高等数学 常微分方程
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
高等数学中的常微分方程与系统动力学
高等数学中的常微分方程与系统动力学在高等数学的学习中，常微分方程与系统动力学是一个非常重要的分支。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、生物学、经济学等多个学科中发挥着重要的作用。
本文将介绍常微分方程与系统动力学的基本概念和应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中变量的导数与变量本身的函数关系被称为常微分方程。
常微分方程的求解可以得到关于变量的具体函数形式，从而可以预测和分析系统的行为。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到变量的一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到变量的高阶导数。
常见的一阶常微分方程包括线性方程、非线性方程和常系数方程等。
二、常微分方程的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
以牛顿第二定律为例，可以将物体的运动状态描述为一个二阶常微分方程。
通过求解这个方程，我们可以得到物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。
在生物学中，常微分方程可以用来描述生物体内的生物化学反应、种群动态等。
通过建立适当的方程模型，可以研究生物体的生长、衰老和疾病传播等问题。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统中的供求关系、投资决策等。
通过求解这些方程，可以预测经济的发展趋势，为经济政策的制定提供依据。
三、系统动力学的基本概念系统动力学是一种研究动态系统行为的数学方法。
它通过建立动态系统的数学模型，研究系统的稳定性、周期性和混沌性等特性。
系统动力学的核心概念是状态变量和状态方程。
状态变量是描述系统状态的变量，状态方程是描述状态变量之间关系的方程。
通过求解状态方程，可以得到系统的演化规律。
四、系统动力学的应用系统动力学在管理学、环境科学和社会科学等领域中有着广泛的应用。
以管理学为例，系统动力学可以用来分析企业的运营过程、市场竞争和人力资源管理等。
通过建立适当的模型，可以预测企业的发展趋势，为决策提供支持。
在环境科学中，系统动力学可以用来研究环境系统的演化和变化。
高等数学 常微分方程
【分类2】 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
【分类3】线性与非线性微分方程. y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
dx yy 2xy 3,
dx x sint t 2 , dt y cos y 1,
线性的; 非线性的.
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11
一阶线性微分方程的解法
1）. 解齐次方 程
dy P(x)y 0 dx
分离变量
两边积分得 故通解为
ln y P( x)dx ln C
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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5
主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
y C e P( x)dx
2）. 解非齐次方程
dy P(x) y Q(x) dx
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12
用常数变易法: 作变换 y( x) u( x) e P( x)d x , 则 u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 )
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
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2）. y f ( x , y ) 型的微分方程 .
【方程特点】方程右端不显含未知函数 y
【解法】令 y p( x ) ,则 y p( x ) 代入方程
得 p( x) f ( x, p( x ))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p( x ) 的一阶微分方程,
若 可以 求出 其通解 p ( x , C1 ) , 则 y ( x , C1 ) 再 积分一次就能得原方程的通解.
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【分类1】常微分方程, 偏微分方程.
【分类2】 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
3
y f ( x , y );
( n) 高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ) 0,
y ( n ) f ( x , y, y,, y ( n1) ).
定理1;定理2 定理3;定理4
7.伯努利方程
欧拉方程
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6
微分方程解题思路
作变换
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法
高阶方程
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7
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三、可降阶的高阶微分方程求解
1). y( n) f ( x)型的微分方程
【特点】 方程右端仅含有自变量 x. 【解法】 连续积分 n 次就可得到方程的通解
21
【例 1】求方程 y ( 3 ) cos x 的通解 .
【解】 因为 y ( 3 ) cos x ,所以 ,
f ( x)dx
8
2、齐次方程
属于一阶微分方程 y f ( x , y )
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 1）.【定义】 dx x y 2）. 【解法】 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f ( u), 代入原式 dx du f ( u) u 即 . dx x
［提示］(1) 因 e
y3 x y3
( 2 ) x y
x2 y2 y ;
6x 3 3x y2 ( 4 ) y 2 3. 3x y 2 y
e e x , 故为分离变量方程: d y e x dx
ye
通解
2 y3
1 y3 e ex C 3
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二、一阶微分方程求解
1、可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy f1 ( x ) f 2 ( y ) dx
M1 ( x ) M 2 ( y )d x N1 ( x ) N 2 ( y ) d y 0 g ( y )dy f ( x )dx 转化
解分离变量方程
两边积分, 得 则有
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除方程两边 , 得 n d y y P ( x ) y1 n Q( x ) dx
令 z y1 n , 则
dz n d y (1 n) y dx dx
dz (1 n) P ( x ) z (1 n) Q( x ) (关于z , x的一阶线性方程) dx
求出此方程通解后,
Hale Waihona Puke 当Q( x ) 0,dy 【例如】 y x2 , dx
线性的; 非线性的.
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yy 2 xy 3,
y cos y 1,
11
一阶线性微分方程的解法
dy P( x) y 0 1）. 解齐次方程 dx
分离变量 两边积分得 故通解为 2）. 解非齐次方程
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0 或
y ( n ) f ( x , y , y,, y ( n1) ) ( n 阶显式微分方程)
则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
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10
3、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0,
上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的.
dx x si nt t 2 , dt
ye
P ( x )d x
Q( x ) e P ( x ) d x d x C
即
y Ce
P ( x )d x
e
P ( x )d x
对应齐次 方程通解
P ( x )d x Q( x ) e dx
非齐次方程特解
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23
2 【例 2】求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解.
【解】
因 2 xyy 1 ( y )2 不显含未知函数 y,则令 y p( x ) , 故 y( x ) p( x ) ，将其代入所给方程,得
2 2 xpp 1 p
【分类3】线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q( x ),
x( y)2 2 yy x 0;
【分类4】单个微分方程与微分方程组. dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
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4
微分方程的解 ---使方程成为恒等式的函数. 通解 --- 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相等. 特解 --- 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 --- 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
1
第十二章
习题课
微分方程
一、微分方程的概念 二、一阶微分方程求解 三、可降阶的高阶微分方程求解 四、常系数齐次线性微分方程求解
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2
一、微分方程的概念
含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程 【例】 y xy ,
y cos xdx sin x C
y (sin x C )dx cos x Cx C 2
y ( cos x Cx C 2 )dx sin x C1 x C 2 x C 3
2
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22
y
1 n
换回原变量即得伯努利方程的通解.
(1 n ) P ( x ) dx ( (1 n)Q( x )e dx C ).
ze
(1 n ) P ( x ) dx
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15
【例1】求下列方程的通解
1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 ( 3 ) y 2 ; 2x y
13
3）、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
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【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
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5
主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 定 系 数 法
特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式
线性方程 解的结构
③ 一阶线性齐次方程 C 通解为 y . x ④全微分方程
2)
( y sin x 1)dx cos xdy 0
【解】 ① 全微分方程 所求通解为
② 一阶线性非齐次微分方程
y cos x x C .
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3)
dy tan x y 5 dx
y x
调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 .
dx 化为 2x y2 , dy
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17
( 4 ) y
6x 3x y 3x 2 y 2 y3
3
2
y ［方法 1］ 这是一个齐次方程 .令 u x
［方法 2］ 化为微分形式
［提示］(1) 原方程化为 令 u = x y , 得 du (2) 将方程改写为
u ln u (分离变量方程) dx x
dy 1 y3 y (贝努里方程) 令 z y 2 d x 2 x ln x 2x
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19
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解 y 1) y x 【解】 ①可分离变量的微分方程 ② 齐次方程
u e
即
P ( x )d x
P( x) u e
P ( x )d x
u e P( x)
P ( x )d x
非齐次方程
u Q( x ) e dx C 两端积分得 P ( x )dx 对应齐次方程通解 y C e