180∘∠C +∠D =180∘、、、为平面内四个点，从下面这四个条件中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（）① ；② ；③ ；④ ．A. 种B. 种C. 种D. 种解：B．能使四边形是平行四边形的选法有①③，①②，③④，②④．A B C D ABCD AB ∥CD AB =CD BC ∥AD BC =AD 5432ABCD 已知的各边长度分别是，，，则连接各边中点的三角形的周长为（）A. B. C. D. 解：D．△ABC 3 cm 4 cm 5 cm 2 cm 7 cm 5 cm 6 cm答案：1. 下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是 A ．一组对边相等B ．两条对角线互相平分C ．一组对边平行D ．两条对角线互相垂直B ()ABCD ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

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知识点1：平行四边形的定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）表示方法：平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD 记作“ ABCD ”，其中表示顶点的字母要按顺时针或逆时针方向排列。

（3）平行四边形的基本元素：边，角，对角线。

边：邻边：AB 和AD ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB ，共有四对。

对边：AB 和DC ，AD 和BC ，共有两对。

角：邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠DAB 和∠ABC ，共有四对。

对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ADC 和∠ABC ，共有两对。

对角线：AC 和BD ，共有两条。

注意：平行四边形的定义既是性质，又是判定。

(1)由定义知平行四边形两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

例：如图，已知AB//DE ，EF//BC ，DF//AC ，图中有几个平行四边形？将它们表示出了，并说明理由。

知识点2：平行四边形的性质边：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD//BC ，AB=CD ，AB//CD 角：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴（1）∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC 。

（2）∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°，∠BCD+∠ADC=180°，∠ADC+∠BAD=180°。

对角线：平行四边形的对角线互相平行。

符号语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=AC ，OB=OD=BD例1：如图所示，在平行四边形ABCD 中，过AC 中点O 作直线，分别交AD 、BC 于点E 、F ，求证：△AOE ≌△COF 。

例2：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分∠ADC ，交AB 于点E ，BF 平分∠ABC ，交CD 于点F 。

(1)求证：DE=BF(2)连接EF ，写出图中所有的全等三角形。

（不要求证明）例3：如图所示，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ≠AD ，过点O 作OE ⊥BD ，交BC 于点E ，若△CDE1l 2l1EC的周长为10，则□ABCD 的周长为__________.知识点3：平行线间的距离（1）平行线间的距离的定义两条平行线中，一条直线上任意一点到另一点直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

（2）平行线间的垂线段的性质①文字叙述：平行线间的距离处处相等。

②数学语言：如图所示，A ，C 是l 上任意两点。

若l ∥l ，AB ⊥l ，CD ⊥l ，则AB=CD 。

拓展：三种距离之间的区别与联系两点间的距离：连接两点的线段的长度。

点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度。

两条平行线间的距离：两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度。

联系：它们都是指某一条线段的长度。

例：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 、l 、l 上，且l 、l 之间的距离为2，l 、l 之间的距离为3，则AC 的长是（）A.2 17B.2 5C.4 2D.7知识点4：平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底（即平行四边形的一条边）和该底上的高的积。

（1）如图①所示，S =BC AE=CD BF 。

（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等，如图②所示，□ABCD 和□EBCF 有公共边BC ，则S =S 。

例1：如图所示，已知□ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm ，∠B=30°，求□ABCD 的面积。

例2：如图所示，已知P 是□ABCD 的对角线BD 上一点，EF ∥BC ，MN ∥AB ，且EF 、MN 相交于点P ，则图中□AEPM 与□PNCF 的面积关系是（ A.相等 B. □AEPM 的面积大C. □AEPM 的面积小D.无法确定知识点5：平行四边形的判定BO DA EC FA BD ACD FD BA 1、边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义），符号语言：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符号语言：∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形； (3)一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，符号语言：∵AB ∥CD 且AB=CD （或AD ∥BC 且AD=BC ），∴四边形ABCD 是平行四边形。

2、角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，符号语言：∵∠ABC=∠ADC ，∠BAD=∠BCD ，∴四边形ABCD 是平行四边形。

3、对角线：（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，符号语言：∵AO=CO ，DO=BO ，∴四边形ABCD 是平行四边形。

例1：四边形ABCD 如图所示，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的选项是（）A. AB ∥CD ，AB=CDB. AB=CD ，AD=BCC. AB=CD ，AD ∥BCD. AB ∥CD ，AD ∥BC例2：如图所示，将□ABCD 的对角线BD 向两个方向延长至点E 和点F ，使BE=DF ，求证四边形AECF 是平行四边形。

知识点6：三角形的中位线（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

几何描述：如图所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，则线段DE 、EF 、FD 是△ABC 的三条中位线。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

几何描述：如图所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，则线段DE 、EF 、FD 是△ABC 的三条中位线，故DF ∥BC ，DF= BC ；DE ∥AC ，DE= AC ；EF ∥BA ，EF= BA 。

（3）三角形中位线定理的作用：①证位置关系：可以证明两条直线平行；②证数量关系：可以证明线段的线段或倍分关系。

例：如图所示，□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为__________.能力点1：运用平行四边形的性质计算例：如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，∠A+∠C=80°，□ABCD 的周长为40，且AB-BC=2，求□ABCD 各内角的度数和各边的长。

能力点2：运用平行四边形的性质证明例1：如图所示，在□ABCD 中，AE ∥CF ，AE 与BD 相交于点P ，CF 与BD 相交于点Q ，求证：BP=DQ 。

例2：如图所示，在□ABCD 中，点E 是AB 的中点，连接DE 并延长，交BC 的延长线于点F 。

（1）求证：△ADE ≌△BFE（2）若DF 平分∠ADC ，连接CE ，试判断CE 与DF 的位置关系，并说明理由。

能力点3：平行四边形性质的综合运用例：如图所示，在□ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB=AE. （1）求证：△ABC ≌△EAD（2）若AE 平分∠DAB ，∠EAC=25°，求∠AED 的度数。

能力点4：平行四边形的判定和性质的综合应用DC例：在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线B C于点E，交直线DC于点F。

（1）如图所示，证明CE=CF（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DG（如图2），直接写出∠BDG的度数。

能力点5：构造平行四边形解决问题掌握构造平行四边形的两种基本方法：一是作平行线构造平行四边形；二是延长经过中点的某条线段，再顺次连接线段的端点。

例1：如图所示，已知CD是△ABC的中线，CN=MN，求证：AM=CB。

例2：如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=2∠ABC，求证：AB=AD+CD.能力6：三角形的中位线问题由三角形的中位线定理，可直接得到边边之间的数量关系及位置关系。

在有中点条件时，可考虑利用中位线或构造中位线解决问题。

例1：如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，M、N分别为AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点P、Q，且∠FPQ=∠FQP。

若BD=10，求线段AC的长。

例2：如图所示，已知AO是△ABC中∠BAC的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点。

求证：DE= （AB-AC）。

能力点7：平行四边形探究性问题平行四边形的探究问题形式多样，要根据题目条件特征及具体的问题来选用判定方法及性质来综合解决问题。

例：如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=1cm ，点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以cm/s 的速度由点C 向点B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？ 18.2.1矩形知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

用符号语言表示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形。

例：已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC 且AD=BC ，请添加一个条件，使四边形ABCD 成为矩形，加上的条件可以是_____________.知识点2：矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的对角线相等。

（3）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是过两组对边中点的直线。

例：如图，矩形ABCD 的对角线AC=8cm ，∠AOD=120°，则AB 的长为（）A.cmB.2cmC.2cmD.4cm知识点3：矩形的判定判定定理1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。

例：如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形。

知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（2）斜边上中线性质的逆命题也是真命题，即如图三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

E例：如图所示，BD ，CE 是△ABC 的高，G ，F 分别是BC ，DE 的中点，试说明GF ⊥DE 。

能力点1：矩形性质的应用根据矩形的性质、等腰三角形的性质等，经过简单的计算、推理，求线段长及角的度数或是证明线段（或角）相等。