高数函数定义域典型例题
求函数的定义域例题
求函数的定义域例题
当我们要找出一个函数的定义域时，我们主要是确定该函数中所有表达式都有意义的输入值的集合。
以下是一些关于求函数定义域的例题：
例题1：基本函数
求函数 f(x)=x−2 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足 x−2≥0。
解得 x≥2。
所以，函数的定义域是 [2,+∞)。
例题2：分式函数
求函数 f(x)=x−31 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足 x−3=0。
解得 x=3。
所以，函数的定义域是 (−∞,3)∪(3,+∞)。
例题3：根式与分式组合函数
求函数 f(x)=x−14−x2 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足以下条件：
1.4−x2≥0（根号内部非负）
2.x−1=0（分母不为零）
解第一个不等式得−2≤x≤2。
结合第二个条件得 x=1。
所以，函数的定义域是 [−2,1)∪(1,2]。
例题4：对数函数
求函数 f(x)=log2(x+1) 的定义域。
解：
要使 f(x) 有意义，需满足 x+1>0（对数函数的真数必须大于零）。
解得 x>−1。
所以，函数的定义域是 (−1,+∞)。
以上这些例题涵盖了求不同类型函数定义域的基本方法。
在解题时，关键是找出使函数表达式有意义的所有输入值的集合。
定义域试题及答案
定义域试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，请找出该函数的定义域。
答案：函数 \( f(x) \) 的定义域是除了 \( x = \pm 2 \) 以外的所有实数。
因为当 \( x = \pm 2 \) 时，分母为零，函数无定义。
2. 函数 \( g(x) = \sqrt{2x - 3} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( g(x) \) 的定义域是 \( x \geq \frac{3}{2} \)。
因为根号下的表达式必须非负，所以 \( 2x - 3 \geq 0 \)。
3. 确定函数 \( h(x) = \log_2(x - 1) \) 的定义域。
答案：函数 \( h(x) \) 的定义域是 \( x > 1 \)。
因为对数函数的自变量必须大于零，所以 \( x - 1 > 0 \)。
4. 函数 \( p(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( p(x) \) 的定义域是所有实数，除了 \( x = 3 \)。
因为分母 \( x^2 - 6x + 9 \) 可以分解为 \( (x - 3)^2 \)，当 \( x = 3 \) 时分母为零。
5. 求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域。
答案：函数 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域是 \( x \neq 0 \)。
因为 \( x = 0 \) 时分母为零，所以 \( x = 0 \) 不在定义域内。
6. 函数 \( r(x) = \sqrt[3]{x^3 - 8} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( r(x) \) 的定义域是所有实数。
因为立方根函数对所有实数都有定义。
7. 确定函数 \( s(x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \) 的定义域。
函数定义域(高一数学函数题100道)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！指数函数1的定义域和值域。
指数函数R的定义域，即实数集。
2.指数函数的取值范围对于所有指数函数来讲，当a满足a0且a≠1时，值域为(0,+∞)；a=1时也可以，此时值域为{1}。
3.函数定义域的确定自然定义域使解析函数有意义的自变量的所有值[例子]求f(x)=lg(x－1)+lg(3－x)定义域[分析]there4;函数的定义域为（１，３）总结：求函数的定义域一般归结为解不等式或混合系统。
四、函数的值域[例题]求以下函数的值域：⑵y=x+[分析]Let=t(t≥0)然后Y=(t≥0)there4;函数的值域为（－∞，1]摘要：代换方法[例题]求下列函数的值域：y=|2x+1|+|x－2|[分析]y=|2x+1|+|x－2|如图，此函数的范围是[摘要：此问题的解法。
原文链接：（【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
又召他到寝阁，对他说：“中兴的大事，全部委托给你了。
”金人攻打拱州、亳州，刘锜向朝廷告急，宋高宗命令岳飞火速增援，并在赐给岳飞的亲笔信中说：“设施之事，一以委卿，朕不遥度。
”岳飞于是调兵遣将，分路出战，自己率领轻装骑兵驻扎在郾城，兵锋锐气十足。
但是，后来高宗和秦桧决定与金议和，向金称臣纳贡。
就在岳飞积极准备渡过黄河收复失地的时候，高宗和秦桧却连发12道金字牌班师诏，命令岳飞退兵。
后岳飞被以“莫须有”的罪名毒死于临安风波亭，时年仅39岁。
高中数学求函数定义域练习题
1. 函数定义域的求法
①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④00
≠=x x y ，， 2. 定义域求解练习题
(1) ()x x f -=1的定义域为 .
(2) ()23x x x f -=的定义域为 .
(3) 函数()2-61
x x x f -=的定义域为 .
(4) 函数()013
2-+-+=x x x y 的定义域为 . (5) 函数()()13lg -132
++=x x
x x f 的定义域为 . (6) 函数()312-1++
=x x f x 的定义域为 . (7) 2322+-=x x y 的定义域为 .
(8) 函数()()12log 1
2---=x x x f 的定义域为 .
(9) 已知函数()()11-22-+-=
x a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 .
(10) 函数()1
2+-=
x x x f 的定义域为 .
☆ 复合函数求定义域的方法：对于一个复合函数()[]x g f 来说，其定义域是x 的取值范围而不是()x g 的取值范围.
(11) 已知()x f 的定义域为[]5,1-，求()53-x f 的定义域.
(12) 已知()x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21
，求()x f 2log 的定义域.
(13) 已知()222+-x x f 的定义域为[]3,0，求()x f 的定义域.
(14) 已知()[]1lg +=x f y 的定义域为{}90≤≤x x ，则()x f y =的定义域为 .
(15) ()1+=x f y 的定义域为[]3,2-，则()12-=x f y 的定义域为 .。
高中定义域试题及解析及答案
高中定义域试题及解析及答案1. 函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\) 的定义域是什么？2. 若 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，求 \(g(x)\) 的定义域。
3. 函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？4. 已知 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，求 \(k(x)\) 的定义域。
5. 函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？解析与答案1. 对于函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)，我们需要保证根号内的表达式非负，即 \(x - 3 \geq 0\)。
解得 \(x \geq 3\)。
因此，\(f(x)\) 的定义域是 \([3, +\infty)\)。
2. 对于函数 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，分母不能为零，所以\(x \neq 2\)。
因此，\(g(x)\) 的定义域是 \((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。
3. 对于函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\)，分母 \(x^2 -4\) 不能为零，即 \(x \neq \pm 2\)。
因此，\(h(x)\) 的定义域是\((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)。
4. 对于函数 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，对数函数的自变量必须大于零，即 \(x + 4 > 0\)。
解得 \(x > -4\)。
因此，\(k(x)\) 的定义域是 \((-4, +\infty)\)。
5. 对于函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\)，根号内的表达式必须非负，即 \(x + 2 \geq 0\)，同时分母不能为零，即 \(x \neq 1\)。
高一必修一定义域练习题
高一必修一定义域练习题一、基础题1. 求函数f(x) = √(x 1)的定义域。
2. 求函数g(x) = 1/(x^2 4)的定义域。
3. 求函数h(x) = (x + 2)/(x^2 9)的定义域。
4. 求函数k(x) = |x 3|的定义域。
5. 求函数m(x) = log₂(x 2)的定义域。
二、提高题1. 求函数f(x) = √(4 x^2)的定义域。
2. 求函数g(x) = √(x^2 5x + 6)的定义域。
3. 求函数h(x) = 1/√(x^2 3x + 2)的定义域。
4. 求函数k(x) = (x 1)^2/(x^2 2x)的定义域。
5. 求函数m(x) = log₃(x^2 4x + 3)的定义域。
三、综合题1. 已知函数f(x) = √(3x 2)/(x^2 5x + 6)，求其定义域。
2. 已知函数g(x) = (x + 1)/(√(x^2 2x 3))，求其定义域。
3. 已知函数h(x) = log₄(√(x^2 6x + 9))，求其定义域。
4. 已知函数k(x) = √(4 x^2) + 1/(x 2)，求其定义域。
5. 已知函数m(x) = √(x^2 5x + 6) log₂(x 3)，求其定义域。
四、应用题1. 一个正方形的边长是x厘米，如果边长增加2厘米，面积增加20平方厘米，求x的取值范围。
2. 某企业的成本函数为C(x) = 3x^2 2x + 10，其中x为生产的产品数量，求C(x)的定义域。
3. 一辆汽车以每小时x公里的速度行驶，行驶了t小时后，其油耗量为y升，已知油耗量与速度的关系为y = x^2/20，求x的取值范围。
4. 某商品的价格为p元，需求量q与价格p的关系为q = 100 p，求该商品的需求量q的定义域。
5. 一个等腰三角形的底边长为2x厘米，腰长为x厘米，求x的取值范围。
五、拓展题1. 求函数f(x) = √(x^3 x^2 6x)的定义域。
高中函数定义域、值域经典习题及答案
高中函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$首先要注意分母不能为0，所以$x\neq-3$和$x\neq1$。
又因为分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,+\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x+1}$分母不能为0，所以$x\neq-1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}+\frac{2x-1}{2-x^2}$分母不能为0，所以$x\neq1$。
分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
分母不能为0，所以$x\neq\pm\sqrt{2}$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},1)\cup(1,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+2)$的定义域为$[2,3]$；函数$f(2x)$的定义域为$[0,\frac{1}{2}]$。
3、若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[-\frac{5}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-3,-1]$。
4、知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。
由于$F(x)$的定义域存在，所以$f(x+m)$和$f(x-m)$的定义域都存在，即$x+m\in[-1,1]$，$x-m\in[-1,1]$。
解得$-1-m\leq x\leq1-m$，$m-1\leq x\leq m+1$。
高中数学函数的定义域测试题(含答案)
高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
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高数函数定义域典型例题例1 已知()sin f x x =，2[()]1f x x ϕ=-，求()x ϕ的解析式及其定义域． 解 依题意得sin ()x ϕ=21x -，()x ϕ=2arcsin(1)x -．由2111x -≤-≤可知x ≤()x ϕ=2arcsin(1)x -，[x ∈．例2 设1,0()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，2, 0(),0x x g x x x ⎧<=⎨-≥⎩．求[()]f g x ．解 （1）由()0g x ≤得()0g x x =-≤即0x ≥，所以0x ≥时[()]f g x =1x +． （2）由()0g x >即2()0g x x =>得0x <．所以0x <时，[()]f g x =22x +． 故22,0[()]1, 0x x f g x x x ⎧+<=⎨+≥⎩．例3 设1,||1()0,||1x x x ϕ≤⎧=⎨>⎩，22,||1()2, ||1x x x x φ⎧-≤=⎨>⎩．试求[()]x ϕφ，{[()]}x ϕϕϕ．解 （1）由于1,|()|1[()]0,|()|0x x x φϕφφ≤⎧=⎨>⎩，且仅当||1x =时，()1x φ=；||1x ≠时，1()2x φ<≤．则1,||1[()]0,||1x x x ϕφ=⎧=⎨≠⎩．（2）当(,)x ∈-∞+∞时，0()1x ϕ≤≤．故[()]1x ϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．于是{[()]}1x ϕϕϕ≡，(,)x ∈-∞+∞．注 函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化．复合后要写下复合函数的定义域．由于复合函数是微积分研究的主要对象之一，读者应熟练掌握复合函数的概念．例4 设()f x ，()x ϕ，()x φ均为单调递增函数，且()()()x f x x ϕφ≤≤．证明：[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．证明 由题设可知[()][()][()]x f x f f x ϕϕϕ≤≤， [()][()][()]f f x f x x φφφ≤≤，则由上述不等式可得[()][()][()]x f f x x ϕϕφφ≤≤．注 此处多次利用函数单调性的定义．例5 下述说法中与lim n n x a →∞=的定义等价的是（ ）．A ．(0,1),N ε∀∈∃，当n N ≥时，有||100n x a ε-≤．B ．1,N ε∀>∃，当n N >时，有||n x a ε-<．C ．,0N ε∀∃>，当n N >时，有||n x a ε-<．D ．,0N ε∃∀>，当n N >时，有||n x a ε-<．解 lim n n x a →∞=的定义：对于数列n x ，存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论它多么小），存在自然数N ，使当n N >时，不等式||n x a ε-<恒成立．A 与上述定义等价，因为0ε>具有任意性，100ε也具有任意性．B 因为1ε>不能保证ε为任意小，从而由||n x a ε-<不能保证n x 与a 无限接近．C 中的ε是存在性，与定义不符．D 如果存在自然数N ，使对0ε∀>，当n N >时有||n x a ε-<，这说明数列n x 有极限a ，说明D 是上述定义的充分条件．但反之如果lim n n x a →∞=，不一定能找到那样的N （它可能与ε无关．这一要求比N 与ε有关的要求更高），使对任意0ε>，当n N >时，都有||n x a ε-<，因为在定义中N 是依赖于ε的给定而确定的．因而D 不是上述定义的必要条件．故选A ．例6（03研*） 设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）． A ．n n a b <对任意n 成立． B ．n n b c <对任意n 成立． C ．lim n n n a c →∞不存在． D ．lim n n n b c →∞不存在．解法1 由数列极限的定义，数列{}n a 的极限关心的是n a 在某个N （足够大）之后的性质，前面的有限多项则无关紧要．因此A 、B 中“任意n ”的条件显然不成立．“0⋅∞”型的极限是未定式，C 不成立，故选D ．事实上，当lim 0n n b b →∞=≠，lim n n c →∞=∞时，由无穷大量的定义得到lim n n n b c →∞=∞．解法2 举反例：取2n a n =，1n b =，2n nc =，则可以直接排除A 、B 、C ． 例7 当1x →时，函数12111x x e x ---的极限（ ）． A ．2． B ．0． C ．∞． D ．不存在且不为∞．分析 左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件．本题中函数211exp 11x x x ---为两个因式的乘积，易求出211lim 21x x x →-=-，所以解本题的关键是因式11x e -．注：03研表示2003年考研真题，以下同.解 因211lim 21x x x →-=-，而111lim x x e +-→=+∞，111lim 0x x e --→=．故 12111lim 1x x x e x +-→-=+∞-，12111lim 01x x x e x --→-=-．所以选D ． 例8求n →∞．分析 所求极限中有根式．通常需要对分子或分母有理化．有时甚至需要对分子分母同时有理化．本题需对分子有理化．解n →∞=n=n=n =2．例9求x →解法1 分子分母有理化．则有x →21123333))))x →=2122333)))x →=32． 解法2 注意到该极限属于型，可用洛必达法则，从而x →11222203311(1)(1)(1)22lim 11(1)(1)(1)33x x x x x --→--+--⋅-+--⋅- =1122223311(10)(10)(1)2211(10)(10)(1)33----+--⋅-+--⋅-=32． 注 解法2用到的洛必达法则属于第三章的内容． 例10求limx分析 所求极限中分子与分母都有根式，通常需要有理化，但本题如果对分子分母同时有理化则很难求解，注意到该极限属于∞∞型．考虑分子分母同时除以x 的最高次幂．解法1 由于x →-∞||x x ==-．函数的分子分母同时除以x -得limx=limx =1．解法2 运用变量代换，令x t =-，则lim x=limt=lim t 1． 错误解答limxlimx 3．错解分析 错误的原因在于没有注意到x 的变化过程，而将被求极限函数分子分母同时除以x 导致错误出现．在解题过程中，最好用解法2则可避免出错．例11已知lim (51x x →+∞=．试求常数a 、b 、c 中的a 和b ．分析 本题极限中出现根式可优先考虑有理化．然后利用极限运算性质来分析极限运算过程，尤其是无穷小与无穷大的相关运算性质，即可解决问题．解法1 分子有理化可得lim (5x x →+∞=2limx=(25)limx ca xb -+-=1，如果25a ≠，则lim[(25)]x ca xb x→+∞-+-=∞， 故要使lim (51x x →+∞=，必须有25a =1=，得25a =，10b =．解法2由题意有lim (51x x →+∞⋅=．当x →+∞时，由于lim (5x →+∞=5，若50≠，则lim (51x x →+∞⋅=∞≠．所以50，即25a =．由lim (51x x →+∞=⇒limx c b -=1，可得110b=．所以25a =，10b =． 例12求n →∞．分析 当n →∞时，的极限都不存在．尽管出现了根式，但无法直接有理化．应先利用三角函数的和差化积，然后再求解．解 因为=，又|2≤，即为有界量．且n →∞n →∞=n 0，即为n →∞时的无穷小量．根据有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质可知：n →∞-=0．例13 求下列极限： （1）0sin limx x x →； （2）01lim sin x x x→⋅；（3）sin limx x x →∞； （4）1lim sin x x x→∞⋅；（5）11lim sin x x x →∞⋅； （6）011lim sin x x x →⋅．解 （1）由重要极限知0sin lim 1x xx→=．（2）0x →时，1sin x 为有界量．故01lim sin x x x→⋅=0．（3）x →∞时，1x 为无穷小量，sin x 为有界变量．故sin lim x xx→∞=0．（4）解法1 x →∞时，11sinx x ．故1lim sin x x x→∞⋅=1．解法2 令1x t =，则由x →∞知0t →．故1lim sin x x x →∞⋅=0sin lim 1t tt →=．（5）解法1 x →∞时，10x →，1sin x 为有界量．故11lim sin x x x→∞⋅=0．解法2 x →∞时，10x →．11sinx x ．故11lim sin x x x→∞⋅=0． （6）0x →时，1x →∞．1sin x 不定．取子列12n x n π=，则n →∞时0n x →，11sin 0n nx x ⋅=．另取子列122n y n ππ=+，则n →∞时，0n y →，11sin 22n n n y y ππ⋅=+→∞． 故011lim sin x x x→⋅不存在． 注 在求极限时，一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势，准确判断极限类型，正确使用重要极限公式，充分利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，对解题将大有帮助．例14 求下列极限：（1）30tan sin lim x x xx →-； （2）01sin cos lim1sin cos x x x px px →+-+-，其中p 为常数且0p ≠； （3）0lim x +→分析 极限若为型，且含有三角函数或反三角函数，可尝试运用重要极限 0sin lim1x xx→=．解 （1）解法1 运用重要极限0sin lim1x xx→=．30tan sin limx x x x →-=30tan (1cos )limx x x x →- =230sin 2sin 2limcos x xx x x →⋅=20sinsin 12lim ()2cos 2x x x x x x →⋅⋅=12．解法2 30tan sin lim x x x x →-=30tan (1cos )lim x x x x →-=2302lim x x x x →⋅=12． 解法3 运用洛必达法则，则30tan sin lim x x xx→-=220sec cos lim 3x x x x →-=32201cos lim 3cos x x x x →-⋅=32011cos lim 3x x x →-⋅ =2013cos (sin )lim 32x x x x →-⋅-⋅=201cos sin lim 2x x x x →⋅⋅=12． 错误解答 0x →时，tan sin x x x ，故30tan sin lim x x x x →-=30limx x xx →-=0． 错解分析 错误原因在于错误地使用了等价代换．tan sin x x -并不与x x -等价，而是与32x等价．在极限的和差运算中要慎重使用等价代换，一定要确保所做代换是等价代换．（2）解法1运用重要极限sinlim1xxx→=．1sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=sin1coslimsin1cosxx xx xpx pxx x→-+-+=2022sinsin2lim2sinsin2xxxx xpxpxppx x→+⋅+=222sinsin2()22limsinsin2()22xxx xxxpxpx p xppxpx→+⋅⋅+⋅=10p++=1p．解法2利用无穷小的等价替换：0x→时，sin x x，21cos2xx-．01sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=sin1coslimsin1cosxx xx xpx pxx x→-+-+=0000sin1coslim limsin1coslim limx xx xx xx xpx pxx x→→→→-+-+=2002002lim lim()2lim limx xx xxxx xpxpxx x→→→→++=10p++=1p．解法3利用()oαββαα⇔=+．由于当0x →时，sinx x，21cos2xx-从而有sin()x x o x=+，sin()px px o px=+，222()1cos()22px p xpx o-=+．01sin coslim1sin cosxx xpx px→+-+-=222222()()22lim()()22xx xx o x op x p xpx o px o→++++++=2222()()212lim()()22xxoo x xx xp xoo px p xpx x→++++++=10001000p p+++=+++．解法4 用洛必达法则．01sin cos lim 1sin cos x x x px px →+-+-=00cos sin 1lim 0cos sin x x x p px p px p →++=++．（3） 解法1 运用重要极限0sin lim1x xx→=．0lim x +→0lim x +→=202sin lim x x+→=2200sin /2()lim x x x x +→→⋅=12． 解法2 利用等价无穷小的替换定理．0lim x +→0lim x +→=20(cos 1)2lim 2x x x +→--=2202lim x x x +→=12． 解法3 利用分子有理化和等价无穷小的替换定理．0lim x +→0lim x +→=200lim lim x x x ++→→=12． 解法4 分母先作等价替换，然后用洛必达法则．0lim x +→0lim x +→=1201(cos )(sin )2lim x x x x +-→-- =1201(cos )()2lim x x x x +-→--=12． 注 一般地，能够用重要公式0sin lim 1x xx→=来解决的问题，一般也可以通过恒等变形后作等价替换，在求极限时能用多种方法综合求解时多种方法一起使用，往往能使计算非常简便．例15（00研） 求1402sin lim()||1xx xexx e→+++． 分析 求带有绝对值的函数的极限一定要注意考虑左、右极限． 解 因为1434402sin 2sin lim()lim()011||11xxxx x xx e x e e xx xee ++--→→-+++=+=+=++，114402sin 2sin lim()lim()211||11xxx x xxe x e xx xee --→→+++=-=-=++， 所以1402sin lim()1||1xx xe xx e→++=+． 错误解答 因为 1402lim1xx xe e→++和0sin lim||x xx →均不存在，故原来的极限不存在．错解分析 如果lim ()x af x →和lim ()x ag x →均不存在，但lim[()()]x af xg x →+可能存在．用极限的四则运算来求极限时要注意条件，即参与极限四则运算的各部分的极限均要存在．例16 设2lim()8xx x a x a→∞+=-．求a 的值．分析 所求极限的函数为幂指函数．可用幂指函数的极限求法来求解．关于幂指函数()lim ()v x u x 的极限的求法参见内容提要．解法1 运用重要极限1lim(1)x x e x→∞+=．2lim()x x x a x a →∞+-=2lim(11)x x x a x a→∞++--=333lim(1)x a a x a x a x a x a -⋅⋅-→∞+-=3lim x axx ae →∞-=3a e ， 得3a e =8，故ln2a =．解法2 2lim()x x x a x a →∞+-=2(1)lim(1)x x x a x a x →∞+-=2lim(1)lim(1)xx xx a x a x→∞→∞+-=2a a e e -=3a e =8，故ln2a =． 解法3 2lim()x x x a x a →∞+-=2limexpln()x x x a x a →∞+-=2exp(lim ln )x x ax x a→∞+-=3exp[lim ln(1)]x a x x a →∞+-=3exp(lim )x ax x a→∞⋅-=3a e =8，故ln2a =．例17 求21lim(sin cos )x x x x →∞+．解法1 121(sin cos 1)22sin cos 12121lim(sincos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-，又因为21sincos 121lim (sincos 1)lim1x x x x x x xx →∞→∞+-⋅+-=21sin cos 1lim()20211x x x x x→∞-=+=+=， 故21lim(sin cos )x x x x→∞+2e =．解法2 21lim(sin cos )x x x x →∞+21limexp[ln(sin cos )]x x x x →∞=+21exp[lim ln(sin cos )]x x x x→∞=+21ln(sin cos )exp[lim]1x x x x→∞+= 0ln(sin 2cos )exp[lim ]t t t t→+=(令1t x =)0ln(1sin 2cos 1)exp[lim]t t t t →++-=0sin 2cos 1exp(lim)t t t t →+-=(用到这里In （1+x ）=x)00sin 2cos 1exp(limlim )t t t t t t→→-=+2e =．解法3 21lim(sin cos )x x x x →∞+21limexp[ln(sin cos )]x x x x →∞=+21exp[lim ln(sin cos )]x x x x→∞=+21ln(sin cos )exp[lim]1x x x x→∞+= 0ln(sin 2cos )exp[lim ]t t t t →+=(令1t x =)202cos2sin exp(lim)sin 2cos t t te t t→-==+．例18（03研） 21ln(1)0lim(cos )x x x +→=_______．分析 极限属于1∞的类型，既可用重要极限，又可用求幂指函数的极限的方法． 解法1 用等价代换．21ln(1)lim(cos )x x x +→201exp[limln(cos )]ln(1)x x x →=+，而2200ln(cos )ln(1cos 1)lim limln(1)x x x x x x →→+-=+=22200cos 12lim lim x x x x x x →→--==12-， 故21ln(1)0lim(cos )x x x +→e1=． 解法2 先用等价代换，然后用洛必达法则．21ln(1)lim(cos )x x x +→ 201exp[limln(cos )]ln(1)x x x →=+，而22000sin ln(cos )ln cos 1cos lim lim lim()ln(1)22x x x xx x x x x x →→→==-=-+， 故21ln(1)lim(cos )x x x +→e1=． 例19 求11112lim ()xxxnxnx a a a n→+∞+++，其中1a ，2a ，，n a 均为正实数．分析 该极限属于1∞型，可采用例16的解法1与解法3． 解法1 11112lim ()x xxnx nx a a a n→+∞+++=11112lim (11)xxxnx nx a a a n→+∞++++-=111121111211112lim (1)x x x n x x x n a a a n nnxnx xxa a a nn x a a a nn+++-⋅⋅+++-→+∞+++-+=11112exp(lim)x xxn x a a a nnx n→+∞+++-⋅=11112(1)(1)(1)exp[lim]1xxxn x a a a x →+∞-+-++-=11112111exp(lim lim lim)111xxxn x x x a a a x xx→+∞→+∞→+∞---+++=12111ln ln ln exp(lim lim lim )111n x x x a a a x x x x x x→+∞→+∞→+∞+++ =12exp(ln ln ln )n a a a +++=12n a a a ⋅⋅．解法2 11112lim ()xxxnx nx a a a n→+∞+++=11112lim exp(ln)xxxnx a a a nx n →+∞+++⋅=11112exp(lim ln)xxxnx a a a nx n→+∞+++⋅=11112exp{lim ln[(1)1]}x xxnx a a a nx n→+∞+++⋅-+=11112exp[lim (1)]xxxnx a a a nx n→+∞+++⋅-=11112exp{lim [(1)(1)(1)]}xxxn x x a a a →+∞⋅-+-++-=12exp(ln ln ln )n aa a +++=12n a a a ⋅⋅．例20 求226n n n→∞++++．分析 此类和式极限，不容易求出它的有限项的和的一般式，可考虑用夹逼准则． 解 由于≤≤1,2,,k n =． 得222nnnk k k ===≤≤，1,2,,k n =．又2lim nn k →∞==1(1)(21)n n n n ++=13．同理2lim nn k →∞=13． 所以由夹逼准则得226n n n →∞++=13． 例21 求极限112lim()nnn nk n a a a →∞+++，其中1a ，2a ，，k a 均为正实数，k 为自然数．解 记a =12max{,,,}k a a a ，则11112()()()n n nn n nn nk a a a a ka ≤+++≤．而1lim 1n n k →∞=，1lim()n nn a a →∞=．所以112lim()n nn nk n a a a →∞+++=a =12max{,,,}k a a a ．例22 []x 表示x 的取整函数．试求01lim []x x x→⋅．分析 充分利用不等式1[]x x x -<≤是求解本题的关键．解 对任一x R ∈，有1[]x x x -<≤，则当0x ≠时有1111[]x x x-<≤．于是 （1）当0x >时，111(1)[]x x x x x x -<⋅≤⋅，由夹逼准则得01lim []1x x x +→⋅=；（2）当0x <时，111[](1)x x x x x x ⋅≤⋅<-，由夹逼准则得01lim []1x x x-→⋅=．所以01lim []1x x x→⋅=．例23 设110x =，1n x +=1,2,n =．试证数列}{n x 极限存在，并求此极限．分析 用单调有界准则来证明，先证明单调性，再证明有界性．解 用数学归纳法证明此数列的单调性．由110x =及24x ==可得12x x >． 假设{1,2,}n ∈，有1+>n n x x ，则21166+++=+>+=n n n n x x x x ．由数学归纳法知，对一切N n ∈都有1+>n n x x ．即数列}{n x 单调递减．又0(1,2,)n x n >=显然成立，即}{n x 有下界，由单调有界准则知}{n x 存在极限，设A x n n =∞→lim ，对n n x x +=+61两边取极限，有A = 即 260A A --=．所以3A =或2A =-（舍去），即3lim =∞→n n x ．例24 设0a >，1x =2x =，1n x +=其中1,2,n =，求lim n n x →∞．分析 需先用单调有界准则证明数列极限存在．单调性易证，但上界或下界却不易估计．为此则可先假设lim n n x A →∞=，并由A A =，此即为数列的一个上界，但此上界形式较复杂，论证不太方便．可将其适当放大化简：1<= 解 先用数学归纳法证明数列{}n x 单调递增．由0a >知，210x x =>．假设10n n x x ->>成立，则1n n x x +==，所以数列{}n x 单调递增．下证有界性．下证1为数列{}n x 的上界．假设1n x <+11n x +=故01n x <<+{}n x 有界．根据单调有界准则知lim n n x →∞存在．不妨设为A ，则有A 解得A =或A =．故lim n n x →∞=注1 讨论数列{}n x 的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法．注2 如果数列{}n x 的上界（或下界）不易直接看出时，则可以先假定数列{}n x 的极限存在并求出极限值A ，据此就可以找到数列{}n x 的上界（或下界），再进一步证明其确实是数列{}n x 的上界（或下界）．例25 求下列极限：（1）lim 1)n n →∞； （2）n n →∞； （3）1121lim (33)n n n n +→∞-．分析 含有指数函数或指数函数的差，一般考虑换底或提出公因子，然后结合等价替换求解．解 （1）lim 1)n n →∞=1ln lim (1)a nn n e→∞⋅-=1lim ln n n a n→∞⋅=ln a ．（2）n n →∞=limexp[1)]n n →∞⋅=exp[lim 1)]n n →∞⋅=exp[lim n n →∞=exp(lim lim n n n n →∞→∞=1exp (ln5ln7)2+（3）1121lim (33)n n n n +→∞-=112(1)1lim 3[31]n n n n n ++→∞⋅-=ln32(1)lim [1]n n n n e+→∞-=2ln 3lim (1)n n n n →∞⋅+=ln3．注 本题用到了1n =（0a >），11ln na na e=以及当0x →时ln(1)x x +，1x e x-等结果．例26 当0x →时，试将21x e -，ln(1)x +，21cos x -，tan sin x x -按低阶到高阶的无穷小顺序排列．分析 注意将考虑对象均与x 进行比较，充分利用常用的等价替换关系式． 解 当0x →时，由于221x e x -， ln(1)x x +， 2242()1cos 22x x x-=，且tan sin x x -=1sin (1)cos x x-=2sin (1cos )cos 2x x x x x -⋅=32x ， 故将其按低阶到高阶的无穷小顺序排列为ln(1)x +，21x e -，tan sin x x -，21cos x -．例27 设2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-，其中220a c +≠，则必有（ ）． A ．4b d =． B ．4b d =-． C ．4a c =．D ．4a c =-．分析 由于0x →，极限式中含有tan x ，21x e --，ln(12)x -，1cos x -这些无穷小量，因此要考虑运用无穷小量的有关知识．解法1 2tan (1cos )lim ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+--+-=20tan (1cos )lim ln(12)(1)x x x x abx x x e c dx x-→-+--+ =20000tan (1cos )limlimln(12)(1)lim limx x xx x x x a b x x x e c d x x→→-→→-+--+=22a c -=， 即4a c =-．选D ．解法2 利用关系式()o αββαα⇔=+．因为当0x →时，tan x x ， 1xx e -， ln(1)x x +， 21cos 2x x-， 所以tan ()x x o x =+， 1()x e x o x -=+， ln(1)()x x o x +=+， 221cos ()22x x x o -=+．则20tan (1cos )lim ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+--+-=22220(())(())22lim (2())(())x x x a x o x b o c x o x d x o x →+++-+++=22a c -=，即4a c =-．选D ． 解法3 用洛必达法则．22200sin tan (1cos )cos lim lim 222ln(12)(1)212x x x xab x a x b x a xc c c xde dxe x -→→-++-==-=--+-+-，即4a c =-．选D ． 例28（97研） 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++_______． 分析 由于0x →，该极限属于0型，极限式中含有三角函数以及无穷小量ln(1)x +，因此要考虑运用无穷小量的有关知识．解 因为0x →时，x x ~)1ln(+，所以2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 20013sin cos1lim lim(1cos )x x x x x x x→→+=⋅+ 01sin 1lim(3cos )2x x x x x →=⋅+13(310)22=⋅+=． 例29 已知0()ln[1]sin lim321x x f x x →+=-，求20()lim x f x x →．分析 因为0x →时，21ln 2x x -，由已知条件可知()ln[1]sin f x x +是无穷小量，而且()sin f x x与x 是同阶的无穷小．解法1 利用极限与无穷小量的关系．由题意得()ln[1]sin 321x f x x α+=+-， 其中0lim 0x α→=．即 ()ln[1](21)(3)sin x f x xα+=-+， 又因为021lim ln 2x x x→-=，故21ln 2()x x o x -=+．于是()ln[1]sin f x x+=(ln 2())(3)x o x α++=3ln 2()x o x +，则有()1sin f x x+=3ln 2()x o x e +，即 ()sin f x x=3ln 2()1x o x e +-=3ln 2()x o x ++(3ln 2())o x o x +． 所以 20()limx f x x →=01()sin lim sin x f x x x x x →⋅⋅=03ln 2()sin lim x x o x xx x →+⋅=3ln2． 解法2 利用等价无穷小替换．由于0x →时，21ln 2x x -，ln(1)x x +，sin xx ．则()ln[1]sin lim21x x f x x →+-=0()sin lim ln 2x f x x x →=0()lim sin ln 2x f x x x →⋅⋅=3， 故 20()limx f x x →=0()sin lim ln 2sin ln 2x f x xx x x→⋅⋅⋅⋅=3ln2．注1 解法1用到了如下常用结论：a ．0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=；b ．()o αββαα⇔=+；c ．当0x →时，()()k o x o x ⋅=，()()()o x ko x o x +=，()()o x o x α⋅=，其中k 为常数，lim 0x α→=．注2 本章求极限常用如下一些方法：a ．利用极限四则运算法则求极限;b ．利用两个重要极限求极限;c ．利用夹逼准则求极限;d ．利用单调有界准则求极限;e ．利用无穷小的性质求极限;f ．利用函数的连续性求极限．例30 讨论函数2()lim n nn nn x x f x x x +--→∞-=+的连续性．分析 该函数为含有参数的极限式，应该先求出极限得()f x ，再讨论其连续性． 解 显然当0x =时()f x 无意义．故当0x ≠时21, 0<||1()0, ||1, ||1x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩，，．而()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上是初等函数，故()f x 在这些区间上连续．又1lim ()1x f x +→=，1lim ()1x f x -→=-， 0lim ()1x f x →=-，1lim ()1x f x +→-=-，1lim ()1x f x -→-=，所以1x =±及0x =为()f x 的第一类间断点，其中0x =为()f x 的可去间断点，1x =±为()f x 的跳跃间断点．例31 讨论函数2(2), 0,sin ()sin , 01x x x x n n N xf x x x x π+⎧<≠-∈⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩,的间断点及其类型．解 0x =是该分段函数的分界点．并且当0x <时x n ≠-，当0x ≥时1x ≠． （1）由于(2)lim ()lim sin x x x x f x x π--→→+==2π，200sin lim ()lim 1x x xf x x +-→→=-=0， 所以0x =为()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点．（2）当x n →-（2n ≠）时，(2)lim ()limsin x nx n x x f x xπ→-→-+==∞．所以x n =-（2n ≠）为()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．（3）当2x →-时，由于22(2)lim ()limsin x x x x f x xπ→-→-+==0(2)limsin t t t t π→-=2π-（令2t x =+）．所以2x =-为()f x 的第一类间断点中的可去间断点．（4）由于211sin lim ()lim1x x xf x x →→=-=∞，所以1x =为()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，0x =为()f x 的跳跃间断点，1x =与x n =-（2n ≠）为()f x 的无穷间断点，2x =-为()f x 的可去间断点．例32 证明方程323910x x x --+=在开区间(0,1)内有唯一实根．分析 问题等价于证明函数32()391f x x x x =--+在开区间(0,1)内有唯一的零点，既要证明存在性，又要证明唯一性．存在性通常用零点定理来证明，唯一性常用单调性或用反证法来证明．证法1 令32()391f x x x x =--+．由于(0)10f =>，(1)100f =-<．又()f x 在[0,1]上连续．由零点定理知：至少存在一点1(0,1)x ∈使得1()0f x =．下证唯一性．对于唯一性下面给出三种证明方法．证法1 若有2(0,1)x ∈使得2()0f x =，于是12()()0f x f x ==，得12()()0f x f x -=．即2212112221()[()3()9]0x x x x x x x x -++-+-=，而1(0,1)x ∈，2(0,1)x ∈，所以221122213()90x x x x x x ++-+-<，则120x x -=，即12x x =．从而方程323910x x x --+=在开区间(0,1)内有唯一实根．证法2 若有2(0,1)x ∈且21x x ≠，使得2()0f x =．不妨设21x x >．可知12()()0f x f x ==，显然，()f x 在闭区间12[,]x x 上连续，在开区间12(,)x x 上可导．由罗尔定理知，至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈∈使得()0f ξ'=，即23690ξξ--=，解得1ξ=-或3ξ=，于是(0,1)ξ∉，与假设矛盾．唯一性证得．证法3 由于2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当(0,1)x ∈时，有()0f x '<即()f x 在(0,1)上单调递减．故()f x 在开区间(0,1)上零点唯一．证毕．证法2 令32()391f x x x x =--+，则由于(0)10f =>，(1)100f =-<，lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，而()f x 在(,)-∞+∞上连续．所以由零点定理知()f x 在区间(,0)-∞，(0,1)，(1,)+∞上至少各有一个零点．即一元三次方程323910x x x --+=在各区间(,0)-∞，(0,1)，(1,)+∞内恰有一实根，即所给方程在(0,1)区间内有唯一实根．证毕．注1 证法1中唯一性的证法2和证法3涉及到微分中值定理和导数的应用等知识，这将在第三章重点讨论，它们是证明函数的零点或方程的根的唯一性的常用的两种方法．注2 零点定理在证明方程根的存在性的问题中应用较广泛．当函数()f x 在(,)a b （a 可以为-∞，b 可以为+∞）内连续，lim ()x af x +→存在（或者为-∞，或者为+∞，但不为∞），lim ()x b f x -→存在（或者为+∞，或者为-∞，但不为∞）．分别记它们为()f -∞和()f +∞，且()()0f f -∞⋅+∞<．此时零点定理同样成立．例33 设函数()f x 在[,]a b 上连续，[,]i x a b ∈，0i t >（1,2,,i n =），且01ni i t ==∑．试证至少存在一点(,)a b ξ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=++⋅⋅⋅+．分析 用介值定理来证明，只需证明1122()()()n n t f x t f x t f x ++⋅⋅⋅+介于()f x 的最大值与最小值之间即可．证明 由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以由最值定理可知()f x 的最大值与最小值存在，令max{()|[,]}M f x x a b =∈，min{()|[,]}m f x x a b =∈，于是对任何[,]x a b ∈都有()m f x M ≤≤．由于[,]i x a b ∈，0i t >（1,2,,i n =）．所以 111()nnni i i i i i i m mt t f x Mt M ====≤≤=∑∑∑，从而由介值定理知至少存在一点(,)a b ξ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=++⋅⋅⋅+．证毕．注 利用闭区间上的连续函数的性质证明与介值相关的命题，通常有两种方法： （1）直接法（利用介值定理和最值定理）．解题步骤：a ．从要证的等式中整理出连续函数()f x 所需取得的值()f ξ；b ．说明()f ξ介于()f x 在相应区间上的最大值与最小值之间；c ．利用介值定理得到命题的结论．如例33．（2）间接法（利用零点定理）．解题步骤：a ．作辅助函数：将要证的等式整理为左边=右边=0的形式，而左边设为辅助函数．b ．寻找区间，使辅助函数在该区间端点处的函数值异号，用零点定理，如例32．。