高等数学全微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dy 2 dx 2 例如 y x , x sin t t , 线性的; dx dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
高等数学（上）
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
Ce
P ( x ) dx
过定点的积分曲线; 微分方程的图形
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
高等数学（上）
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程
三、一阶线性微分方程
cos x C.
所以原方程通解为
y
1 cos x C . x
高等数学（上）
1 sin x 求方程 y y 的通解. x x
1 解 P( x) , x
sin x Q( x ) , x
sin x y x ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
高等数学（上）
( x, C1 )
例3 求方程 xy
解
(5)
y
(4)
0 的通解.
(5)
设y
(4)
P ( x ), y
P ( x )
(4)
代入原方程 分离变量,得
xP P 0, （P 0）
1 2 两端积分,得 y C1 x C 2 , 2
原方程通解为
高等数学（上）
高等数学之微分方程课件
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例８ 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
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战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （１） 下面分析求解此微分方程组
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8-1 什么是微分方程
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引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
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解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
高等数学第七章常微分方程
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高等数学
第七章 常微分方程
因此y=eλ1x是原方程的解。 函数y=C1eλ1x+C2eλ2x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x y″=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x 代入原方程，则 (C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x)-(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2( C1eλ1x+eλ2x)≡0 说明y=C1eλ1x+C2eλ2x也是原方程的解。
微分方程的概念 一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程
第一节 微分方程的概念
一、 微分方程的基本概念
例1 已知一条曲线经过点(2，1)，且该曲线上任一点
P(x，y)处切线斜率为x，求该曲线的方程.
解 设所求曲线方程为y=y(x).由导数的概念及几何意义
F(x，f(x)，f′(x)，…，f(n)(x))≡0 则称y=f(x)为微分方程 (7-1-1) 在区间I上的解。
第一节 微分方程的概念
例2 验证函数y=eλ1x和y=C1eλ1x+C2eλ2x均为方程 y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0的解。
解 y=eλ1x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=λ1eλ1x， y″=λ12eλ1x 将y，y′，y″代入原方程中，则 λ12eλ1x-(λ1+λ2)λ1eλ1x+λ1λ2eλ1x≡0
dx
高等数学中的微分方程求解技巧
高等数学中的微分方程求解技巧引言：微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在高等数学学习中，学生需要掌握微分方程的求解技巧，以应对各种实际问题。
本文将介绍一些常见的微分方程求解技巧，帮助学生更好地理解和应用微分方程。
一、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类，其一般形式为dy/dx = f(x, y)。
求解一阶常微分方程的关键是找到一个合适的积分因子。
常见的求解技巧包括分离变量法、齐次方程法和一阶线性微分方程法。
1. 分离变量法分离变量法适用于可以将方程两边的变量分开的情况。
首先将方程两边的变量分离，然后对两边同时积分，得到方程的通解。
最后可以通过给定的初始条件求解特解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于可以将方程化为齐次形式的情况。
通过引入新的变量，将方程化为齐次形式后，再进行变量代换，最终得到方程的通解。
3. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法适用于可以化为一阶线性微分方程的情况。
通过引入合适的积分因子，将方程化为一阶线性微分方程，然后进行变量代换和积分，得到方程的通解。
二、二阶线性常微分方程的求解二阶线性常微分方程是一阶常微分方程的推广形式，其一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = f(x)。
求解二阶线性常微分方程的关键是找到其特解和齐次解。
常见的求解技巧包括常数变易法、待定系数法和特征方程法。
1. 常数变易法常数变易法适用于方程的非齐次项为常数的情况。
通过假设特解为常数，代入方程后解得常数的值，进而得到特解。
2. 待定系数法待定系数法适用于方程的非齐次项为多项式函数的情况。
通过假设特解为多项式函数，代入方程后解得多项式系数的值，进而得到特解。
3. 特征方程法特征方程法适用于方程的齐次解的求解。
通过假设齐次解为指数函数形式，代入方程后解得特征方程，进而得到齐次解。
三、常见的微分方程应用微分方程广泛应用于物理、工程和经济等领域中的实际问题。
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解: 因为 P 6xy 3y2 Q , 故这是全微分方程.
y
x
取 x0 0, y0 0, 则有
u
(x,
y)
x
0 5
x4
dx
y
0
(3
x2
y
3xy2
y2
)
d
y
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
y (x, y)
因此方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
练习题 解方程
解法1 积分因子法. 原方程变形为
取积分因子
1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
将 u y 代入 , 得通解 x
此外, y = 0 也是方程的解.
解法3 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为
即
此外, y =y0也e是 P方(x程)dx的解 Q. (x) e P(x)dx dx C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
2
x
2x
故原方程的通解为 1 x2 y C 2x
思考: 如何解方程
这不是一个全微分方程
,
但若在方程两边同乘
1 x2
,
就化成例2 的方程 .
积分因子法
若存在连续可微函数 (x, y) 0, 使
为全微分方程, 则称 (x, y)为原方程的积分因子.
在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
常用微分倒推公式:
1) dx dy d ( x y )
7)
ydx x2
xd y2
y
d
(
arctan
x y
)
可取
8) xdx ydy d ( x2 y2
x2 y2 )
例3. 求解
解: 分项组合得 ( y dx x dy ) xy ( y dx x dy ) 0
即 d( xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
则称
P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①Leabharlann 选择积分因子(x,
y)
1 x2 y2
, 同乘方程两边
,
得
d( x y) (xy)2
dx x
dy y
0
即 d 1 d(ln x ) d(ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
例1. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
2) xdy ydx d ( xy )
3)
xdx ydy d (
1 2
(x2
y2
)
)
4)
ydx xdy y2
d(
x y
)
5)
ydx xdy x2
d(
y x
)
6) ydx xdy d ( ln x )
xy
y
积分因子不一定唯一 .
例如, 对 ydx xdy 0