高等数学 微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高等数学中微分方程的解析解求取思路
高等数学中微分方程的解析解求取思路微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及这些变量的变化规律。
微分方程的解析解是指能够用已知的数学函数表示的解，相较于数值解具有明确性和简洁性。
对于给定的微分方程，我们可以通过一定的方法和技巧来求取解析解。
1. 分离变量法分离变量法是求取微分方程解析解的常用方法。
该方法适用于可以将微分方程表达式中的未知函数和自变量分离成两个方程的情况。
首先，将方程中的未知函数和自变量分别放在等号两边，并将所有包含未知函数的项放在一边，包含自变量的项放在另一边。
接下来，对方程两边同时进行积分操作。
对包含未知函数的一边进行不定积分，对包含自变量的一边进行定积分。
最后，将两边的积分常数合并，并解出未知函数，得到微分方程的解析解。
2. 变量代换法变量代换法是求解微分方程的另一种常用方法。
通过选择适当的变量替换，可以将原方程转化为更简单的形式，进而求得解析解。
例如，可以通过引入新的变量替换原方程中的未知函数，或者将原方程中的未知函数表示为其他函数的导数形式来进行变量代换。
经过变量代换后，原方程可以转化为更简单的形式，使得求解更加容易。
3. 齐次方程的解法对于齐次微分方程，可以通过齐次方程的解法来求得解析解。
齐次方程指的是微分方程中，未知函数和自变量的项都是同次数的情况。
对于齐次方程，可以引入新的变量替换，将其转化为分离变量的形式，然后利用分离变量法进行求解。
在齐次方程的解法中，可以使用如分离变量法、变量代换法等的一些常用技巧来求得解析解。
4. 常数变易法常数变易法也是一种常用的求解微分方程的方法。
该方法适用于非齐次线性微分方程的情况。
常数变易法将微分方程的未知函数表示为特解与齐次方程的通解之和的形式。
首先，求得齐次方程的通解。
然后，假设非齐次方程的解为一个特解。
通过代入原方程，将特解代入通解中，并求得特解的具体形式。
最后，将特解和齐次方程的通解相加，得到非齐次方程的通解。
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
高等数学第十二章微分方程
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
高等数学第七章微分方程微分方程
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
2013/9/23
第一节 微分方程的基本概念
解
2
在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联 系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们 的导数或微分间的关系。
例1
解 原方程即 对上式两边积分，得原方程的通解
例2
解
对上式两边积分，得原方程的通解 经初等运算可得到原方程的通解为
4
原方程的解为
例3
解 两边同时积分，得
故所求通解为
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例4
解 原方程即 两边积分，得 故通解为
曲线族的包络。
例6求解微分方程 解 分离变量
两端积分
工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解。
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
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19
特解:
故
等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
因
本质上为实函数 ,
均为 m 次实多项式 .
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
高等数学微分方程
一般地，一阶微分方程有一个初始条件： 当 x = x0 时，y = y0 而二阶微分方程有二个初始条件： 当 x = x0 时，y = y0； 当 x = x0 时，y = y1 （其中 x0，y0，y1 是给定的值）…
n 阶方程的初始条件：
( x0 ) y1 , , y ( n1) ( x0 ) y0( n1) y( x0 ) y0 , y
齐次方程通解 非齐次方程特解
1. 一阶线性齐次方程
(使用分离变量法)
dy P ( x ) y 0. dx
dy dy P ( x )dx , P ( x )dx , y y ln y P ( x )dx ln C ,
通解为
y Ce
P ( x ) dx
dy 2 (1) x y cos x dx
dy 2 (2) x x y sin x dx
是 是
(3) y y x
2
x cos y e x (4) y
(5) dy 2 xydx 0
不是 不是 是
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx P( x) d x 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,则 P( x) d x P( x) d x P( x) d x P(x) u e Q(x) u e P( x) u e
d s dv g 或 g 2 dt dt
2
二、微分方程的基本概念
定义6.1 微分方程 ( differential equation ) 含有自变量、未知函数及其导数（或微 分）的方程，称为微分方程。
定义6.2 微分方程的阶( order ) 微分方程中所出现的未知函数的导数 （或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。
高等数学：微分方程
两边积分,得
用lnC 表示任意常数,考虑到R >0,得积分结果
即
微分方程
微分方程
二、 一阶线性微分方程
我们把形如
的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程
称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶
线性非齐次微分方程.
微分方程
一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,
当p2-4q=0时,特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根,即
r1=r2=- ,此时
2
可得到方程(6-30)的一个特解y=er1x .容易验证
y=xer1x 也是方程(6-30)的一个特解, 且y1 =er1x 与y2 =xer1x 是线
性无关的.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为
微分方程
1.f(x)=Pm (x)eλx 型
f(x)=Pm (x)eλx 型时,Pm (x)为m 次多项式,λ 为常数.此时,可
以证明方程(6-29)具有形如y* =xkQm (x)eλx 的特解,其中Qm (x)
静止状态下沉,所受阻力与下 沉速度成正比(比例系数为k 的
常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.
微分方程
解 潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮
力及下沉时遇到的阻力.前两个 力都是常量,其合力称为下沉
力,即下沉力F= 重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为
由牛顿第二定律,有
即
微分方程
假设 y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx 、
y'=rerx 、y″=r2erx代入 方程(6-30),得
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第十二章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。
A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.yx 21dxdy -=B.yx 21dydx -='=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成)y ,x (P )y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）A. e y=e 2x+1 21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x1yy 2，且当∆x →0时，α是∆x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )A. 2πB. πC. 4e π 4eππ5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4π解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=4π得：22C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2y x cos y x 21cos dxdy +=-+满足y(0)=π的特解。
解：由02y x cos 2y x cos dxdy =+--+得：2x sin 2y sin2dy-=，积分得：C 2x cos 2x y cot 2y csc ln +=- 代入初始条件：y(0)=π，得C= -2 7、求微分方程022/=++y x eyy 满足y(0)=0的特解解: 分离变量得dx e dy ye x y 22=--两边积分)2(21)(21222⎰⎰=--x d e y d e x y ，得C e e x y +=-22，将y (0)=0代入得C =0特解：x y 22-=§3 齐次方程1 .(x 2+y 2)dx-xydy=0，其通解为（ ）2=x 2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y 2=2x 2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.xy yx y +=', y|x=1=2，则特解为（ ）A. y 2=2x 2(lnx+C)2=2x 2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+23.0dy y x 1e 2dx e 21y xy x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的通解为（ ）A. x=2y+CB. 2xye yx=C ye 2yx =+ D.以上都不对 4、求y 'x 2+xy=y 2满足y|x=1=1的特解。
解：u xy ,xy x y y 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛='令，则x dx )2u (u du =-解得：2x 1x 2y += 5、求微分方程(x 2+2xy-y 2)dx-(y 2+2xy-x 2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解解：xy u ,xx y 2y y x y 2x dx dy 2222=-+-+=令，可得1u 2u 1u u u dx du x 223------= 解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u 2)，即x(1+u 2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x 2+y 2=x+y7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x 轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y '(X-x)又y y x y x 22'-=+，得yxu ,dy dxy x 1y x 2=-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛令整理得：2u 1dyduy+=-，解得：()C y ln u 1u ln 2=+++，得通解C y x x 22=++§4 一阶线性微分方程1、微分方程(y 2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是（ ） A.⎪⎭⎫⎝⎛++=C y 311y 1y 32⎪⎭⎫ ⎝⎛++=C y 311y 1x 32；C. ⎪⎭⎫⎝⎛++=C y 311x 1y 32D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32y 311y 1x2、微分方程xy '+2y=xlnx 满足y(1)=91-的解为（ ） A. x 91x ln x 31y+=， x 91x ln x 31y -=， C. x ln x 31C y x 32+=，. x 91x ln 31y -=3、y '+y=y 2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Ce x -sinx x -sinx C. Cye x -ysinx=C D.y=e x -sinx+C4、求 通解 32.23y x y dx dy x =+ 解：23231x y 23dx dy x y=+-，令32y z =得2x z 23dx dz 23x=+，2x 32z x 1dx dz =+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰=⎰-dx x 12dx x 1e x 32C e z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=C x 4132x 1y 332，即x C x 61y 232+=，5、求 通解 xdy-ydx=y 2e y dy解：整理得yye x y 1dy dx -=-，C ye dy e ye C e x y dy y 1y dy y 1+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-+⎰=⎰---9、已知连续函数f(x)满足方程x 2x 30e dt 3tf )x (f +⎪⎭⎫⎝⎛=⎰，求f(x)解：原方程两边对x 求导数f '(x)=3f(x)+2e 2xf '(x)-3f(x)=2e 2x 解得：f(x)=Ce 3x -2e 2x 又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e 3x -2e 2x2、数ϕ(x)具有二阶连续导数，且ϕ(0)=ϕ'(0)=0，并已知y ϕ(x)dx+(sinx-ϕ'(x))dy=0是一个全微分方程，则ϕ(x)=( ) x B.2x x 23- C.x 2e x D.x sin C x cos C x sin 2x 21++3、别下列方程的类型并求其通解 （1）(a 2-2xy-y 2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程3222y 0x 0y 31xy y x x a dy )y ,x (Q dx )0,x (P )y ,x (u ---=+=⎰⎰，通解为: C y xy y x x a =---322231（2）(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0解：是全微分方程d(ρ+ρe 2θ)=0，通解为ρ+ρe 2θ=C4、f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,0))(()(2=-+⎰Ldy x x f dx x yf ， 求⎰10dx )x (x f解：对任意闭曲线L 有0dx )x )x (f (dx )x (yf L2=-+⎰，知yP x Q ∂∂=∂∂，由此得f '(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Ce x -2x-2,再代入初始条件可得C=3。
于是f(x)=3e x -2x-2，34dx )x (xf 1=⎰ §6 可降阶的高阶微分方程1、yy "+y '2=0满足初始条件y|x=0=1，y '|x=0=21的特解为（ ）A. y 2=x+C 1x y += C. C 1x y ++= D. y 2=C 1x+C 2 2、方程xy "=y 'lny '的通解为（ ）2x C 1C e C 1y 1+= B.2x c 1C e C y 1+= ， C.x C e C y 2x C 11+= D.以上都不对3、 (1) 求y "=y '+x 的通解解：令y '=p 得p '-p=x p=-x-1+C 1e x22x1C x 2x e C y +--=(2) 求xy "+y '=0的通解解：令y '=p ，则xp '+p=0，xdx pdp -= 得 xC p 1= y=C 1lnx+C 2§7 高阶线性微分方程1、证明：x5x 22x 1e 121e C e C y ++=是方程y "-3y '+2y=e 5x 的通解 2、已知二阶线性非齐次方程y "+p(x)y '+q(x)y=f(x)的特解为y 1=x,y 2=e x ,y 3=e 2x ,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y '(0)=3的特解。
解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y "+p(x)y '+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y "+p(x)y '+q(x)y=0的解。
得齐次方程的两个解：e x -x,e 2x -x ，且线性无关。
于是齐次方程的通解Y=C 1(e x -x)+C 2(e 2x -x).非齐次方程的通解是y=x+C 1(e x -x)+C 2(e 2x -x).由y(0)=1，y '(0)=3代入得：C 1= -1, C 2=2，所以特解为y=2e 2x -e x§8 常系数齐次线性微分方程1、设y=e x (C 1sinx+C 2cosx) (C 1,C 2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该方程为（ ）A.y "+2y '+y=0 "-2y '+2y=0 C.y "-2y '=0 D.y "+y=0 2、设y 1=e x cos2x,y 2=e x sin2x 都是方程y "+py '+qy=0的解，则（ ）A. p=2,q=5, C.p=-3,q=2 D.p=2,q=2 3、设常系数线性齐次方程特征方程根r 1,2= -1,r 3,4=±i ，则此方程通解为 （ ）1+C 2x)e -x +C 3cosx+C 4sinx B.y=C 1e -x +C 2cosx+C 3sinx C. y=C 1e -x +C 2cosx+C 3xsinx D.C 1e -x +(C 2+x)cosx+C 3sinx 4、求下列微分方程的通解(1) y "-4y '+13y=0。