高等数学微分方程总结
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
高等数学微分方程总结
高等数学微分方程一、微分方程的定义和分类微分方程是研究函数之间的关系的数学工具。
它包含未知函数及其导数的方程，用于描述具有变化率的物理现象和自然现象。
根据方程中的未知函数的个数以及导数的阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是指只包含未知函数的一阶或高阶导数的方程。
而偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法分为解析解和数值解两种。
1. 解析解解析解是指能够用已知的函数表达出来的方程解。
常用的解法有：•分离变量法：适用于可以把未知函数和自变量分离的方程。
•齐次方程法：适用于一阶线性常微分方程。
•一阶线性微分方程求解：可用常数变易法、指数函数法等。
•二阶线性常系数齐次微分方程求解：可用特征方程法求解。
2. 数值解对于一些无法用解析解表示的微分方程，我们可以使用数值方法进行求解。
常见的数值解法有：•欧拉法：利用导数的定义近似计算未知函数的值。
•改进的欧拉法：在欧拉法的基础上改进精度。
•二阶龙格-库塔法：通过计算多个导数来提高计算精度。
•四阶龙格-库塔法：精度更高的数值解法。
三、偏微分方程的解法偏微分方程的解法相对复杂，通常需要利用变量分离、特征线方法等技巧。
1. 变量分离法变量分离法是最常用的解偏微分方程的方法之一，适用于可将方程的未知函数表示为两个或多个单变量函数之积的情况。
2. 特征线方法特征线方法适用于线性偏微分方程，通过找到方程中的特征线来求解方程。
3. 分离变量法对于特定形式的偏微分方程，也可以利用分离变量法将未知函数表示为两个或多个单变量函数之积的形式。
四、微分方程的应用领域微分方程在自然科学、工程技术、经济学等领域中都有广泛应用。
在物理学领域，微分方程可以描述物体的运动、振动、传热等各种现象。
在工程技术领域，微分方程可以用于建模和优化问题，如电路分析、振动控制、流体力学等。
在经济学领域，微分方程可以用于经济增长模型、价格预测、市场分析等。
高等数学-微分方程1
例 4 14 求解方程 yy '' ( y ')2 0
dx x 通过做变量替换:
y u,或 y xu x 将齐次方程化为可分离变量方程 :
du dx f (u) u x
例 4 8 求解微分方程
dy y tan( y )
dx x
x
2. 形如 dy a1x b1 y c1 的方程. dx a2 x b2 y c2
(1)
y(
x0
)
y0
,
y '' f (x, y, y ')
(2) y(x0 )
y0 ,
y '(x0 )
y0'
(3) 设y f (x)在x点的切线斜率为2x
且通过(1,4)点,求f (x).
4.2 微分方程的初等积分法
4.2.1 一阶可分离变量方程 形如
dy h(x)g( y)
2(2),(4) 3(2),(4) 4(2),(4)
5 6 7(4) 8
习题 4-2
(1)
dx
的微分方程称为一阶可分离变量微分方程.
设 g( y) 0,则(1)式可变形为(分离变量):
1 dy h(x)dx
(2)
g( y)
对(2)式两边积分:
高等数学第十二章微分方程
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
高等数学：微分方程
两边积分,得
用lnC 表示任意常数,考虑到R >0,得积分结果
即
微分方程
微分方程
二、 一阶线性微分方程
我们把形如
的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程
称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶
线性非齐次微分方程.
微分方程
一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,
当p2-4q=0时,特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根,即
r1=r2=- ,此时
2
可得到方程(6-30)的一个特解y=er1x .容易验证
y=xer1x 也是方程(6-30)的一个特解, 且y1 =er1x 与y2 =xer1x 是线
性无关的.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为
微分方程
1.f(x)=Pm (x)eλx 型
f(x)=Pm (x)eλx 型时,Pm (x)为m 次多项式,λ 为常数.此时,可
以证明方程(6-29)具有形如y* =xkQm (x)eλx 的特解,其中Qm (x)
静止状态下沉,所受阻力与下 沉速度成正比(比例系数为k 的
常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.
微分方程
解 潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮
力及下沉时遇到的阻力.前两个 力都是常量,其合力称为下沉
力,即下沉力F= 重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为
由牛顿第二定律,有
即
微分方程
假设 y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx 、
y'=rerx 、y″=r2erx代入 方程(6-30),得
《高等数学》各章知识点总结——第9章
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
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3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y d y 3 ( x 1) 2 y 2 化方程为 dx 2 y ( x 1)
则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
二阶 变系 数
y f ( x, y) 令y p( x) y f ( y, y) 令y p[ y( x)]
3.r1,2 i
y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
代数解法， y特征方程： r 2 pr q 0
y py qy f ( x )
通解 y Y y c1 y1 c2 y2 y
*
*
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
y py qy f ( x )
(1) f ( x ) e x Pm ( x ), (可以是复数）
y* x k e x Qm ( x );
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为 提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
2 y a y 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
2
2
两边乘积分因子 y
2
x dx y
2
d y 3 ( yd x xd y ) 0
用凑微分法得通解: 1 2 1 x y 3 xy C 2
设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
x 2 2
2
2
F ( x) 2 F ( x) 4e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
e 2 x 4e 4 x d x C
4e
2x
2d x e dxC
e 2 x Ce 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式， 得 C 1
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y y 1 x
2
y x
2
xu 1 u 2 xu 1 u 2
y y 1 x 0 时， x 1 (3) y 2x y 2
y x
用线性方程通解公式求解 .
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解
特征方程的两个根 r1 ， r2
两个不相等的实根 r1， r2 两个相等的实根 r1 r2
微分方程的通解
y C 1e
r1 x
C 2e
r2 x
y (C1 C 2 x )e r1 x
一对共轭复根r1, 2 i y ex (C1 cos x C 2 sin x )
* k
x
(1) m
( 2) m
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
P353 题2 求以 故特征方程为 因此微分方程为
为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
P353 题3 求下列微分方程的通解
2 (6) y y y 1 0,
(7) y 2 y 5 y sin 2 x .
P Q 6x y y x
故这是一个全微分方程 .
二、非标准类型：
(1) x y y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1) d x 0
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y ( 4) y 2 ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y 2 ) d y 0
y py qy f ( x) 非齐次
y c1 y1 c2 y2 y *
二阶 常系 数
解的结构
y ( n) f ( x ( n1) pn1 y pn y f ( x) 令x e t P348 x y p1 x y
dp f ( x, p ) dx
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x )
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: 2 (1) 写出相应的特征方程 r pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u , (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
求解流程图
齐次
关于u一阶
y y x y f ( x, y ) ( ) 令 u （或 u） x x y
可分离变量
g ( y)dy h( x)dx
y p( x) y 0 齐次
一阶线性
一阶
y p( x) y Q( x) 非齐次
先求齐次通解，再常数 变易
转为z的一阶线性
x
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
( 2) f ( x ) e [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx ],
y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ]; 0 i 不是根 , k 1 i 是单根 .
于是
F ( x) e
2x
e
2 x
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy p ( x ) 2 令 d y dy dx f ( x , ) dx dx 2 dy p ( y ) 2 令 d y dy dx f ( y , ) dx dx 2
d y d y dt d y 令t=x–1,则 dx d t dx d t d y 3t 2 y 2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
可分离变量方程求解
( 4) y ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y ) d y 0
变方程为 y 2 x d x d y 3 y 2 ( yd x xd y ) 0
或公式 y e
P ( x ) dx
Bernoulli y P( x) y Q( x) y n (n 0,1) 令 z y
全微分方程 P( xy)dx Q( xy)dy 0 dU( xy)
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
1n
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
P338
高阶常系数线性微分方程 y( n) p1 y( n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
f ( x ) g ( x ) 2e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x) f ( x) [ g ( x) f ( x)] 2 f ( x) g ( x) ( 2e ) 2 F ( x )
P Q y x
二阶线性方程
a0 ( x) y a1 ( x) y a2 ( x) y 0 y a1 ( x) y a2 ( x) y f ( x)
1.r1 r2 2.r1 r2 y c1er1x c2er2 x y er1x (c1 c2 x)
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
1、一阶标准类型
1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 (3) y ; 2 2x y
提示: (1) 因 e
y3 x y3 x
dx 化为 2x y 2 , dy
6x 3 3x y 2 ( 4) y 2 3x y 2 y 3
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u x 方法 2 化为微分形式