高等数学基础班常微分方程
《高等数学》课件第6章 常微分方程
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx
高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程
22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一 功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
－一 ddyt ’，
I j. 今 且_ ddx2y2 _-_ ddx
，( ＼、
＿1…秒 －1e' dt)
d I( I圳 ·-I·- dt
dt飞e1 dt J dx
1( － l
－ e1' 命 ·－ dt ＋l－ e'
·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－ 解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
高等数学(5)常微分方程
（4）关于马尔萨斯的人口模型 dP kP 。
dt
这是一比较个主观的模型。尽管说是比较准确反
映了美国70年左右的人口增长。但是那时候的美国
却是大量移民的时代。奇怪的是，在提及这个模型
x
h sin
pt
其中，出现未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
（2） 线性与非线性微分方程：假设微分方程中 的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现 的，方程就称为线性的；否则就是非线性的。
n
一般线性方程的形式为： ai y(i) g( x)
。
i0
下面是两个非线性方程的例子：
dx x(a bx) ax bx2 ； ( y)2 a( y)3 by g( x) 。
并且
a1 ,b1 0 时，做平移变换：
a2 , b2
u v
x y
x* y*
，其中：
a1 a2
, b1 , b2
x* y*
c1 c2
0
则方程（1）变换为齐次方程形式：
dv ( a1u b1v )
dx x 1
【例4-7】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它 在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y．
3.变量代换化简方程 变量代换的目的就是把方程变换为“可分离变量” 的类型。
前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在 本质上也是利用变换，转化为“可分离变量”的形 式。由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任 何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微 分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属 于成功转化为“可分离变量”的形式了。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。
对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。
它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。
线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。
它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。
它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。
在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。
多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。
高等数学基础班常微分方程
第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。
可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
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常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【考点六】二阶常系数非齐次线性微分方程：
1．大纲要求：会解自由项为多项式，指数、函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
2．二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是： ，其中 为常数，若特解为 ，对应的齐次微分方程 的通解为 ，则原方程的通解为
。
3．求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：
【例1】若连续函数 满足关系式 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例2】已知曲线 处的切线斜率为
则 .
【例3】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【考点二】形如 的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令 ，则 ，代入得 .分离变量，得 。两端积分，得 ，求出积分后，将 换成 ，即得齐次方程的通解
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。
3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程 等价于 即
两边积分得 即
【例6】设 为连续函数，（1）求初值问题
的解 ，其中 是正常数；（2）若 （ 为常数）。
证明：当 时，有
【例7】求下列微分方程的通解.
ห้องสมุดไป่ตู้1、 ，2、 3、
【例8】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件： ， ，且f(0)=0,
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
①设 ，其中 是 次多项式，设特解
，其中 也是 次多项式，当 不是 的单特征根时， ；当 是 的重特征根时， ，再设 ，将 代入微分方程 ，两端比较 同次幂系数，就可求出符定系数 。
②设 其特解为
其中 ，而 按 （或 ）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1。
4．求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：
设 ，且对应齐欠微分方程
的通解为 ，其中 为任意常数。将
换成函数， 保持不变，即令
是 的通解，其中 是待定系数。函数 的求法如下：
先求方程组
解出 与 ，再积分就可得出 与 代入得
就是原方程的通解。
【例15】求下列微分方程的通解
1、 2、 3、
【例16】设 在 上连续，且 ，求
【例17】设 ，其中 连续，求满足条件的
【例5】求下列微分方程的通解.
1、 2、
3、 4、
【考点三】1. 形如 的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为： .
【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分 ，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。
【例18】设函数 在 内连续， ，且对所有的 ，满足条件
，求
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3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如 的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：
当 ，然后左、右两端积分
上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数， 的一个原函数， 表示函数 的一个原函数.
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式.
【例9】设 连续，求解方程 .
【例10】过点 且满足关系式 的曲线方程为 .
【例11】求微分方程 的一个解 ，使得由曲线 与直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小。
【例12】函数 且满足等式
（1）求导数 ；
（2）证明：当
【考点四】二阶常系数齐次线性微分方程:
1．标准形式： ， 均为常数。
2．通解公式：①特征方程为 ；
②若特征方程有互异实根 ，则通解为 ；
③若特征方程有相等实根 ，则通解为 ；
④若特征根为共轭复根 （ 为常数， ），
则通解为
【例13】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【例14】设 （ 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。
【考点分析】本章包括三个重点内容：
1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。