高等数学常微分方程的基础知识和典型例题

常微分方程一、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程1.（05,4分）微分方程_________.12ln (1)9xy y x x y '+==-满足的解为2222223332.+ln ,=ln .111ln ln ln .339111(1)0ln .939dx xdy y x e x dx xdx x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ⎰==+=+-=-=⇒=-⎰⎰分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得(y)= 积分得 y=C+由得2.（06,4分） (1)y x x-'————.微分方程y =的通解为 111(1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y xy Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得，即因此，原微分方程的通解为 其中为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1.（97,2,5分）222(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解.22223122+1-23,1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u xu u x C u u Cx y C u x xy y x x-=-+-+-=-++-=+-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0.分离变量得 积分得 即以代入得通解2.(99,2,7分)1(0(0),0x y dx xdy x y =⎧+-=>⎪⎨=⎪⎩求初值问题的解.1,2y ,(()0,0.ln(.u dx dy x dy xdu udx x u x xdu udx xdu dx x x u C u Cx yCx x=+-+=-=-====解：所给方程是齐次方程(因,的系数(与(-)都是一次齐次函数）. 令带入得化简得分离变量得积分得 ln 即 以代入原方程通解为221.10,=1.(1).2x yC x y x ====-再代入初始条件得故所求解为 ，或写成（三）全微分方程 练习题2()(0)0,(0)1,()()()f x f f xy x f x f x x f x '=='(94,1,9分）设具有二阶连续导数，且[(+y)-y]dx+[+y]dy=0为一全微分方程，求以及全微分方程的通解222200222[()()][()],2()()2,()().()0,1()2cos sin 2.[2(2cos sin )](22sin co x x xy x y f x y f x x y y xx xy f x f x xy f x f x x y y xf x y y f x x x x xy y x x y dx x y x x ==∂∂'+-=+∂∂''''+-=++=''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩=++-+-+++-+解：由全微分方程的条件，有即亦即因而是初值问题的解，从而解得原方程化为22222222s )0.11()2()(2sin cos )(2sin cos )0,221[2(cos 2sin )]0.212(cos 2sin ).2x dy y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy d x y xy y x x x y xy y x x C =+++----=++-=++-=先用凑微分法求左端微分式的原函数：其通解为（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程244y4.98,3()=,01(0)=(1)()2.().().().y y x x y x x xx y y A B C e D e ππααππππ=∆∆+∆→+∆（分） 已知函数在任意点处的增量当时,是的高阶无穷小，，则等于 （ ）2arctan 2arctan 41,ln arctan ,.1(0)(),(1).()xx yy xdy dx y x C y Ce y xy y x e y e D πππππ'=+'==+=+===分析：由可微定义，得微分方程.分离变量得两边同时积分得即代入初始条件，得C=，于是由此，应选二、二阶微分方程的可降阶类型5.00,330xy y '''+=（分） 微分方程的通解为_____3303212=P()y =P 330,.y x C xP P x x y P x x C y C x''''''''+====+分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令，则，方程可化为一阶线性方程标准形式为P +P=0，两边乘得(P )=0.通解为.再积分得所求通解为 20016.02,312x x yy y y y==''''+==（分）微分方程=0满足初始条件，的特解是_____ 20111()(.120,ln ln 1101,221,22x dy dP dP y P y y y P dx dx dydP dPyPy P P y dy dy dP dyP yCP y C C yx y P y C y P ydy y =''''===='=+=''===='==分析：这是二阶的可降阶微分方程. 令以为自变量)，则代入方程得+P =0，即+=0(或=0,，但其不满足初始条件）.分离变量得 积分得+=，即P=(P=0对应=0)；由时，=得，于是2 2.2.,11x dx y x C yC y ===+===积分得又由得，所求特解为三、二阶线性微分方程（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构12127.01,3(sin cos )(,)x y e C x C x C C =+（分） 设为任意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.122212121212121221()()()220.220.(sin cos )[()sin ()cos ],(2s x x x r r i r r r r r r r r r r r r y y y y e C x C x y e C C x C C x y e C =±--=-++=-+='''-+==+'''=-++=-分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是，，从而得知特征方程为由此，所求微分方程为分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解求得112in 2cos ),,220.x C x C C y y y +'''-+=从这三个式子消去与得（二）求解二阶线性常系数非齐次方程29.07,4432=_____x y y y e y '''-+=（分） 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为222232.1243(1)(3)01, 3.,2.(483)2 2.2.x x xxx x x e y Ae A A A e e A y C e C e e αλλλλλλα-+=--====*=-+=⇒=-=+-分析：特征方程的根为非齐次项不是特征根，非齐次方程有特解代入方程得因此，通解为10.(10,10)322x y y y xe '''-+=分求微分方程的通解. 2122122221320,1,2.2()2,1().(4)223[(2)]2()2,222,x x x x y C e C e f x xe y x ax b e ax a b x a b ax a b x b ax bx x ax a b x a αλλλλα︒︒-+===⇒=+==*=+++++-+++++=-+-=⇒=分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.由相应的特征方程得特征根相应的齐次方程的通解为非齐次项是单特征根，故设原方程的特解代入原方程得 即212121, 2.3(2),x x x b y C e C e x x e C C ︒-=-=+-+原方程的通解为其中，为两个任意常数.（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型22222042,41sin ()(sin cos ).()(sin cos ).()sin .()cos .y y x x A y ax bx c x A x B x B y x ax bx c A x B x C y ax bx c A x D y ax bx c A x '''+=++*=++++*=++++*=+++*=+++（，分）微分方程的特解形式可设为（ ）222210,.11sin 2,(2)()sin sin (0,1),(sin cos ).(sin x i y y x y y x y ax bx c f x e x x i y x A x B x y ax bx c x A x αλλβαβαβ+==±''''+=++=*=++====±*=+*=+++分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是特征根为由线性方程解的迭加原理，分别考察方程（）与（）方程(1)有特解方程的非齐次项，是特征根它有特解因此原方程有特解 cos ).().Bb x A +应选 (四)二阶线性变系数方程与欧拉方程22212.(04,4)420(0)_______.d y dy x x y x dx dx++=>分欧拉方程的通解为222222121212122(ln )(41)20,320.320,1,2,.,,.t t t x e t x d y dy d y dyy y dx dt dt dty C e C e C C y C C x x λλλλ--==+-+=++=++==-=-=+=+分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量，将它化成常系数的情形：即相应的特征方程特征根通解为因此，所求原方程的通解为其中为任意常数20(05,2,12cos (0)(1)01,2x x x t t x y xy y yy π=='''=<<--+='==分)用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.222222222122122101(sin ),sin cos (1).0,cos sin .(0)1 1.(0)2 2.x y t y x dy dy dx dy d y d y dy d y dy x t t x x dt dx dt dx dt dx dx dx dxd yy y C t C t dt x y C x C y C C y C C ===-=-=--+==+=+'==⇒==+=⇒=分析：建立对的导数与对的导数之间的关系.于是原方程化为其通解为回到为自变量得由因此2y x =+特解为四、高于二阶的线性常系数齐次方程12312313.084cos 2sin 2(,,()440.()440.()440.(440.x y C e C x C x C C C A y y y y B y y y y C y y y y D y y y y =++''''''''''''+--=+++=''''''''''''--+=-+-=（，分）在下列微分方程中，以为任意常数）为通解的是（ ））2321,2((1)(2)(2)(1)(4)440,440().i i i i y y y y D λλλλλλλλ±=-+-=-+=-+-=''''''-+-=分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：，对应的特征方程是因此所求的微分方程是，选123(00,2,3,2,3()0.()0.()61160.()220.x x x y e y xe y e A y y y y B y y y y C y y y y D y y y y --===''''''''''''--+=+--=''''''''''''-+-=--+=分) 具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）1232321,1(1)(1)0,10,0.r r r r r r r r y y y y ==-=''''''+-=+--=+--=分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为，从而特征方程为即由此，微分方程为应选(D).五、求解含变限积分的方程[)000,2,8=()0,(0)11()()()01(1)()(2)0,() 1.xx y f x f f x f x f t dt x f x x e f x -+∞='+-=+'≥≤≤⎰（分） 函数在上可导，，且满足等式，求导数；证明：当时成立不等式01(1)()(1)()()0,(1)()(2)()0.0(0)(0)0,(0)1,(0) 1.2(),01()01(0)1,1,xx x f x x f x f t dt x f x x f x x f f f f x u f x u u x e f x u C u x f C -''''+++-=+++=''=+===-+''=+=+'===+'=-=-⎰求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：在原方程中令变限得由得现降阶：令则有，解此一阶线性方程得由得().1(2)1()0(0),(),()(0)1();1()(),()()0(0),()()1(0)0(0),()(00,() 1.2xxx x xx x e f x x e f x x f x f x f x x x x f x e x f x e e x x x x x f x e x x e f x φφφφφ-------'=-+'︒=--<≥≤=≥+''=-=+=≥≥+≥=≥≥≥≥≤≤︒于是方法用单调性.由单调减又设则单调增，因此即）.综上所述，当时方法用积分比较定理.由0000-()(0)(),()1.10(0),01(0).11() 1.txx t t x x tt x x e f x f f t dt f x dt t e e e t dt e dt e x t t e f x -------'-==-+≤≤≥≤≤=-≥++≤≤⎰⎰⎰⎰牛顿莱布尼茨公式，有由于有从而有六、应用问题（一）按导数的几何应用列方程 练习题1.96,1,70,()(,())1(),().xx y f x x f x y f t dt f x x >=⎰（分）设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式022()(,())()()().0()().1()()(),()()()()()()()2()()xxy f x x f x Y f x f x X x X y Y f x xf x f t dt f x xf x xx f t dt xf x x f x f x f x xf x xf x x f x x ='-=-'==-'=-'=-*''''=+--'⎰⎰解：曲线上点处的切线方程为令得轴上的截距由题意（含有未知函数及其导数与积分的方程），为消去积分，两边乘以得恒等式两边求导，得，即112()()0()000,()0(),,0,.()ln .f x f x x f x xy y C y P x y P xP P y P xy f x C x C ''+='''*==+=''''''==+=====+在式中令得自然成立.故不必再加附加条件.就是说是微分方程的通解.令则解得再积分得2.98,2,8(),(,)(0,1)1,()y y x x y y x y y x ==+=（分） 设是一向上凸的连续曲线其上任意一点且此曲线上点处的切线方程为求该曲线的方程，并求函数的极值.22121(),0,, 1.1(),11,arctan .1(0)1(0)1,4tan().4ln y y x y y y yP y P x y P P dPdx P x C P y P C y P x y ππ''=''''''''<=-=-'+'''''===-+=-=-++'==='==-=解：由题设和曲率公式有（因曲线向上凸）化简得令，则方程化为，分离变量得积分得由题意可知即代入可得，故再积分得 22cos()41(0)1,1ln 221ln cos()1ln 24233,,cos()0,,24244444cos()0,ln cos()4413ln cos()1ln 2()4244,ln co 4x C y C y x x x x x x x y x x x ππππππππππππππππ-+==+=-++-<-<-<<->→--→-→-∞=-++-<<=又由题设可知代入确定，故有当即当时而当或时，故所求的连续曲线为显然，当时13s()0,1ln 2,().4244x y y πππ-=+-取最大值显然在，，没有极小值(二)按定积分几何应用列方程0003.(97,2,8)(),(,),(2,0),,.L r r M r L M L OM OM L L M M L θθ=分设曲线的极坐标方程为为上任一点为上一定点若极径与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上、两点间弧长值的一半，求曲线的方程20021122,,.1()11arccos ,arccos (sec )1arccos (0)2arc r d r r d d dt t r t r r Crr C θθθθθθθ='==±=±=-======±+==⎰⎰⎰解：由已知条件得，两边对求导，得解出由于或两边积分，得代入初始条件，得11cos ,arccos .233113cos()cos sin 323 2.r L r L xy ππθπθθθ=⇒=±=±==即的极坐标方程为，从而，的直角坐标方程为。