湖北武汉二中10-11学年高一上学期期末考试(数学)
湖北高一高中数学期末考试带答案解析
湖北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．2.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（）A．B．C．D．23.若，则不等式的解集是（）A．或B．C．D．或4.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④5.如图是正方体的一个平面展开图，则在这个正方体中：① BM与ED平行．② CN与BE是异面直线．③ CN与BM成60°．④ DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④6.一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．D．7.设点P（，）在直线上，则这条直线的方程可以写成（）A．B．C．D．8.设，，若，，则的最大值为（）A．1B．C．2D．9.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）A．B．C．D．10.锐角△ABC中，若A=2B，给出下列四个结论：①②③④则正确的答案是（）A．①②B．①②③C．③④D．①④二、填空题1.关于的不等式的解集为，则____2.若实数满足则的最小值为____3.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点到直线的距离为，且是直角三角形，则满足条件的点有个．4.数列是公差为正数的等差数列，，，，其中，则数列的通项公式______________5.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．三、解答题1.（本小题满分12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线的方程为，AC边上的高BH所在的直线的方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的方程．2. (本小题满分12分) 设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，把它关于AC折起来，AB折过去以后，交CD于点P，求△ADP的面积的最大值及此时AB边的长．3.（本小题满分12分）设为数列的前项和，，，其中是常数．（1）求及；（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．4.(本小题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点．（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；（2）若，∠ABC=30°，求二面角A—PB—C的大小．5.(本小题满分13分) 已知⊙O经过三点（1，3）、（－3，－1）、（－1，3），⊙M是以两点（7，），（9，）为直径的圆．过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B．（1）求⊙O及⊙M的方程；（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最长时，求直线PA的方程；（3）求的最大值与最小值．6.(本小题满分14分)（1）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有：①AB=；②A点处对M、N两点的俯角分别为和；B点处对M、N两点的俯角分别为和；请同学们在示意图中标出这四个俯角并用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．（2）在△ABC 中，若AB=2，AC=2BC，求△ABC面积的最大值．湖北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】略3.若，则不等式的解集是（）A．或B．C．D．或【答案】C【解析】略4.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【答案】D【解析】略5.如图是正方体的一个平面展开图，则在这个正方体中：① BM与ED平行．② CN与BE是异面直线．③ CN与BM成60°．④ DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】C【解析】略6.一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.设点P（，）在直线上，则这条直线的方程可以写成（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.设，，若，，则的最大值为（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】略9.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略10.锐角△ABC中，若A=2B，给出下列四个结论：①②③④则正确的答案是（）A．①②B．①②③C．③④D．①④【答案】B【解析】略二、填空题1.关于的不等式的解集为，则____【答案】【解析】略2.若实数满足则的最小值为____【答案】－６【解析】略3.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点到直线的距离为，且是直角三角形，则满足条件的点有个．【答案】8【解析】略4.数列是公差为正数的等差数列，，，，其中，则数列的通项公式______________【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．【答案】【解析】略三、解答题1.（本小题满分12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线的方程为，AC边上的高BH所在的直线的方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的方程．【答案】（1）C（4，3）（2）直线BC的方程为【解析】解（1）设C（，），则，解出，所以C（4，3）………5分（2）设B（，），则解出，所以B（-1，-3）…………………10分直线BC的方程为…………………12分2.(本小题满分12分) 设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，把它关于AC折起来，AB折过去以后，交CD于点P，求△ADP的面积的最大值及此时AB边的长．【答案】AB=时，△ADP的面积取最大值【解析】解：设AB=，则AD=，由条件知……………2分又设DP=，则PC=PA=，在Rt△ADP中有：解出……………………6分△ADP的面积………………10分当且仅当，即时取得最大面积。
湖北高一高中数学期末考试带答案解析
湖北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值为( )A．B．C．D．2.已知四个条件：①；②；③；④.能推出成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3.已知，，则的真子集个数为( )A．2B．3C．7D．84.已知点，，向量，若，则实数的值为( )A．5B．6C．7D．85.已知，则 ( )A．B．C．D．6.若是等差数列的前项和，且，则的值为( )A．12B．18C．22D．447.若，，则的值为( )A．B．C．D．8.函数的图象最低点的坐标是( )A．B．C．D．9.电流强度 (安)随时间 (秒)变化的函数 ()的图象如图所示，则当秒时，电流强度是( )A．安B．安C．安D．10安10.设是等比数列的前项和，，，则公比 ( )A．B．C．1或D．1或11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A．B．C．D．12.已知函数为奇函数，，若，则数列的前项和为( ) A．2017B．2016C．2015D．2014二、填空题1.在数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，应取__________．2.函数的最小正周期是__________．3.已知，，则在方向上的投影为__________．4.在锐角中，已知，，则的取值范围是__________．三、解答题1.设的内角所对边的长分别为，且有.(1)求角的大小；(2)若，，为的中点，求的长.2.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.(1)求和的通项公式；(2)设，，求数列的前项和.3.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，.(1)求证：平面平面；(2)若平面，求的值.4.如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，平面平面，，.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求几何体的体积.5.已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.6.已知函数.(1)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.湖北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】===2.已知四个条件：①；②；③；④.能推出成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①，因此①能推出<成立；②，因此②能推出<成立；③，因此③不能推出；④，因此④能推出成立。
湖北高一高中数学期末考试带答案解析
湖北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁（A∪B）=（）UA．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2.函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]3.用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．（0，0.5）f（0.125）B．（0.5，1）f（0.25）C．（0.5，1）f（0.75）D．（0，0.5）f（0.25）4.函数y=2sin（﹣2x），x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，π]5.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P开始按逆o时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．6.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（）A．B．C．D．7.设满足，则f（n+4）=（）A．2B．﹣2C．1D．﹣18.平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，若，（λ，μ∈R）则（）A．λ=4，μ=2B．C．D．9.要得到y=sin 的图象，只需将函数y=cos （）的图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移10.已知向量=（2，1），=（1，2），则||（λ∈R ）的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a ，b ∈R ，c ∈Z ），选取a ，b ，c 的一组值计算f （1）和f （﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和212.函数y=的图象与函数y=2sinπx （﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题1.||=1，||=2，，且，则与的夹角为 ．2.方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 ．3.已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m≥0，m ∈N *），则m 的最小值为 ．4.在锐角三角形 A BC 中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则×= ．三、解答题1.计算：（1）已知2sinα﹣cosα=0，求 的值．（2）已知cos，求的值．2.已知向量，满足||=||=1，且|k +|=||（k ＞0），令f （x ）=×．（1）求f （k ）=×（用k 表示）；（2）当k ＞0时，f （k ）≥x 2﹣2tx ﹣对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，求实数x 的取值范围．3.设a ∈R ，f （x ）=cosx （asinx ﹣cosx ）+cos 2满足f=f （0），（1）求函数f （x ）的解析式； （写成形如y=Asin （wx+φ）+B 的形式，w ＞0）（2）画出函数在[0，π]的图象；（3）求函数在[，]上的最大值和最小值．4.某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足．（1）求证：A，B，C三点共线；（2）若，的最小值为，求实数m的值．6.在△ABC中．（1）||=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，求×，×．（2）如果（1）的条件下，△ABC中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角湖北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题（A∪B）=（）1.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁UA．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【答案】D【解析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁（A∪B）={4}．U故选D【考点】交、并、补集的混合运算．2.函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]【答案】B【解析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B【考点】函数的定义域及其求法．3.用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．（0，0.5）f（0.125）B．（0.5，1）f（0.25）C．（0.5，1）f（0.75）D．（0，0.5）f（0.25）【答案】D【解析】根据零点定理f（a）f（b）＜0，说明f（x）在（a，b）上有零点，已知第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）∈（0，0.5），根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f（0.25）．＞0，可得其中一个零点x解：令f（x）=x5+8x3﹣1，则f（0）＜0，f（0.5）＞0，∴f（0）×f（0.5）＜0，∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5），第二次应计算的函数值应该为f（0.25）故选：D．【考点】二分法求方程的近似解．4.函数y=2sin（﹣2x），x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，π]【答案】C【解析】先根据诱导公式进行化简，再由复合函数的单调性可知y=﹣2sin（2x﹣）的增区间可由y=2sin（2x﹣）的减区间得到，再由正弦函数的单调性可求出x的范围，最后结合函数的定义域可求得答案．解：由y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣）其增区间可由y=2sin（2x﹣）的减区间得到，即2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．令k=0，≤x≤，故选C．【考点】正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．开始按逆5.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．解：设h（t）=Acosωt+B，∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．由于最大值与最小值分别为18，2．∴，解得A=﹣8，B=10．∴h（t）=﹣8cos t+10．故选：B．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．6.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】用表示，再计算数量积．解：∵AD⊥AB，∴=0．∵=2=2（）=2﹣2．∴=（2﹣2）×=22﹣2=2．故选：A．【考点】平面向量数量积的运算．7.设满足，则f（n+4）=（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【答案】B【解析】结合题意，分别就当n＞6时，当n≤6时，代入，然后由f（n）=﹣可求n，进而可求f（n+4）解：当n＞6时，f（n）=﹣log（n+1）=﹣3∴n=不满足题意，舍去当n≤6时，f（n）=∴n﹣6=﹣2即n=4∴f（n+4）=f（8）=﹣log9=﹣23故选B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．8.平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，若，（λ，μ∈R）则（）A．λ=4，μ=2B．C．D．【解析】如图所示，过点C作CD∥OB，交直线OA与点D，由题意可得∠OCD=90°．在Rt△OCD中，利用边角关系求得||=2，||=4，再由||=λ||，且||=μ||，求得λ、μ的值．解：如图所示，过点C作CD∥OB，交直线OA与点D．∵中与夹角为120°，与的夹角为30°，∴∠OCD=90°．在Rt△OCD中，||=||tan30°=2×=2，||==4，由=，可得||=λ||，且||=μ||，即4=λ×2，且2=μ×．解得λ=2，且μ=，故选：C．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的基本定理及其意义．9.要得到y=sin的图象，只需将函数y=cos（）的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】D【解析】由于函数y=sin=cos（﹣），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：由于函数y=sin=cos（﹣）=cos（），故只需将函数y=cos（）的图象向右平移可得函数y=sin的图象，故答案为 D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．10.已知向量=（2，1），=（1，2），则||（λ∈R）的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先将向量坐标化，即=（2+λ，1+2λ），再利用向量数量积运算性质，将转化为数量积，最后由数量积的坐标运算，将写成关于λ的函数，求最小值即可解：∵=（2，1），=（1，2）∴=（2+λ，1+2λ）∴=（2+λ）2+（1+2λ）2=5λ2+8λ+5=≥∴故选C【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．11.对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2【解析】求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c ∈Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数． 解：f （1）=asin1+b+c ① f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c ② ①+②得：f （1）+f （﹣1）=2c ∵c ∈Z∴f （1）+f （﹣1）是偶数 故选：D【考点】函数的值．12.函数y=的图象与函数y=2sinπx （﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】由题意可得函数y=的图象（红色部分）与函数y=2sinπx （﹣3≤x≤5）的图象所有交点关于点（1，0）对称，它们共有8个交点，构成4对，且每一对关于点（1，0）对称，由此求得所有交点的横坐标之和． 解：函数y=的图象关于点（1，0）对称，函数y=2sinπx （﹣3≤x≤5）的图象也关于点（1，0）对称，如图所示： 故函数y=的图象（红色部分）与函数y=2sinπx （﹣3≤x≤5）的图象所有交点关于点（1，0）对称， 它们共有8个交点，构成4对，且每一对关于点（1，0）对称， 故他们的横坐标之和为4×2=8，故选：D ．【考点】正弦函数的图象；函数的图象．二、填空题1.||=1，||=2，，且，则与的夹角为 ． 【答案】120° 【解析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos ＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．解：∵，且 ∴ ∴（）×=0 ∵||=1 ∴=﹣1 ∵||=2 ∴cos ＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π] ∴＜＞=120° 故答案为120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．2.方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 ． 【答案】2【解析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．解：∵log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2，∴log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2[4×（3x ﹣1﹣2）]， ∴9x ﹣1﹣5=4（3x ﹣1﹣2）， 化为（3x ）2﹣12×3x +27=0，因式分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0， ∴3x =3，3x =9， 解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2．故答案为：2．【考点】对数的运算性质．3.已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m≥0，m ∈N *），则m 的最小值为 ． 【答案】8【解析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值．解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2， 要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故答案为：8．【考点】正弦函数的图象．4.在锐角三角形 A BC 中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则×= ．【答案】【解析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin 2A+cos 2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴×==．故答案为：【考点】平面向量数量积的运算．三、解答题1.计算：（1）已知2sinα﹣cosα=0，求的值．（2）已知cos，求的值．【答案】（1）﹣；（2）【解析】（1）已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简求出tanα的值，原式变形后代入计算即可求出值；（2）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简求出cosx﹣sinx的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinxcosx的值，原式变形后代入计算即可求出值．解：（1）∵2sinα﹣cosα=0，即tanα=，∴原式=+=+=﹣﹣3=﹣；（2）∵cos（+x）=（cosx﹣sinx）=，∴cosx﹣sinx=，两边平方得：（cosx﹣sinx）2=1﹣2sinxcosx=，即sinxcosx=，则原式====．【考点】同角三角函数基本关系的运用．2.已知向量，满足||=||=1，且|k+|=||（k＞0），令f（x）=×．（1）求f（k）=×（用k表示）；（2）当k＞0时，f（k）≥x2﹣2tx﹣对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（k＞0）；（2）[]【解析】（1）直接利用，结合两边平方整理即可得到结论；（2）当 k＞0时，先根据基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求问题转化为g（t）=﹣2xt+x2﹣1＜0对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，最后结合一次函数的知识即可得到实数x的取值范围．解：（1）由，整理得∴f（k）=（k＞0）（2）当 k＞0时f（k）=（当且当k=1时等号成立）∴当 k＞0时f（k）≥对任意的t∈[﹣1，1]恒成立即≥亦即x2﹣2tx﹣1≤0对任意的t∈[﹣1，1]恒成立而x2﹣2tx﹣1=﹣2xt+x2﹣1=g（t）∴g（t）=﹣2xt+x2﹣1＜0对任意的t∈[﹣1，1]恒成立由一次函数的性质可得∴∴实数的取值范围为[]【考点】平面向量的综合题．3.设a∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2满足f =f（0），（1）求函数f（x）的解析式；（写成形如y=Asin（wx+φ）+B的形式，w＞0）（2）画出函数在[0，π]的图象；（3）求函数在[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）f（x）=2sin（2x﹣），（2）图见解析（3）【解析】（1）利用对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的解析式．（2）直接作图即可，（2）根据x的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值解：（1）f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2=acosxsinx﹣cos2x+sin2x=sin2x﹣cos2x，由f =f（0）得﹣×+=﹣1，解得a=2，因此f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），（2）图象如图所示：（3）当x∈[，]时，f（x）为增函数，当x∈[，]时，f（x）为减函数，所以函数f（x）在[，]上的最大值为f（）=2，又因为f（）=，f（）=，故f（x）的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．4.某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？【答案】（1）y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；（2）票价定为22元时：净收人最多为8830元【解析】（1）根据x的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，∴x＞5.75，∴票价最低为6元，票价不超过10元时：y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），票价高于10元时：y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750，∵，解得：5＜x＜38，∴y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），x=10时：y最大为4250元，对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；当x=﹣≈21.6时，y最大，∴票价定为22元时：净收人最多为8830元．【考点】函数解析式的求解及常用方法．5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足．（1）求证：A，B，C三点共线；（2）若，的最小值为，求实数m的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由条件求得和，可得=×，从而得到∥，即A，B，C三点共线．（2）先求出，从而求得f（x）=，由x的范围求得sinx∈[0，1]，利用二次函数的性质求出f（x）的最小值，即可求得实数m的值．解：∵（1），∴==﹣+，=，∴=×，∴∥，即A，B，C三点共线．（2）由，∵，∴，∵=（1+sinx，cosx），从而=﹣sin2x﹣2m2 sinx+2=﹣（sinx+m2）2+m4+2．又，则t=sinx∈[0，1]，f（x）=g（t）=﹣（t+m2）2+m4+2．由于﹣m2≤0，∴g（t）=﹣（t+m2）2+m4+2 在[0，1]上是减函数，当t=1，即x=时，f（x）=g（t）取得最小值为，解得m=±，综上，．【考点】平面向量数量积的运算．6.在△ABC中．（1）||=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，求×，×．（2）如果（1）的条件下，△ABC中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角【答案】（1）-1，（2）当与方向相同时，×取得最大值0，此时与的方向相同；当与方向相反时，×取得最小值﹣2﹣2，此时与的方向相反【解析】（1）建立直角坐标系，利用点的坐标表示向量，然后求解数量积的值．（2）利用向量的转化为已知向量的关系，通过向量的数量积推出数量积的表达式，然后求解最值．解：（1）以BC，DA分别为x，y轴如图，||=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，可得A（0，1），B（﹣1，0），C（，0），D（0，0），×=（1，0）（﹣1，）=﹣1，×=（1，1）（﹣1，）=．（2）设与x轴正方向成角θ，即向量与的夹角为：θ．=（﹣）×（﹣）=（﹣）×（﹣﹣）=﹣2+（﹣）+×=﹣+×+×∵=2，×=||×||cos∠BAC=2cos105°=1﹣∴×=﹣2+×+1﹣=﹣1﹣+||×||cosθ=﹣1﹣+（1+）×cosθ=﹣1﹣+（1+）cosθ当与方向相同时，×取得最大值0，此时与的方向相同；当与方向相反时，×取得最小值﹣2﹣2，此时与的方向相反【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．。
湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷
湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列说法正确的是（）
三、填空题
故()()()()g h x f h x >恒成立，只需()2h x >恒成立，
即()()221123224432
H k k H k k ì=-+-+>ïí=-+-+>ïî，解得12k <<，综上所述：存在实数k ，使得()()()()g h x f h x >恒成立，k 的取值范围为()1,2．
【点睛】难点点睛：本题考查了二次函数以及指对数函数的应用问题，涉及到函数的单调性以及零点和不等式恒成立问题，综合性强，解答的难点在于（2）中求解是否存在的问题；解答时要根据()g x 的定义域，得到()g x 在()0,¥+是增函数，若()()()()g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，然后利用换元法结合()g t 在(]0,3上是增函数，()f t 在(]0,3上是减函数，进行求解．。
湖北省武汉市第二中学2022-2023学年高一上数学期末统考试题含解析
1 / 142022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，3()f x x =，则(2)f 的值是A.8B.8-C.18 D.18-2．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A.甲比乙的极差大B.乙的中位数是18C.甲的平均数比乙的大D.乙的众数是213．函数12xy =的定义域为（） A.R B.(,0)(0,)-∞+∞C.(,0)-∞D.(0,)+∞4．函数cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是（） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数5．已知102x <<，则11212x x x++-的最小值是（ ） A.5 B.6 C.7D.86．若“x a >”是“x b >”的充分不必要条件，则（） A.a b < B.a b > C.a b ≤D.a b ≥7．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()2112120x f x x f x x x -<-，且132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3)9f =，则不等式()3f x x >的解集为（） A.()3,+∞ B.()0,3 C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．函数()2f x x=的单调递减区间为 A.(),-∞+∞B.()(),00,-∞⋃+∞C.()(),00,-∞+∞，D.()0,+∞9．已知a ，b ，c 为正实数，满足21log 2aa ⎛⎫ ⎪=⎝⎭，212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<10．已知函数（b ，c 为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（） A.4 B.2 C.1D.11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）3 / 14A.4B.22C.7D.212．函数f (x )=ln(-x )-13x -2的零点所在区间为（ ） A.(-3，-e ) B.(-4，-3) C.(-e ，-2)D.(-2，-1)二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） 13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 14．当0x y +>，1z >-，满足1211x y z +=++时，有2221x y z t t ++≥--恒成立，则实数t 的取值范围为____________15．写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________16．若0x >，0y >，且4x y +=，则1y x y+的最小值为__________ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
湖北高一高中数学期末考试带答案解析
湖北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则A．B．C．D．2.点，向量，若，则实数的值为A．5B．6C．7D．83.三个数之间的大小关系是A．B．C．D．4.由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间是，则的值为A． -1 B．5.若是夹角为的两个单位向量，则的夹角为A．B．C．D．6.为了得到函数的图像，需要把函数图像上的所有点A．横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度7.北京时间2012年10月11日19点，瑞典文学院诺贝尔奖评审委员会宣布，中国作家莫言获得2012年诺贝尔文学奖，全国反响强烈，在全国掀起了出书的热潮.国家对出书所得稿费纳税作如下规定：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元8.已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角，若，则的值为A．B．C．6D．89.函数的单调递增区间是A．B．C．D．10.某学习小组对函数进行研究，得出了如下四个结论：①函数在上单调递增；②存在常数对一切实数均成立；③函数在上无最小值，但一定有最大值；④点是函数的一个对称中心，其中正确的是A．①③B．②③C．②④D．①②④二、填空题1.幂函数的图象过点，则 .2.已知函数，则 .3.一个扇形的面积是，它的周长是，则圆心角的弧度数是 .4.已知函数，如果，则的取值范围是 .5.有下列叙述：①集合中只有四个元素；②在其定义域内为增函数；③已知，则角的终边落在第四象限；④平面上有四个互异的点，且点不共线，已知，则△是等腰三角形；⑤若函数的定义域为,则函数的定义域为.其中所有正确叙述的序号是 .三、解答题1.（本题满分12分）计算：（Ⅰ）（Ⅱ）2.（本题满分12分）记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合,集合．（Ⅰ）求集合,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.3.（本题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.4.（本题满分12分）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2013年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下.（Ⅰ）请推理荆门地区该时段的温度函数的表达式；（Ⅱ）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该送电吗？5.（本题满分13分）已知向量（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求实数t 的值.6.（本题满分14分）已知函数 （Ⅰ）设在区间的最小值为，求的表达式； （Ⅱ）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。
湖北省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1-C ． D ．{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵，而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选：A【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a b >1>abA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或，即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立，0a b >>1>a b0b <1ab <当时，若则，若，则，则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选：D3．已知函数的定义域为（ ） ()ln(3)f x x =++()f x A ． B ．C ．D ．(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数，解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选：A4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（ ）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ（ ）sin cos sin cos θθθθ-=+A ．B ．0C ．7D ．17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得，4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D6．函数的图像大致为（ ）()2x xe ef x x --=A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称()f x {}0x x ≠，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项；又，故排除D 选项；()1121101e e f e e--==-> ，当时，，即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增，故排除C 选项. ()2+∞，故选：B.7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b，的大小关系为（ ） c A ． B ． C ． D ．a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，()g x ()0,+¥所以，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又，， 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以，故，0.822log 5.13<<b a c <<故选：C.8．若函数y =f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y =f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=，则此函数的“黄金点对“有（ ） 222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A ．0对 B ．1对C ．2对D ．3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．【详解】由题意知函数f （x ）=2x ，x ＜0关于y 轴对称的函数为，x ＞0， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f （x ）和，x ＞0的图象，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x ＞0时，f （x ）和y=（）x，x ＞0的图象有3个交点． 12所以函数f （x ）的““黄金点对“有3对． 故选D ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．是第二象限角 43π-B ．若为锐角，则为钝角 α2αC ．若，则 αβ=tan tan αβ=D ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时，为不一定为钝角；α2α 时，没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A ：， 42233πππ-=-+是第二象限角，所以A 正确； ∴43π-对于B ：时，并不是钝角，所以B 错误； 10α= 220α= 对于C ： 时，没有意义，所以C 错误；2παβ==tan α对于D ：，， l rα=∴66l r ππα===，D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选：AD.10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）>>c a b 0ac <A ． B ．C ．D ．<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例． 【详解】，且，则，>>c a b c<0a 0,0a c ><，，A 错误； 0b a -<0b ac->，则，B 正确； ,0b c a >>b ca a>，则，C 正确； 0a c >>110a c>>与不能比较大小．如，此时，，D 错误． 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选：BC ．11．对于实数x ，符号表示不超过x 的最大整数，例如，，定义函数[]x []3π=[]1.082-=-，则下列命题中正确的是（ ）()[]f x x x =-A ．函数的最大值为1 B ．函数的最小值为0 ()f x ()f x C ．方程有无数个根 D ．函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像，再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象，如下图所示：()[]f x x x =-，对选项A ，由图象得，函数无最大值，故A 不正确； ()f x 对选项B ，由图知：函数的最小值为0，故B 正确； ()f x 对选项C ，函数每隔一个单位重复一次， ()f x 所以函数与函数有无数个交点， ()y f x =12y =即方程有无数个根，故C 正确； ()102f x -=对选项D ，图象可知函数不是单调递增，故D 不正确. ()f x 故选：BC .12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<，则下列结论正确的为（ ）A ．121=x x B ．的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的取值范围为 312x x x [)5,+∞D ．不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由，必有，而，则，即，解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =，A 正确；121=x x 因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点，因此，方程有三个实数根，当且仅当，B 不正确； ()f x a =02a <≤在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥，，C 正确； 3312[5,)x x x x =∈+∞当时，因当时，，于是得，且，解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=， 104x <<当时，，解得，所以不等式的解集为，D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：ACD三、填空题13．已知集合，集合，若，则实数__________． {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；1N ∈11m -=【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故． M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为：. 014．已知，则______． ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解：已知①，则， 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=， 60sin cos 0169αα=-<，，则，，0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②， 17sin cos 13αα∴-===联立①②，得，12sin 13α=5cos 13α=-， 12tan 5α∴=-故答案为：. 125-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为，则实数的取值范围为________． R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时，，又由可得关于对称，且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得， 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可，故，[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为：(],2-∞-四、双空题16．设函数，.①的值为_______；②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点，则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时，，所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为：（1）；（2）1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.五、解答题 17．计算：(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】（1）由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解； （2）由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解.【详解】（1）解：原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭（2）原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18．已知正数满足；,x y 82xy x y =+（1）求的最小值，并求出取得最小值时的的值；xy ,x y （2）求的最小值.42x y +【答案】（1）最小值为64，；（2）xy 4,16x y ==24+【分析】（1）对等式右边直接使用基本不等式，转化为求关于xy 的不等式；（2）把条件转化为，再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解：（1）因为是正数，所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即，时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy （2）即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19．（1）求函数，的值域； ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）解关于的不等式：（，且）． x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】（1）；（2）时，原不等式的解集为；时，原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为． {11}xx -<<∣【分析】（1）令，，，然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可；（2）分、两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】（1）令，由于，则． 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为， 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线，对称轴，且， ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，取最小值；当时，取最大值2． 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为． 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当时，原不等式可化为：1a >， 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时，原不等式的解集为．1a >{1x x -<<∣当时，原不等式可化为：01a <<， 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即，解得． 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时，原不等式的解集为． 01a <<{11}xx -<<∣综上：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-（1）若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心；②求的值；()()()()2018201920202021f f f f -+-++（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；b a b ()y f x =②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；()()114f x f x -+++=-（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数，故，故，()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即，()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得，故，解得， ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为；()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为，32()3f x x x =-()1,2-所以，，()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；428=-⨯=-（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称，则.()f x x a =()()2f x f a x =-21．已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈（1）当时，2a =①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间； ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立，求实数的取值范围； []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m （2）若函数满足当时，恒有，试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】（1）①，增区间为；②；（2）. 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围； min 21[1(2)21x x m >+-+m （2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解：（1）①由题意知：，若，则，(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴，即， 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有，，即有， 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+，则，即，[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知：当时，即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞（2）由题意知：，令，则，即，()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知：，而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠，又，01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴，即有，对恒成立，若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++，其对称轴为且开口向上，而，2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增，()h x []2,3a a ++∴上式等价于，解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛：（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；()m f x >min ()m f x >（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.22．已知函数()，且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a 的值；（2）设函数，()，若存在，，使得成立，()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程恰有4个不同的正根，求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3） 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】（1）由，得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为，所以，所以. 0a >1a =()1x f x x -=（2）， ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时，在， 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为，由题意， ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠，所以，解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当时，，在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时，. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数，当时，. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为， ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设，方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程在有两个不等的根，，2220s s m -+=()0,11s 2s 则有，解得， 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。
湖北高一高中数学期末考试带答案解析
湖北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A．若，，则B．若∥，∥，则∥C．若，，则∥D．若∥，，则2.直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．3.若，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．4.若的图像是两条平行直线，则的值是（）A．或B．C．D．的值不存在5.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（）A．B．C．D．6.如图，正方形网格中，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为7，则该几何体的表面积为（）A．18B．21C．24D．277.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为() A．4B．6C．8D．108.已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．9.变量满足，若存在使得，则k的最大值是（）A．1B．2C．D．10.设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，则有（）A．B．或C．D．11.在三棱锥中，,,且,则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．12.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过38，则该塔形中正方体的个数至少是()A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题1.点和点关于点的对称点都在直线的同侧，则的取值范围是__________。
2.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，作为其母线与轴的夹角的大小为__________。
3.直线l过点P(－1，2)且点A(2，3)和点B(－4，6)到直线l的距离相等，则直线l的方程为_________________________。
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武汉二中2010－2011学年上学期高一年级期末考试数学试卷命题教师：徐远景 考试时间：2011年1月20日上午09：00－11：00一、选择题.(共10小题, 每题4个选项中, 有且只有一个最佳答案, 每小题5分, 共50分)1．函数2()lg(31)f x x =++的定义域为( ) A ．11(,)33-B ．1(,1)3-C ．1(,)3-+∞D ．1(,)3-∞-2．已知向量,a b 不共线, 且AB a b λ=+, AC a b μ=+, 则点A 、B 、C 三点共线应满足( )A ．2λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=3．给出的下列命题：(1)cos47cos13cos43sin13︒︒-︒︒ (2)a b b c =, 则0b =或a c =；(3)函数()sin(sin cos )f x x x =+的最大值为(4)函数cos()(0,0)y A x A ωϕω=+>>是奇函数, 则2()2k k z πϕπ=+∈.其中正确的命个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．函数2()3log ()xf x x =--的零点所在区间是( )A ．5(,2)2--B ．(－2, －1)C ．1(1,)2--D ．(1, 2)5．设向量11(1,0),(,)22a b ==, 则有( )A ．||=||a bB ．22a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b6．已知奇函数()f x 在[－1, 0]上单调递减, 又,αβ为锐角三角的两内角, 则有( ) A ．(sin sin )(cos cos )f f αβαβ-≥- B ．(sin cos )(cos sin )f f αβαβ->- C ．(sin cos )(cos sin )f f αβαβ-≥-D ．(sin cos )(cos sin )f f αβαβ-<-7．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB OC r r ααββ===, 且O 为△ABC 的重心, 则cos()r α-的值为( ) A ．－1B ．12-C ．12D ．不能确定8．已知方程3sin cos 0x x m ++=在[0,]2π内有两个相异的实根,αβ, 则αβ+为( ) A ．3πB ．2π C ．23π D ．与m 有关9．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数, 且(1)(2)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈都成立, 则实数a 的取值范围为( )A ．[－2, 0]B ．[－3, －1]C ．[－5, 1]D ．[2,1)-10．点O 为非等边△ABC 的外心, P 为平面ABC 内一点, 且有OA OB OC OP ++=, 则点P 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．外心D ．重心二、填空题. (共5小题,每题5分,共25分) 11．要得到cos(3)4y x π=-的图象, 则需要将sin(3)4y x π=-的图象向左平移的距离最短的单位为 .12．向量(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b =︒︒=︒︒, 若m R ∈, 则||a mb +的最小值为.13．已知函数9()l o g (8)af x x x=+-在[1,)+∞上为增函数, 则实数a 的取值范围为 .14．已知函数()f x 是以2为周期的偶函数, 且当(0,1)x ∈时()21xf x =-, 则2(log 12)f 的值为 .15．设函数()f x 的定义域为D, 若存在非零实数t, 使得对于任意()x M M D ∈⊆有x t D +∈ 且()()f x t f x +≥, 则称()f x 在M 上的t 给力函数, 若定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 给力函数, 则m 的取值范围为 .三、解答题.（请写出必要的文字说明和推理演算过程） 16．(12分)已知tan ,tan αβ为方程2330x x --=两根.(1)求tan()αβ+的值；(2)求22sin ()3sin(22)3cos ()αβαβαβ+-+-+的值.17．(12分)已知向量(sin(),2),(1,cos())(0,0)4a xb x πωϕωϕωϕ=+=+><<, 函数()()()f x a b a b =+-的图象一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1, 且其图象过点7(1,)2A . (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,1]x ∈-时, 求()f x 的单调区间.18．(12分)在△ABC 中, 若I 是△ABC 的内心, AI 的延长线交BC 于D, 则有AB BDAC DC=称之为三角形的角平分线定理, 现已知AC ＝2, BC ＝3, AB ＝4, 且AI xBC y AC =+, 求实数x 及y 的值.θ19．(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为3π的扇形纸报AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P 在弧AB 上, 点Q 在OA 上, 点M 、N 在OB 上, 设∠BOP ＝θ, 平行四边形MNPQ 的面积为S.(1)求S 关于θ的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应的θ角.20．(13分)在辽阔的草原上, 一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成(0)2πθθ<<的方向前进m 千米后, 再按逆时针方向偏转θ角方向再前进m 千米, 如此进行下去, 正当他前进的路程为3m 千米时, 恰好处在出发点正北方向. (1)求θ的值；(2)他能回到原出发地吗？至少需多少路程？21．(14分)已知定义在R 上函数12()2xx b f x a +-=+是奇函数. (1)对于任意t R ∈不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立, 求k 的取值范围.(2)若对于任意实数，m ，x ，25()22f x m tm t <+++恒成立，求t 的取值范围. (3)若()g x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当(1,1)x ∈-时，()()g x f x x =-，求()0g x =的所有解武汉二中2010－2011学年上学期高一年级期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 11、6π 12、213、[1,9)- 14、1315、2m ≥三、解答题 16、（1）解由事达定理知tan tan 3tan tan 3αβαβ+=⎧⎨=-⎩·····（2分）又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-·····（4分） ∴33tan()134αβ+==+·····（6分）（2）解：原式＝22221cos ()[tan ()tan()3][tan ()1tan ()αβαβαβαβαβ++-+-=+-++ 6tan()3]αβ+-·····（8分）2213331()[()63]444=+-⨯-11125=-·····（12分）17、解：（1）22()()()f x a b a b a b =+-=- ＝22sin ()41cos ()wx y wx ϕ++--+3cos(22)wx ϕ=-+·····（2分）依题知：714= ∴4T = 即24200π=∴4w π=又过点7(1,)2A∴1cos(2)22πϕ+=- ∵2(0,)4ϕ∈ ∴26πϕ=·····（4分） ∴()3cos()26f x x ππ=-+·····（6分）（2）当[1,1]x ∈-时，2[,]2633x ππππ+∈- 当[,0]263x πππ+∈-时即1[1,]3x ∈-- ()f x 单减 ·····（9分）同样 当1[,1]3x ∈-时()f x 单增·····（12分）18、解：由三角形角平分线定理知 BD ＝2，BC ＝1由B 、D 、C 三点共线可知1233AD AB AC =+·····（4分）又I 为内心422BA AI BD ID ===可知23AI AD =＝2499AB AC + ① ·····（7分）又AI xBC y AC =+()x AC AB y AC =-+＝()xAB x y AC -++ ②·····（10分）由②可得2949x x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2923x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ·····（12分） 19、解（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形 ·····（2分）由扇事半径为1cm sin PD θ= cos OD θ=在Rt △OEQ中OE = MN ＝OD －OE＝cos θθ·····（4分） 3(cos sin )sin S MNPD θθ==-2sin cos (0,)3πθθθθ=∈ ·····（6分） （2）2)6S θ=+ ·····（9分）252(,)666ππθ+∈1sin(2)(,1]62πθ+∈当26θ=时 2m a x )S m·····（12分）20、解（1）如图所示OC OA AB BC =++ ① ·····（1分）(cos sin ) (cos2sin 2)OA m m AB m m θθθθ== (cos3sin3)BC m m θθ=(cos cos2cos3sin sin 2sin3)OC m θθθθθθ=++++·····（4分）当点C 在正北方向即cos cos2cos30θθθ++=cos(2)cos2cos(2)0θθθθθ-+++= 2cos cos2cos20θθθ+=又2(0,)2θ∈ ∴2cos 10θ+>∴cos20θ=∴4πθ=·····（7分） （2）能·····（9分）∵4πθ=∴以O ，A ，B ，C …...为顶点可作一个正八边形∴至少需要8m 千米回到原出发点 ·····（13分） 说明：①②利用向量平移构成以O 为起点终点在以O 为圆心 为半径的圆上也可给分。