高等数学6章常微分方程

设 y uxe Pxdx
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
0
的解．
将条件 x t0 A 代入 x C1 cos kt C2 sin kt 得：
y2 y y 0 为二阶．
定义3 未知函数是一元函数的微分方程为常微分
方程，为多元函数的微分方程为偏微分方程（数学物 理方程）．
定义4 使微分方程成为恒等式的函数称为微分 方程的解．
如：（3，4，7）
定义5 微分方程的解中的任意常数的个数与方程
的阶数相同，这种解称为方程的通解．不含有任意 常数的解称为特解．
lnC1x2
p C 11 x2 C1C
即有： y C1 1 x2
将条件 y |x0 3代入得： C1 3
对 y 3 1 x2 两端再积分得：
y
3x
x3 3
C2
再将
y
x0 1 代入得： C2
1 3
故所求方程的特解为： y x3 3x 1
3、右端不显含x的方程
微分方程 yfy,y
当 Qx 0 时，有 y Pxy 0
称为一阶线性齐次微分方程．
…（1） …（2）
当 Qx 不恒等于零时，称为一阶线性非齐次方程．
通常也说（2）是（1）对应的齐次方程．
其解法为：
由（2）易得： dy Pxdx
y
lnyPxdxlnC1
y Ce Pxdx （ C 为任意常数） …（3）
这就是（2）的通解．
高等数学
第6章 常微分方程
主要内容:
一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶的微分方程 四、二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
引例 1 某曲线过点 (1,2) 且任一点处的切线的 斜率为 2x ，求曲线方程．
解 依题意有 y 2x
……（1）
且 y x1 2 ，
……（2）
的含有n个任意常数的通解。
例8 解方程 y e2x cos x .
解 对方程两边连续积分三次得：
y1e2x sinxC 2
y1 4e2xcoxsC xC2
y8 1e2xsixn C 1x2C 2xC 3 C1
C 2
2、右端不显含y的方程
微分方程 yf(x,y)
其特点：不显含有未知函数 y 解法：
1)当 c c1 0 时，显然为齐次方程（略）
2)当 c 2
c1 2
0且
a a1
b b1
时，
令 x X h, y Y k ，代入上式有：
dY aX bY a hbkc dX a1Xb1Ya1hb1kc1 显然可取适当的 h, k ，使得：
ahbk c 0 a1hb1k c1 0
从而有： dY dX
x 12 2x123 C
3
三、可降阶的微分方程)
…(1)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为
n-1阶方程： y(n1) f(x)d xC 1
同理可得： y(n2) [ f(x)dx C1]dx C2
依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)
0
得：
h
k
3 2
，将
x
y
X Y
3 2
代入方程（*）得：
dY2XY dX XY
2Yx
1YX
令 Y u ，则Y uX ， d u Y X d ，于是u
uXXdu2u，分离d 变量有：X d u1X dX
dX 1u
u2 2u2 X
所以 1 2
即： X
lnu 2
2u C1
2 ln C1 ln X
从而可得：s 0.2t 2 20t
……（7）
由上两例，得如下相关定义： 定义1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变
量关系的方程称为微分方程． 如：（1，5）
定义2 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶
数称为微分方程的阶． 如：（1）为一阶，（5）为二阶，
f x, y, y , y, , yn 为 n 阶．
x
dx
dx
于是原方程变为： u x du u 2 ，即： x du u
dx u 1
dx u 1
分离变量得： 1
1 u
du
dx x
两端积分得： u ln u C ln x
即： ln xu u C ，将 u y 代回有：ln y y C
x
x
3、可化为齐次方程的微分方程
以下讨论方程 dy ax by c dx a1 x b1 y c1
这是可分离变量的微分方程．
例6 解方程 2x y 4dx x y 1dy 0
解 由原方程得： dy 2x y 4 …（*）
dx x y 1
令
x
y
X Y
h k
，则
dx dy
dX dY
，代入方程（*）得：
dY 2XY2hk4，又由 dX XYhk1
2h h k
k 1
4
0
C1 A
将条件
dx dt
t 0
0 代入
dx dt
k C1
sin kt
k C2
coskt 得：
C2 0 将 C1,C2 代入 x C1 cos kt C2 sin kt 得所求特解为：
xAcokst
二、一阶微分方程
1、可分离变量的微分方程 先看一个实例：
y 2xy2 将其化为 1 dy 2xdx
1 2
ln
x2 y2
1 1
C1
即：
x2 1 y2 1 C
y|x01
C 1 2
故所求特解为： x 2 1 1 y2 1 2
例4 设放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变的铀
原子的含量 M 成正比．已知时间 t 0 时铀的含
量为 M 0 ，求衰变过程中铀的含量 M t 随时间
t 0 的变化规律．
y2 两边积分有： 1 x 2 C
y 即 y 1
x2 C
若某微分方程可化为：
gydy f xdx
的形式，称这种类型的微分方程为可分离变量的微 分方程．
形式： gydyfxdx
特点：左边的表达式中只含有 y ，右边的表达式中
只含有 x ．
解法：两边积分
因为：若 f x, gy连续， 设 y x是 gydy f xdx
aX a1 X
bY b1Y
可化为齐次方程求解．
3)若 a b 时， 令 a b
a1 b1
a1 b1
代入原方程有：
dy dx
ax by c
ax by c1
再令 ax by v ，有 dv a b dy
dx
dx
代入上一方程得： 1 dv a v c
b dx v c1
y x
，则
y
ux
， 从而有：
dyux du，将其代入原方程得：
dx
dx
ux duu ,
dx
du dx
uu x
思路：作变换 u y , y ux ，使之成为可分离变 x
量的微分方程．
例5 解方程 y 2 x 2 y xyy.
解
由原方程得： dy dx
y2 xy x2
y x
2
y x
1
令 y u ，则 dy u x du
令 y p 为一新的未知函数，则可化为
p f x, p ，这是一阶微分方程，可解．
例9 求方程 1 x 2 y 2xy 满足 y x0 1, y x0 3
的特解.
解 设 y p ，则 y dp ，从而方程化为：
dx
dp p
2x 1 x2
dx
，两端积分得：
ln p ln 1 x2 lC n
由（1）可得：y x 2 C
……（3）
所以 y x 2 1
……（4）
引例 2 火车以 20 米/秒行驶时，若以 0.4m / s2 的加速度刹车，则到停止时位移为多少？
解 设刹车后位移与时间关系为 s st ，
则有
d 2s dt 2