高等数学(微积分)§92一阶微分方程精品PPT课件
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《一阶常微分方程》课件
06
CATALOGUE
一阶常微分方程的总结与展望
总结与回顾
1 2 3
定义与性质
一阶常微分方程是描述一个函数随时间变化的数 学模型，具有丰富的理论体系和应用领域。
历史发展
一阶常微分方程的发展可以追溯到早期的微积分 学，随着科学技术的进步，其理论和应用得到了 不断深化和拓展。
解法研究
一阶常微分方程的解法研究是核心内容之一，包 括初值问题、边值问题、积分方程等，以及各种 数值解法。
举例
简单的一阶常微分方程如 dy/dx = y，描述了y随x的变化率与其自身成正比的情况；复杂的一阶常微分方程如 dy/dx = x^2 + y^3，描述了更复杂的函数关系。
02
CATALOGUE
一阶常微分方程的解法
初值问题
定义
已知一阶常微分方程及其在某一点的初 始值，求解该方程在该点的邻域内的解 。
一阶常微分方程
CATALOGUE
目 录
• 一阶常微分方程的定义 • 一阶常微分方程的解法 • 一阶常微分方程的应用 • 一阶常微分方程的扩展 • 一阶常微分方程的实例分析 • 一阶常微分方程的总结与展望
01
CATALOGUE
一阶常微分阶常微分方程是包含一个未知函数 和其导数的等式，形式为 f(x, y', y) = 0。
在工程中的应用
控制工程
在控制工程中，系统的动态特性可以用一阶常 微分方程来描述。
航空航天工程
描述飞行器的运动轨迹和姿态变化，可以用一 阶常微分方程来建模。
机械工程
描述机械系统的动态特性，如振动、位移等，可以用一阶常微分方程来建模。
04
CATALOGUE
一阶常微分方程的扩展
一阶微分方程ppt课件
Q( x) Qm ( x) , 即 y Q m ( x ) e x
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
922一阶线性微分方程
例3.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直下 降,设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比, 比例系数为k(k>0),试求质点下沉速度v及位置x与沉降时 间t的关系.
解：由牛顿第二定律： m dv m g kv ， v(0) 0 dt
dv
k
v
g, 通解： v
mg
k t
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
si
n x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
Ce m
dt m
k
由 v(0) 0 得 C m g ， k
特解为
v
mg
(1
k t
em)
k
续解：
dx
v
一阶微分方程的求解ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
y=2/t*x+t^2*exp(t ）
[T Y]=Trapezia_reckon (' euler_3_3_2',[1 2],0,10)
第19页
不同求解器特点
3.3
一阶微分方程的求解
求解器 ode45 ode23
求解问题
特点
非刚性
一步算法；4，5阶 Runge-Kutta算法
非刚性
一步算法；2，3阶 Runge-Kutta算法
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
其近似值：
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
第9页
一阶微分方程的求解
3.3 后向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk1 , yk1 )
在任一步长内，用一段直线
代替函数 y(曲t)线，此直
线段斜率等于该函数在该 步长终点斜率。
y(tn )
0 0.345919876 0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479
y(tn ) yn
0 -0.098362899 -0.240212999 -0.433745533 -0.688050221 -1.013245028 -1.420624329 -1.922824060
误差称为截断误差。尚有一个误差称为舍入误差，这种误差是由于
计算时数值舍入引起。
第3页
一阶微分方程的求解
前向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk , yk )
在任一步长内，用一段直 线代替函数 y(t曲) 线，此直 线段斜率等于该函数在该 步长起点斜率。
一阶微分方程授课课件
g(y)dy f (x)dx
①
设 y＝ (x) 是方程①的解,
则有恒等式
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得
f (x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时,
上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解.
Байду номын сангаас同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时,
dx x 1
y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令
y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得
解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
dy
0
的通解
.
解: 注意 x, y 同号,
x
f (x) sin x f (u)d u
0
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x) , 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
提示:
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2 线性方程
高等数学PPT课件：一阶微分方程
17
一阶微分方程
u
y du dy
1 1 eu
(u 1)
分离变量
1 u
eu eu
du
1 y
dy
两边积分 ln(u eu ) ln y ln C
即 得通解
y(u eu ) C
x
x ye y C
18
一阶微分方程
第四节 一阶线性微分方程
一阶 线性微分方程的标准形式 dy P( x) y Q( x) dx
其中C为任意常数. 由上式确定的函数 y y( x,C) 就是方程的通解(隐式通解).
这种解方程的方法称为分离变量法.
3
一阶微分方程
例 求方程 x(1 y2 )dx y(1 x2 )dy 0 的通解.
解 分离变量
1
y y
2
dy
1
x x
2
dx
两端积分
1
y y2
dy
1
x x
2
dx
1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 dx
x dx
C
1 x
sin xdx C
1 cos x C
x
26
一阶微分方程
例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x)
与y x3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于
阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x).
解
C
Ce x0 3x02 6x0 6
y |x0 0 得 C 6 所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2)
28
一阶微分方程
第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
-4-
第二节 一阶微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
第二节 一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
一
第 十 二 章
微
分 方
二
程
可分离变量方程 一阶线性方程
三 全微分方程
-1-
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式 yf(x,y)
也可表示为
第 十
P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
二
章 一阶微分方程初始值问题
微 分
y f (x, y)
十
ab
二 章
定常数),
则 d x d X ,d y d Y ,原方程化为
微
ahbkc
分 方
a1hb1kc1
程
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
- 13 -
第二节
求出其解后,
一阶微分方程
即得原方
程的解.
2)当 . a1b1时,原方程可化为
ab
第 十 二 章 微
d dxy(aaxxbbyy )cc1 (b0)
第 十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分 方
即
程
令CeC1
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
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(1) ysix nylny,yx e; 2
(2 )cy od s(1 x e x )si yn d 0 ,yx 0 4
9
课堂练习答案
(1) ysix nylny,y e; x 2
解 分离变量， 得
dy
dx ,
ylny sinx
两边积分， 得ln ln yln(xc cso c x) tln C
x (1 当x
u2) 1,
50 ce0, c 50 故Q＝50ekp
7
课堂练习
1: 求下列微分方程的通解 : (y1)2 d yx3 0 dx
解 (y 1 )2d yx 3 d x 0 ,
分离变量, 得(y1)2d yx3d,x
两边积分,
得1(y1)31x4C.
3
4
8
课堂练习
2:求下列微分方程 给满 初足 始所 条件的 : 特
解： dy x2 y2 dx 2xy
令u y, yux x
dy(y x)2 1 dx 2(y x)
17
例题讲解(续)
dy dux u x du 1 u 2
dx dx
dx 2u
dx 2u
11
x
1 u2
du
( 1u
)du 1 u
ln x ln( 1 u ) ln( 1 u ) ln c~
1x2c(2y2)32 (c0)
5
例题讲解
例4 *求解微分方程
解
y' x1(y1 yx22)的通 ,以 解 y及 (1)2的特解
分离变量
y 1y2
dyx(11x2)dx,
两端积分 1 yy2d yx(1 d x2 x)(1 x1 xx2)d,x
通 ( 1 x 解 )1 ( y ) ： c x c( c x 0 )
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2xdx,
lnyx C 2
yCex2为所求通 . 解
3
例题讲解
例2 求解微分方程 (7e2x)dyye2xdx0的通解
解 分离变量 dy e2x dx, y 7e2x
两端积分2dyy
e2x 7e2x dx,
lny ln7(e )C
1
2x
y ec C 7e2x 7e2x
解：令y u, y ux x
dy u x du u tanu
dx
dx
dx du x tan u
dx x
du tan u
ln | x | ln | sin u | c
x c sin y x
16
例题讲解
例：已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定 成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数， 且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之 和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)[即 dy/dx=(x2+y2)/(2xy)];固定成本为1；x=1,y=3.求总成 本函数C＝C(x)?
4
例题讲解
例3 求解微分方程
4xd3 xydy 3x2yd2 yx2 yd的 x 通解
解 分离变量 (4x2x2y )d x(3y3x2y)dy
2x(2 y2)dx3y(1x2)dy
两端积分
2x 1 x2
dx
3y 2 y2
dy
12xx2 d2 x23yy2 dy,
ln1 (x2)3ln2(y2)C
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或
y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g (y)d yf(x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
分dxx离变(量u1方u程2u：3d )xdux3 u3 23 uu 2du (u 1u2u3)du
ln| x|ln| u| 1ln|u2 3| c 2
x cu u2 3
将u y 代入，x c y
x
x
y2 x2
3
x3 cy y2 3x2 15
例题讲解
例：dy ytany dx x x
再由y
x0
, 4
得C2
2,
即 1ex22co y.s
11
二、齐次微分方程
形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程
解齐次方程的基本方法：变量变换法
具体解法：作变量代换 u y , 即yxu, x
dyuxdu,
dx dx
代入原式
uxduf(u),
得齐次方程的通| x解|ec | y|
13
例题讲解
例：求齐次微分方程
x
dy dx
3y3 6x2y 3x2 2y2
解： dy dx
3(y)3 6(y)Байду номын сангаас
x
x
32( y)2
f
(
y) x
令 yu,yux,xdyudx du
x
uxddux33u3 2u62u
du u3 3u x dx 32u2
14
例题讲解（续）
即duf(u)u. dx dx x
可分离变量的方程
12
齐次微分方程的解
1:当f(u)u0时 , 得f(u d) uulnC1x,
即xC(eu),（(u)
du ）
f(u)u
将u y代入, 得通x解 Ce(xy),
x
2:当 f(u)u 时 ,即 f(y)y,d yy x xdxx
dxdy,ln| x|ln| y|c xy
或ln yC (cx sco x)t,
再由 y e,得C1, x 2
故所求 ln y解 csx c是 co x.t
10
课堂练习答案
(2 )cy od s(1 x e x )si yn d 0 ,yx 0 4
解 分离变量, 得csioyy nsdy1de xx0,
两边积分， 得lncoysln1 (ex)ln C 或1exCcoy,s
2
2 22 2
y(1)2,c10 特解 (1x： 2)1(y2)10x2
6
例题讲解
例5 商品的需求量Q对价格弹性为－kp，且最大需 求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_____?
解 p dQ kp
Q dp
分离变量
dQ kdp, Q
两端积分
Qe ce
kpC
kp
lnQ k pC
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx 分离变量法
设 函 数 G (y)和 F(x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)的 原 函
数 , G (y) F (x ) C 为微分方程的解.
2
例题讲解
例1 求解微分方程
dy 2xy的通解 dx
(2 )cy od s(1 x e x )si yn d 0 ,yx 0 4
9
课堂练习答案
(1) ysix nylny,y e; x 2
解 分离变量， 得
dy
dx ,
ylny sinx
两边积分， 得ln ln yln(xc cso c x) tln C
x (1 当x
u2) 1,
50 ce0, c 50 故Q＝50ekp
7
课堂练习
1: 求下列微分方程的通解 : (y1)2 d yx3 0 dx
解 (y 1 )2d yx 3 d x 0 ,
分离变量, 得(y1)2d yx3d,x
两边积分,
得1(y1)31x4C.
3
4
8
课堂练习
2:求下列微分方程 给满 初足 始所 条件的 : 特
解： dy x2 y2 dx 2xy
令u y, yux x
dy(y x)2 1 dx 2(y x)
17
例题讲解(续)
dy dux u x du 1 u 2
dx dx
dx 2u
dx 2u
11
x
1 u2
du
( 1u
)du 1 u
ln x ln( 1 u ) ln( 1 u ) ln c~
1x2c(2y2)32 (c0)
5
例题讲解
例4 *求解微分方程
解
y' x1(y1 yx22)的通 ,以 解 y及 (1)2的特解
分离变量
y 1y2
dyx(11x2)dx,
两端积分 1 yy2d yx(1 d x2 x)(1 x1 xx2)d,x
通 ( 1 x 解 )1 ( y ) ： c x c( c x 0 )
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2xdx,
lnyx C 2
yCex2为所求通 . 解
3
例题讲解
例2 求解微分方程 (7e2x)dyye2xdx0的通解
解 分离变量 dy e2x dx, y 7e2x
两端积分2dyy
e2x 7e2x dx,
lny ln7(e )C
1
2x
y ec C 7e2x 7e2x
解：令y u, y ux x
dy u x du u tanu
dx
dx
dx du x tan u
dx x
du tan u
ln | x | ln | sin u | c
x c sin y x
16
例题讲解
例：已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定 成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数， 且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之 和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)[即 dy/dx=(x2+y2)/(2xy)];固定成本为1；x=1,y=3.求总成 本函数C＝C(x)?
4
例题讲解
例3 求解微分方程
4xd3 xydy 3x2yd2 yx2 yd的 x 通解
解 分离变量 (4x2x2y )d x(3y3x2y)dy
2x(2 y2)dx3y(1x2)dy
两端积分
2x 1 x2
dx
3y 2 y2
dy
12xx2 d2 x23yy2 dy,
ln1 (x2)3ln2(y2)C
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或
y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g (y)d yf(x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
分dxx离变(量u1方u程2u：3d )xdux3 u3 23 uu 2du (u 1u2u3)du
ln| x|ln| u| 1ln|u2 3| c 2
x cu u2 3
将u y 代入，x c y
x
x
y2 x2
3
x3 cy y2 3x2 15
例题讲解
例：dy ytany dx x x
再由y
x0
, 4
得C2
2,
即 1ex22co y.s
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二、齐次微分方程
形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程
解齐次方程的基本方法：变量变换法
具体解法：作变量代换 u y , 即yxu, x
dyuxdu,
dx dx
代入原式
uxduf(u),
得齐次方程的通| x解|ec | y|
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例题讲解
例：求齐次微分方程
x
dy dx
3y3 6x2y 3x2 2y2
解： dy dx
3(y)3 6(y)Байду номын сангаас
x
x
32( y)2
f
(
y) x
令 yu,yux,xdyudx du
x
uxddux33u3 2u62u
du u3 3u x dx 32u2
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例题讲解（续）
即duf(u)u. dx dx x
可分离变量的方程
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齐次微分方程的解
1:当f(u)u0时 , 得f(u d) uulnC1x,
即xC(eu),（(u)
du ）
f(u)u
将u y代入, 得通x解 Ce(xy),
x
2:当 f(u)u 时 ,即 f(y)y,d yy x xdxx
dxdy,ln| x|ln| y|c xy
或ln yC (cx sco x)t,
再由 y e,得C1, x 2
故所求 ln y解 csx c是 co x.t
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课堂练习答案
(2 )cy od s(1 x e x )si yn d 0 ,yx 0 4
解 分离变量, 得csioyy nsdy1de xx0,
两边积分， 得lncoysln1 (ex)ln C 或1exCcoy,s
2
2 22 2
y(1)2,c10 特解 (1x： 2)1(y2)10x2
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例题讲解
例5 商品的需求量Q对价格弹性为－kp，且最大需 求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_____?
解 p dQ kp
Q dp
分离变量
dQ kdp, Q
两端积分
Qe ce
kpC
kp
lnQ k pC
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx 分离变量法
设 函 数 G (y)和 F(x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)的 原 函
数 , G (y) F (x ) C 为微分方程的解.
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例题讲解
例1 求解微分方程
dy 2xy的通解 dx