高等数学：6-1 常微分方程的基本概念
专升本高等数学知识点总结
专升本高等数学知识点总结高等数学作为专升本考试的一门重要科目，需要掌握的知识点相对较多。
下面是对高等数学知识点的详细总结。
一、函数与极限1.函数概念与性质：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等。
2.函数的常用性质：函数的画像、函数的基本性质、函数的运算、函数的反函数、函数的复合、函数的比较等。
3.极限的概念：极限的定义、左极限、右极限、无穷极限、函数极限等。
4.极限的性质：极限的唯一性、夹逼准则、极限的四则运算、函数极限法则等。
5.无穷小与无穷大：无穷小的定义和性质、无穷大的定义和性质。
二、导数与微分1.导数的定义：函数在一点的导数、导数的几何意义、函数的可导性等。
2.导数的计算：基本函数的导数、基本运算法则、复合函数的导数、隐函数的导数等。
3.高阶导数：导数的高阶导数、高阶导数的计算等。
4.微分：微分的定义、微分的计算、微分形式不变性等。
5.高阶导数与高阶微分的关系：高阶导数与高阶微分的计算、高阶微分的含义等。
三、积分与不定积分1.定积分的概念与性质：积分的定义、黎曼和、定积分的计算、积分中值定理等。
2.不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的计算、定积分与不定积分之间的关系等。
3.基本积分公式：幂函数的积分、三角函数的积分、反函数的积分、特殊函数的积分等。
4.定积分的应用：曲边梯形的面积、旋转体的体积、定积分的几何应用等。
四、级数与幂级数1.数列与级数：数列的概念与性质、收敛与发散、常见数列的性质等。
2.级数的概念与性质：级数的概念、部分和、级数的性质、级数收敛性的判别法等。
3.幂级数的概念与性质：幂级数的收敛域、幂级数的性质、幂级数的运算等。
4.泰勒展开与幂级数展开：泰勒展开的定义、泰勒级数、幂级数展开的计算等。
五、多元函数与方程1.多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
2.偏导数与全微分：偏导数的定义、全微分的定义、全微分近似计算等。
3.导数与梯度：偏导数与方向导数、梯度的定义和性质、梯度的运算等。
高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程
22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一 功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
－一 ddyt ’，
I j. 今 且_ ddx2y2 _-_ ddx
，( ＼、
＿1…秒 －1e' dt)
d I( I圳 ·-I·- dt
dt飞e1 dt J dx
1( － l
－ e1' 命 ·－ dt ＋l－ e'
·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－ 解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
常微分方程课程简介
电容: Q C
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：
在闭合回路中，所有支路上的电压的代 数和等于零。
例1 R-L-C 电路 电路1图(1.1)
回路中设R、L及电源
电压E为常数。
当开关S合上后，存在关系式:
E L d I RI 0 dt
即 dI RI E dt L L
数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 量和它们的导数(或微分)间的关系式.
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
Lorenz方程:
dx dt
a(
y
x),
d y
d
t
xz
cx
y,
dz d t
xy
bz.
其中参数a=10,b=8/3,c=28.
传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发展规律、生态 种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率 的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和 分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因 此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且 越来越多的应用于社会科学的各个领域。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
高等数学重要概念总结归纳
高等数学重要概念总结归纳高等数学是大学阶段数学课程中的一门重要学科，涉及到许多重要概念和理论。
本文将对高等数学中的一些重要概念进行总结归纳，以便读者更好地理解和掌握这些知识。
一、极限与连续1. 极限的定义与性质：介绍了数列和函数的极限定义，以及相关的性质，如极限唯一性、夹逼定理等。
2. 连续与间断点：讨论了函数的连续性概念，包括连续函数的定义以及间断点的分类和判定方法。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算：介绍了导数的定义及其几何意义，以及常见函数的导数计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
2. 微分与泰勒展开：探讨了微分的概念，以及泰勒展开的原理和应用。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与计算：介绍了不定积分的定义，以及常见函数的不定积分计算方法，如幂函数、三角函数、指数函数等。
2. 定积分的定义与计算：讨论了定积分的定义，以及计算定积分的各种方法，如定积分的性质、换元法、分部积分法等。
四、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念：介绍了多元函数的定义和性质，以及极值、最值的判定方法。
2. 偏导数与全微分：讨论了偏导数的定义和计算方法，以及全微分的概念和性质。
五、重积分与曲线积分1. 重积分的概念与计算：介绍了重积分的定义和计算方法，如二重积分和三重积分的计算。
2. 曲线积分的概念与计算：探讨了曲线积分的定义及其计算方法，如第一类曲线积分和第二类曲线积分的计算。
六、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：介绍了常微分方程的定义、阶数和解的概念。
2. 常微分方程的解法：讨论了一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法，如分离变量法、线性方程解法、特征方程解法等。
七、级数1. 级数的基本概念与收敛性：介绍了级数的定义，以及级数收敛的基本判别法则，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
2. 常见级数的求和：探讨了各种常见级数的求和方法，如几何级数、调和级数等。
总结：高等数学涉及到众多重要概念与理论，本文对极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、多元函数与偏导数、重积分与曲线积分、常微分方程、级数等概念进行了总结归纳。
《高等数学》第6章常微分方程知识讲解
微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
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第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 几类可降阶的高阶微分方程
形如 y f ( x, y) 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
的微分方程称为 一阶微分方程。 后者 x 与 y 对称，既可以把 x 看作自变量， 也可把 y 看作自变量.
例2.解初值问题 x yd x ( x2 1) d y 0
y(0) 1
解: 分离变量得
dy
x
y 1 x2 dx
两边积分得
即 y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子
的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为
一、可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成 g( y)dy f ( x)dx
的形式，则原方程称为 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
可分离变量的微分方程的解法
分离变量法
设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的原
引例1
d初始条件
y x2 C 通解
y x2 1 特解
引例2
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
初始条件
s 0.2 t 2 C1t C2 通解
s 0.2t 2 20t
特解
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
x t0 A,
dx 0,
dt t0
C1 A, C2 0.
所求特解为 x Acos kt.
内容小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 说明: 通解不一定是方程的全部解.
例如,方程 ( x y) y 0 有解
方程中所含未知函数导数的 最高阶数 叫做微分方程的 阶
.
y xy, y 2 y 3 y e x ,
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F( x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
三、微分方程的解
微分方程的解:
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
t 0时, v ds 20, s 0,
dt
代入条件后知
C1 20, C2 0
故 v ds 0.4t 20, dt
s 0.2t 2 20t,
解 设所求曲线为 y y( x)
y 2x y 2xdx 即 y x2 C,
其中 x 1时, y 2
求得 C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解:根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv
初始条件为 v t0 0
代入微分方程能使方程成为恒等式的 函数 称为 微分方程的 解. 微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, y y 0,
通解 y ce x ; 通解 y c1 sin x c2 cos x;
初始条件: 用来确定任意常数的条件. y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 , , y(n1) ( x0 ) y0(n1) (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
二、微分方程的概念
微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量 之间的关系的方程叫微分方程.
例如 y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0,
函数,则 G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
例1. 求微分方程
的通解.
解:分离变量得 d y 3x2 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分
变形, 因此可能增、 减解.
得 ln y x3 C1
即
令 C eC1
( C 为 任意 常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
方程
d2 dt
x
2
k
2
x
0的解.
并求满足初始条件
x
t0
A,
dx dt
t0
0的特解.
解
dx dt
kC1
sin
kt
kC2
cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表
达式代
入原方
程,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解:根据题意,有
dM M ( 0)
dt
M t0 M0 (初始条件)
求在
对方程分离变量,然后积分:
得 ln M t lnC, 即 M C e t M
利用初始条件,得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
例4. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
第六章 常微分方程
已知 y f ( x), 求 y — 不定积分问题 推广
已知含y 及其若干阶导数的方程, 求 y — 常微分方程问题
第一节 常微分方程的基本概念
引例 微分方程的概念 微分方程的解
一、引例
例 1 一 曲线 通过点 (1,2),且 在该曲线 上任 一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.