几何证明选讲高考试题(2013模拟)
2013高三数学总复习同步练习：12-1几何证明选讲
12-1几何证明选讲 基础巩固强化1.如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π [答案] B[解析] ∠A ＝∠BCD ＝30°，由BC sin A ＝2R ，得R ＝1，所以圆O 的面积为πR 2＝π.2．(文)如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BEEC ＝4，AE 交BD 于F ，BFFD等于( )A.45B.49C.59D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG GD ＝1:4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. [点评] 利用AD ∥BC 可证△BEF △DAF .⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥AD ⇒∠EAD ＝∠AEB ∠ADF ＝∠FBE ⇒△BFE △DFA ⇒BF FD ＝BE AD ＝BE BC ＝45. (理)如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，则BC 的长为( )A ．12cmB ．21cmC ．18cmD ．15cm [答案] B[解析] ∵四边形DEFG 是正方形，∴∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm ，又∵∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴∠C ＝∠BGD ，∴△BGD △FCE ，∴BD EF ＝GD EC ，即BD ＝EF ·GD EC ＝12cm ， ∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21cm.3．(文)如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD :BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562C.15D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.(理)如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE :S △DBA ＝1:5，则AE 的长为________．[答案] 4cm[解析] ∵∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，∴△ABE △DBA ，∴S △ABE S △DBA ＝AB 2 DB 2.∵S △ABE :S △DBA ＝1:5，∴AB 2:DB 2＝1:5，∴AB :DB ＝1: 5.设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ， ∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45， S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，∴12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm. 4．(文)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.(理)已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．5．(2012·合肥二检)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( )A.55B.255C.355D.32[答案] C [解析]延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝355. 6．(文)(2012·佛山质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则PA ＝________.[答案] 4 2[解析] 由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ，∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵PA 2＝PC ·PB ＝32，∴PA ＝4 2.(理)(2012·天津十二校联考)如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝( ) A ．4 B.52 C ．3 D.12[答案] B[解析] 解法1：根据题意可得BC 2＝CD 2＋BD 2＝22＋42＝20，即BC ＝2 5.由射影定理得BC 2＝AB ·BD ，即20＝4AB ，解得AB ＝5，所以AC ＝52－20＝5，设EA ＝x ，EC ＝y ，根据切割线定理可得x 2＝y (y ＋25)，即x 2＝y 2＋25y ，在Rt △ACE 中，x 2＝y 2＋(5)2，故25y ＝5，解得y ＝52，故x 2＝54＋5＝254x ＝52，即EA ＝52. 解法2：连AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，CD ＝2，BD ＝4，∴AD ＝CD 2BD＝1，又EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝90°， ∴△EAB△CDB ，∴EA CD ＝AB BD ，∴AE ＝AB ·CD BD ＝52.7．(文)(2012·合肥二检)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，线段DE 的长为355，则⊙O 的半径为________．[答案] 2[解析] 延长BO 交⊙O 于点F ，设⊙O 的半径为r ，则AD ＝r 2＋(r 2)2＝52r ，又BD ＝12，DF ＝2r －12r ＝32r ，由圆的相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DF ，即5r 2×355＝12r ×32r ，解得r ＝2.(理)(2011·深圳调研)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.[答案]377[解析] ∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2， ∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE ·PD ＝PB ·PC ， ∴PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377.8．(文)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴PA ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.(理)(2012·湖南理，11)如右图，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．[答案] 6[解析]设圆半径为r，由切割线定理：P A·PB＝(3－r)·(3＋r)，即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝ 6.9.(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC ＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.[答案] 2[解析]连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10．(2012·哈三中模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，过⊙O 上一点H 作⊙O 的切线，BC 与这条线切线平行，AC 、AB 的延长线交这条切线于点E 、F ，连接AH 、CH.(1)求证：AH 平分∠EAF ；(2)若CH ＝4，∠CAB ＝60°，求圆弧BHC ︵的长．[解析] (1)证明：连接OH ，则OH ⊥EF .∵EF ∥BC ，∴OH ⊥BC ，∴H 为弧BC 的中点，∴∠EAH ＝∠F AH ，∴AH 平分∠EAF .(2)连接CO 、BO ，∵∠CAB ＝60°，∴∠COB ＝120°，∴∠COH ＝60°，∴△COH 为等边三角形，∴CO ＝CH ＝4，又∵∠BOC ＝120°，∴BHC ︵的长为8π3. 能力拓展提升11.(文)(2012·湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB 、AD的中点，则EF ＝__________.[答案] a 2[解析] 连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a 2. (理)如图所示，已知圆O 直径为6，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，且BC ＝2，过点B 的圆O 的切线交AC 延长线于点D ，则DA＝________.[答案] 3[解析]∵AB为直径，∴∠ACB为直角，∵BC＝2，AB＝6，∴AC＝2，∵DB与⊙O相切，∴∠DBA为直角，由射影定理BC2＝AC·CD，∴CD＝1，∴AD＝3.12．(文)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED ＝4.则AB的长为________．[答案]2 3[解析]∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∠C＝∠D，∴∠ABC ＝∠D，又∠BAE＝∠DAB，∴△ABE△ADB，∴AB2＝AE·AD，∴AB＝2 3.(理)已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝______，AD ＝________.[答案] 52，5 [解析] ∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AC ，又BC ⊥AC ，∴△ADO △ACB ，∴OD BC ＝AO AB∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53R ＝10，∴R ＝154， AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5. 13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．[答案] 2[解析] 解法1：∵CD ⊥OD ，∴OC 2＝OD 2＋CD 2，当OD 最小时，CD 最大，而OE 最小(E 为AB 的中点)，∴CD max ＝EB ＝2.解法2：由题意知，CD 2＝AD ·DB ≤(AD ＋DB 2)2＝AB 24＝4.(当且仅当AD ＝DB 时取等号)．∴CD max ＝2.(理)(2012·广州测试)如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则AD BD的值为________．[答案] 2[解析] 连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理得，∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB △CAD .所以AD BD ＝AC CD ＝4r 22r＝ 2. 14．(文)(2012·天津，13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．[答案] 43[解析] 如图，由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FB EF＝2， ∵FC ∥BD ，∴FC BD ＝AF AB ，BD ＝FC ·AB AF ＝83. 又由切割线定理知BD 2＝DC ·DA ，又由DA ＝4CD 知4DC 2＝BD 2＝649，∴DC ＝43. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键．(理)(2012·深圳调研)如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.[答案] 355[解析] 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 15．(文)(2012·银川一中二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是AC ︵的中点，BD 交AC 于E .(1)求证：DC 2＝DE ·DB ； (2)若CD ＝23，O 到AC 的距离为1，求⊙O 的半径r .[解析] (1)证明：由D 为AC →中点知，∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ABD ＝∠ECD ，∴∠CBD ＝∠ECD ，又∠CDB ＝∠EDC ，∴△BCD ～△CED ，∴DE DC ＝DC DB ，∴DC 2＝DE ·DB ；(2)∵D 是AC ︵的中点，∴OD ⊥AC ，设OD 与AC 交于点F ，则OF ＝1，在Rt △COF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，即CF 2＝r 2－1，在Rt △CFD 中，DC 2＝CF 2＋DF 2，∴(23)2＝r 2－1＋(r －1)2，解得r ＝3.(理)(2012·昆明一中测试)如图，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，延长AD 和BC 相交于点E ，AB ＝AC .(1)证明：AB 2＝AD ·AE ；(2)若EG 平分∠AEB ，且与AB 、CD 分别相交于点G 、F ，证明：∠CFG ＝∠BGF .[证明] (1)如图，连接BD .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADB .又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△ABD △AEB ，所以AB AD ＝AE AB，即AB 2＝AD ·AE . (2)因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ABC ＝∠EDF . 又因为∠DEF ＝∠BEG ，所以∠DFE ＝∠BGF .又因为∠DFE ＝∠CFG ，所以∠CFG ＝∠BGF .16．(2012·河南商丘模拟)如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB的延长线交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．[解析](1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.∵∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB△EAC，∴BC AC ＝EC EA ＝22，∴AC ＝2BC . ∵AC 2＋BC 2＝AB 2＝36， ∴BC ＝2 3.1.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656 D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.2．(2011·广州市测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．[答案] 237[解析]如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. [点评]过D 作DH ∥AB 交EF 于G ，交BC 于H ，由平行截割定理知，DG GH ＝AE EB ＝34，∴DG DH ＝37，由GF ∥HC 可得，GF HC ＝DG DH ＝37， ∵GF ＝EF －2，HC ＝5－2＝3，∴EF ＝237. 3．(2011·南昌市模拟)函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是________．[答案] (0,1)[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (－2011,0)，B (2010,0)，与y 轴交于点C (0，－2010×2011)，设经过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，y 0)，易知原点O 在圆的内部，y 0>0，由相交弦定理知，|OA |·|OB |＝|OC |·|OD |，∴2011×2010＝2010×2011y 0，∴y 0＝1.4.(2011·广东汕头测试)如图，正△ABC 的边长为2，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P 、Q ，则线段PM ＝________.[答案]5－12[解析] 设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA 即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－12.5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .6．(2011·北京朝阳区统考)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，直线CD 交AB 于点E .若AB ＝3，ED ＝2，则CB 的长为________．[答案] 3[解析] 由切割线定理得，ED 2＝EA ·EB ， ∴4＝EA (EA ＋3)，∴EA ＝1，∵CB 是⊙O 的切线，∴EB ⊥CB ， ∴EB 2＋CB 2＝CE 2，又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ＝CB ， ∴42＋CB 2＝(CB ＋2)2，∴CB ＝3.7．(2011·天津文，13)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF :FB :BE ＝4:2:1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案] 72[解析]由题意：⎩⎨⎧AF ·FB ＝DF ·FC ＝2，AFFB ＝2.∴AF ＝2，FB ＝1，∴BE ＝12，AE ＝AF ＋BF ＋BE ＝72.由切割线定理得：CE 2＝BE ·AE ＝12×72＝74.∴CE ＝72.8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33.9．如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.10．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．[解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE ＝∠CAD又∵∠AEB 与∠ACB 为AB 所对的圆周角 ∴∠AEB ＝∠ACD ，∴△ABE △ADC . (2)由(1)可知△ABE △ADC ，故AB AE ＝ADAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE ① 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE∴12AB ·AC sin ∠BAC ＝12AD ·AE ② 由①②式得 sin ∠BAC ＝1∵∠BAC 为三角形内角，∴∠BAC ＝90°11．(2011·新课标全国文，22)如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD 、AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径． [解析](1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AEAB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C 、B 、D 、E 四点共圆。
2013届高三理科数学高考模拟考试2
2013届高三理科数学高考模拟考试2一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = （ ） A ．13i -+ B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=- （ ） A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称⒊采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 4．已知方程sin x k x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是：（ ）A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 5.下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0lg =x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则lg 0x ≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则:p x R ⌝∀∈，均有1sin ≤xD ．“2x >”是“211<x ”的充分不必要条件 6. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值 7.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）DA CBE8. 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+113y y x y x ，若20≤+≤by ax ，则12++a b 的取值范围为（ ）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ． 10.不等式|X-1|+|X-3|≤2X 的解集是 ．11. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC-的侧面积的最大值为 ． 13．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点， 1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：22ρ=和曲线2C ：cos()24πρθ+=，则1C 上到2C 的距离等于2的点的个数为 ． 15．（几何证明选讲）如图,AB 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和 E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点, 已知10,4==BE AC ,且AD BC =,则DE =___________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin 3cos c A a C =． （1）求角C 的大小；............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)DDAABBCCEEFFGG ∙∙（2）求3sin sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17.（本小题满分12分）某连锁超市有A 、B 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B 分店的统计结果如下表：销售量（单位：件）200 300 400 天 数10155（1）根据上面统计结果，求出B 分店销售量为200件、300件、400件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为1元，ξ表示超市A 、B 两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A 、B 两分店的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望.⒙（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E 。
高考数学专题几何证明选讲
编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。
选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：(2)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.答案：452.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°平行线分线段成比例定理的应用，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD ＝________.解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：2∶52.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6，∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. 答案：1 [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.相似三角形的判定及性质[典例] O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案]6[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：4 2射影定理的应用[典例] AD ⊥BC 于D∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC .[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x . Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC＝________.解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD ＝________.解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用． 3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013·荆州模拟)如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2013·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABBC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CFCA ，CF＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连接OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线P A 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ⊥P A ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.答案：55° [类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．圆内接四边形的性质及判定[典例]是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5. [类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD ，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ， 所以BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ， 所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得， BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，11 所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE.求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.。
2013届高三理科数学高考模拟考试4
2013届高三理科数学高考模拟考试4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）..35A i + .35B i - .35C i -+ .35D i --2. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）..A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）. .7A .9B .10C .15D4. 设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）.3.,62A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3.,12B ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ [].1,6C - 3.6,2D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5. 执行右面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）..2A .3B .4C .5D 6. 已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）..A 22182x y += .B 221126x y +=.C 221164x y += .D 221205x y += 7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）..232A .252B .472C .484D8. 设函数()()()21,,,0f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ）..A 当0a <时，12120,0x x y y +<+> .B 当0a <时，12120,0x x y y +>+< .C 当0a >时，12120,0x x y y +<+< .D 当0a >时，12120,0x x y y +>+>二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 为线段1AA ，1BC 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为___________.11. 设0a >，若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =___________.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则()()()()1232013f f f f ++++= ___________. 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正方向滚动.当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP的坐标为____________.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）1A 图 4已知两面线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩ 和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量()()sin ,1,cos ,cos 202A m x n x x A ⎫==>⎪⎭，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6. （1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17. （本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60,DAB FC ∠=⊥平面ABCD ，,AE BD CB CD CF ⊥==. （1）求证：BD ⊥平面AED ；（2）求二面角F BD C --的余弦值.18. （本小题满分13分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9m m内的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系,xOy F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 为抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.（3）若点M 直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,,A B l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22AB DE +的最小值.21. （本小题满分14分） 已知函数()ln xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()()()2g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+.。
2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学
2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，，则A．B．C．D．2．设Sn是公差为的无穷等差数列的前n项和，则“d < 0”是“数列有最大项”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．ΔABC中，，，若，则角C为A．B．C．D．4．已知，则展开式中的常数项为A．20 B．-20 C．-15 D．155．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A．B．C．D．8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若，，则抛物线的方程为A．B．C．D．9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为A．B．C．D．10．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为A．B．C．D．11．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2013届高三理科数学高考模拟考试1
2013届高三理科数学高考模拟考试1参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧=+其中1122211()()()nnii iii i nniii i xx y y x yn x yb xx xn x====---==--∑∑∑∑， 1212,nnx x x y y y x y nn++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y b x =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.计算：2(1)i i +=（ ）A ．2iB ．-2i C. 2 D. -2 2. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线4π-=x 对称 B. 此函数的最大值为1C. 此函数在区间(,)44ππ-上是增函数 D. 此函数的最小正周期为π3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ ） A ．5 B ．13 C ．5 D ．134.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x3 45 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.70.35y x =+，那么表中t 的值为( ) A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5 5.设)(x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当] 1 , 0 [∈x 时，22)(x x x f -=，则)(x f 在区间] 2013 , 0 [内零点的个数为（ ）A ．2013B ．2014C ．3020D ．3024 6.在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为（ ） A ．14B ．13C ．34D ．23图（2）y ≥x 2?任意输入y （0≤y ≤1）输出数对(x,y)是开始否结束任意输入x （0≤x ≤1）7．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．60种 8. 已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(2)f x f x -=+，且(1)2f =，则(2011)(2010)f f -= ．10. 已知双曲线221x ky -=的一个焦点是（50，），则其渐近线方程为 .11. 若(2x -1)xn的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .12.已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 .13．对a ，b ∈R ，记⎩⎨⎧<≥=b a b ba ab a ,,|,|max ，函数||2||,1||max )(-+=x x x f （x ∈R ）的最小值是 .(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标下，曲线，曲线22cos :()12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数，若曲线C 1、C 2有122:()x t a C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数公共点，则实数a 的取值范围为 ．15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,6,120AB BC C AB ==∠= ,则AOB ∠对应的劣弧长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知23cos 3cos sin )(2-+-=x x x x f ωωω的周期为2π（1）求()x f 的最大值以及取最大值时x 的集合 （2）已知()31=αf ，且α)2,0(π∈，求)265cos(απ+17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ， 90BAD AD C ∠=∠=︒，1,22A B A D C D a P D a ====.[来]（1）若M 为P A 中点，求证：AC ∥平面M D E ； （2）求平面P A D 与PBC 所成锐二面角的大小．19.（本小题满分14分）已知椭圆1C ：22221x y ab+= （0a b >>）的离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为26.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设O 为坐标原点，取2C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ，求该圆面积的最小值时点S 的坐标．20．（本小题满分14分） 已知函数21()ln (1)(0).2f x x ax a x a R a =-+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．等级 一等品 二等品 三等品 次品 利润6541-等级 一等品 二等品 三等品 次品 P0.6a0.1b如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()y F x =存在“中值相依切线”，试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由21.（本小题满分14分）已知函数321()223g x ax x x =+-，函数()f x 是函数()g x 的导函数.（1）若1a =，求()g x 的单调减区间；（2）若对任意1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，求实数a 的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意[,0]x M ∈时4f x ≤|()|恒成立，求M 的最小值及相应的a 值.。
2013年高考数学预测新课标数学考点预测(19)：几何证明选讲
K
OM .OP = OA ．
（Ⅱ）证明：因为 BK 是圆 O 的切线， BN ⊥ OK ． 同（Ⅰ） ，有
2
2
O
P
M
OB
= ON .OK ，又 OB = OA ，
，即
所以 OP.OM = ON .OK 又 ∠NOP = ∠MOK ，
ON OM ． = OP OK
所以 △ONP ∽△OMK ，故∠OKM = ∠OPN = 90� ． ） 5． （2008 江苏卷理 21 21） 如图， 设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E， ∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D． A 2 求证： = EB.EC ．
CB=2 2 ，求 EF 的长．
〖解析〗连 PB，BC 切⊙P 于点 B，PB⊥BC， CD=2，CB=2 2 ，由切割线定理得：CB2=CD·CE
B C D ． O A P
F
CE=4，DE=2，BP=1，又∵EF⊥CE EF CE 得： ，EF= 2 = PB CB
∴△CPB∽△CFE，
E
考点三：圆内接四边形的性质定理与判定定理 ) 3.(2008 年南师附中高考数学模拟试卷（最后一卷） 高考数学模拟试卷（最后一卷）) 如图，已知 AD 是ΔABC 的外角∠EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ΔABC 的外接圆于点 F，连结 FB、FC． （1）求证：FB=FC； （2）求证：FB2=FA·FD； （3）若 AB 是ΔABC 外接圆的直径，∠EAC=120°， BC=6cm，求 AD 的长． 〖解析〗（1）∵AD 平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC． ∵四边形 AFBC 内接于圆，∴∠DAC=∠FBC． ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC． （2）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC ，∠AFB=∠BFD，
启恩2013届高三文科数学模拟卷二
启恩2013届高三文科数学模拟试卷（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}{}29,14M x x N x x =>=-<<，则N M ⋂等于( ) A. {}31x x -<<- B.{}34x x << C. {}13x x -<< D. {}34x x -<< 2．函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f 是（ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为2π的奇函数C. 周期为π的偶函数D.非奇非偶函数3. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ ） A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-4. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为( ) A. 2B. 3C. 2或-3D. 2或35. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b, 则b = ( )A.6. 曲线3123y x =-在点（5(1,)3-处切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.34π D.56π7. 给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin A >( )A. 3B. 2C. 1D. 08. 若圆2266140x y x y +-++=关于直线:l 460ax y +-=对称，则直线的斜率是( )A ．6B ．23C ．23-D ．32-9. 如图,正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上 运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段1B C B ．线段1BCC ．1BB 中点与1CC 中点连成的线段D ．BC 中点与11B C 中点连成的线段A 110. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。
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图3
C
15.(2013湛江二模几何证明选讲选做题）
如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交A B 的延长线于点D ,若AB = 5，BC = 3，CD = 6，则线段A C 的长为_______
15．（2013佛山一模几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的
中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．
若3AD AE =，则:AF FC =．
15．（2013广州一模几何证明选讲选做题）
如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ， 若3BC =，16
5
AD =
，则AB 的长为． 15．（2013深圳一模几何证明选讲选做题）如图3，在⊙O 中，直径AB 与弦CD
垂直，垂足为E ，EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB=6，CF ·CB=5，则AE=。
15．（2010年广东省揭阳市高考一模试题）（几何证明选做题）如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为 切点，割线PEF 经过圆心O
，若12,43P F P D
==则EFD ∠的度数为．
15.（广东省佛山市）（几何证明选讲选做题）如图，是⊙的直径，是
延长线上的一点。
过作⊙的切线，切点为，
若，则⊙的直径______4_____.
14、（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）（几何证明选做题） 如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕 点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为．
15．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（几何证明选
AB O P
AB P O ,C PC =30
CAP ︒
∠=O AB =第15题图
F
A B
C
D E M l
讲选做题）
如图4，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC
的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ．若32=PA ，30APB ∠=︒，则AE =．
15．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)（几何证明选讲选
做题）如图，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则线段CD 的长为．
P
A B O
C D
E
∙
4
图
l
A
B C D
O。