武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷(理科)及答案

武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷(理科)一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知α是第四象限角, 5tan 12α=-, 则sin α=( ) A. 15 B.15- C. 513 D.513-2. 如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根, 那么1l 与2l 的夹角为( )A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π 3. ︒-︒-10cos 220cos 32=( ) A.12B.2C. 2D.4. 已知非负实数x ,y 满足条件⎩⎨⎧≤+≤+625y x y x , 则y x z 86+=的最大值是( )A. 50B. 40C. 38D.185. 把函数sin ()y x x =∈R 图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6. 已知)3,1(A , )3,3(--B , 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点, 则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,33 B.(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃∞-3,330,C.⎥⎦⎤⎝⎛3,23 D.[)+∞⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-,333,7. 设a 、b 、c 是互不相等的正数, 则下列等式中不恒成立．．．．的是 ( )A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2138. 函数c bx ax x f ++=2)(的图像如图所示, M=b a c b a +++-2, N=b a c b a -+++2, 则 ( ) A.M>N B.M=N C.M<ND.M,N 的大小关系不确定9.已知函数)(x f 对任意实数x 均有)()(),()(x f x f x f x f =--=-π成立, 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时, ()cos 1f x x =-.则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ2,23x 时, 函数)(x f 的表达式为( )A. cos 1x +B. cos 1x -C. cos 1x --D. cos 1x -+10. 设M 是△ABC 内一点, 且32=⋅, ∠BAC=30°, 定义),,()(p n m M f =, 其中p n m ,,分别是△MBC, △MAC, △MAB 的面积.若),,21()(y x M f =, 则yx 41+的最小值是 ( ) A.18 B.16 C.9 D.8 二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.11. 已知直线012:,01:21=++=-+y mx l my x l ,若12//l l , 则=m 。

12.已知关于x 的不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭, 则a b +的值是 ____________ 13. 已知关于x 的不等式m x x <-++11的解集不是空集, 则m 的取值范围是 ____________ 14. 若不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等, 且满足1,2,4===a b c , 则=a +b+c _____________15. △ABC 的三个内角A,B,C 的对边长分别为a ,b,c, R 是△ABC 的外接圆半径, 有下列四个条件：ab c b a c b a 3))()(1(=-+++ C B A s i n c o s 2s i n )2(=B a cC a b cos ,cos )3(== B b a C A R sin )2()sin (sin 2)4(22-=-有两个结论：甲：△ABC 是等边三角形. 乙：△ABC 是等腰直角三角形.请你选取给定的四个条件中的两个为条件, 两个结论中的一个为结论, 写出一个你认为正确的命题_____________三、解答题：本大题共6小题, 共75分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解不等式1321132-->-x x17. (本小题满分12分)已知向量=a=)sin 2,cos 2(αα,=b =)sin 2,cos 2(ββ,其中O 为坐标原点, 且5.626πππαβ≤<<≤(1)若a ⊥ (b -a ), 求αβ-的值；(2)当a · (b -a )取最小值时, 求△OAB 的面积S.18. (本小题满分12分)已知ABC ∆的顶点A 为(0, 5), AB 边上的中线所在直线方程为027114=-+y x ,B ∠的平分线所在直线方程为052=+-y x , 求BC 边所在直线的方程.19. (本小题满分12分)已知函数)(x f =3sin x ωx ωcos ⋅－cos 2x ω+23(R x R ∈∈,ω)的最小正周期为π, 且其图象关于直线6π=x 对称．(1)求)(x f 的解析式并求出)(x f 的单调增区间；(2)若函数)(1x f y -=的图象与直线a y =在]2,0[π上只有一个交点, 求实数a 的取值范围．20. (本小题满分13分)某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔, 如图所示, 塔高BC=40(米), 塔所在的山高OB=290(米), OA=210(米), 图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上, l 与水平地面的夹角为α ,1tan 3α=.试问此人距水平地面多高时, 观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高).21. (本小题满分14分)设2()32f x ax bx c =++, 0a b c ++=且, , 求证： (1) 若0)1()0(>⋅f f ，求证：-2＜ab＜-1； (2)在（1）的条件下，证明函数()f x 的图像与x 轴总有两个不同的公共点A,B ，并求AB 的取值范围.(3)若2,()2()a b c g x ax a b x b >>=+++，求证：x ≤()()f x g x >.武汉二中高一年级下学期期末考试数学 (理科)参考答案11. 22±12. －1413. 2>m 14. 715.⑴⑵→甲 或 ⑵⑷→乙 或 ⑶⑷→乙 16. 原不等式可变形为12103123x x -->-- 通分整理得：5(33)0(31)(36)x xx->--……………………………………………………4分 计算得36x >或133x <<……………………………………………………………6分 即31log 2x >+或01x <<∴原不等式解集为3{|011log 2}x x x <<>+或…………………………………12分 17. (1)由()a b a ⊥-得()0a b a ⋅-= 即2()0a b a ⋅-=又||2,||2,,a b a b βα==<>=-∴c o s ()20βα--= c o s (βα-5626ππαβπ≤<<≤ 4πβα∴-=……………………………………………………………………………6分(2)由(1)知()22cos()2a b a βα⋅-=--5626ππαβπ≤<<≤203βαπ∴<-≤ 当23βαπ-=时， ()a b a ⋅-取最小值此时22sin 3OAB S π=⋅=…………………………………………………12分 18. 设00(,)B x y , 由AB 中点在411270x y +-=上, 可得00541127022x y +⋅+⋅-= 联立00250x y -+=解得(3,1)B -……………………………………………………………………………5分 设A 点关于250x y -+=的对称点为'(',')A x y ,则有'52'''525022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-⋅+=⎪⎩解得'(2,1)A …………………………………………………………………………10分∴BC 边所在的直线方程为y=1…………………………………………………………12分19. (1)23)2cos 1(212sin 2323cos cos sin 3)(2++-=+-⋅=x x x x x x f ωωωωω 1)62sin(12cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x …………2分由π的周期为)(x f ，122±=⇒=∴ωπωπ，1)62sin()(+-±=∴πx x f 当1=ω时， 1)62sin()(+-=∴πx x f ，2316sin )6(=+=ππf 不是最大值也不是最小值，其图象不关于6π=x 对称，舍去；当1-=ω时， 1)62sin()(++-=∴πx x f ，012sin )6(=+-=ππf 是最小值，其图象关于6π=x 对称，故1)62sin()(++-=∴πx x f 为所要求的解析式. ………………………………6分单调增区间是[6ππ+k ，32ππ+k ] Z k ∈…………………………………8分 (2)由(1)知 )62s i n ()(1π+=-=x x f y在同一坐标系内作出a y x y =+=和)62sin(π的图象，由图可知，直线时，或在121,21=⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈=a a a y 两曲线只有一个交点， ∴121,21=⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈a a 或.…………………………………………………………………12分20. 如图建立直角坐标系, 则(210,0),(0,290),(0,330)A B C直线l 的方程为1(210)3y x =-即1703y x =- 设(,)P x y 为直线l 上一点. (y>0)则330PC y k x -=290PB y k x-= 2290330tan (290)(330)11PB PCPB PCy y k k x x BPC y y k k x ----∴∠==--+⋅+…………………………………4分 22404011(290)(330)(360)(400)33x xx y y x x x ==+--+-- 236036093604001037609360400103760x x x x x==⋅⋅-⋅+⋅⋅+-⋅……………8分341=当且仅当936040010x x⋅⋅=即360x =时取等号………………………………10分此时170503y x =-=∴当此人距水平地面50米时, 观看塔的视角最大……………………………………13分21. 1)若0,a =则b c =-2(0)(1)(32)0f f c a b c c ⋅=⋅++=-≤与已知矛盾0a ∴≠…………………………………………………………………………………2分由(0)(1)0f f ⋅>, 得(32)0c a b c ++>由条件0a b c ++=消去c, 得()(2)0a b a b ++<20a > (1)(2)0b ba a∴++< 21ba∴-<<-…………………………………………………………………………4分 (2)方程0232=++c bx ax 的判别式24(3)b ac =-由条件0a b c ++=消去b, 得222234()4[()]024c a c ac a c =+-=-+>∴方程()0f x =有实根即函数()f x 的图象与x 轴总有两个不同的交点A 、B. 设12(,0),(,0)A x B x 由条件知1223b x x a +=-1233c a b x x a a+==- 22121212()()4x x x x x x ∴-=+-＝22244431(1)()93923b b b a a a ⋅++=⋅++21ba -<<- 21214()39x x ∴≤-<122||3x x ≤-<2||3AB ≤<………………………………………………9分 (3)设22()()()()(2)2h x f x g x ax b a x c b ax a c x a c =-=+-+-=-+++,0a b c a b c >>++=0a ∴>且a a c c >--> 即122c a -<<- 又()h x 的对称轴为21022a c cx a a+==+>x ∴≤()3)2(2)0h x a a c a c a c ≥+++=+>即x ≤时，()()f x g x >恒成立…………………………………………………14分更多试卷真题 欢迎访问/。