高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 文(选修4-1)
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系列高考数学一轮复习讲义课件选修4-1几何证明共51张
∴BGGF＝GGHC，即 BG·GC＝GF·GH. 又 ∵DG2＝ BG·GC(射影定理 )， ∴ DG2＝ GF·GH.
变式迁移 2 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD ＝3，则 AC 的长为________．
答案
2 13 3
解析 如图所示，由射影定理得 CD2＝AD·BD，∵CD＝2，BD
AHA－HMH，
∴x4＝
3－ 23x 3
＝2－2 x，解得
x＝43.
题型二 射影定理
例 2.如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的 直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝∠BCF.
求证：GD2＝GF·GH.
证明 ∵CE⊥AB， ∴∠H＋∠HFE＝90°. 又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG， ∴∠BCF＋∠CFG＝90°. ∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.
(9)圆的切线 ①直线与圆的位置关系 当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交； 当直线与圆只有 1 个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点； 当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． ②切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切 线垂直的直线过圆心． (10)弦切角定理 ①弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等．
＝3，∴AD＝43，得 AB＝AD＋BD＝133.
又 AC2＝AD·AB＝43·133，
∴AC＝2
13 3.
题型三 相似三角形的判定定理的应用 例 3.如图所示，AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线，O 为 EF 的中点．
求证：
变式迁移 2 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD ＝3，则 AC 的长为________．
答案
2 13 3
解析 如图所示，由射影定理得 CD2＝AD·BD，∵CD＝2，BD
AHA－HMH，
∴x4＝
3－ 23x 3
＝2－2 x，解得
x＝43.
题型二 射影定理
例 2.如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的 直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝∠BCF.
求证：GD2＝GF·GH.
证明 ∵CE⊥AB， ∴∠H＋∠HFE＝90°. 又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG， ∴∠BCF＋∠CFG＝90°. ∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.
(9)圆的切线 ①直线与圆的位置关系 当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交； 当直线与圆只有 1 个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点； 当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． ②切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切 线垂直的直线过圆心． (10)弦切角定理 ①弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等．
＝3，∴AD＝43，得 AB＝AD＋BD＝133.
又 AC2＝AD·AB＝43·133，
∴AC＝2
13 3.
题型三 相似三角形的判定定理的应用 例 3.如图所示，AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线，O 为 EF 的中点．
求证：
2017年高考数学一轮复习课件：选修4-1 几何证明选讲1
第二页，编辑于星期六：二点 四十三分。
[小题热身]
1．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm， 则线段 BF 的长为__________。
解析：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DECF 是平行四边形。 ∴FC＝DE＝5 cm。∵DF∥AC，∴BFCF＝DBDA，即B5F＝84。 ∴BF＝10 cm。 答案：10 cm
第二十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
悟·技法 证明相似三角形的一般思路
(1)先找两对内角对应相等。 (2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比 例。 (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例。
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2．如图所示，已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上 的高，H 是 AD，BE 的交点，求证：
第十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2．三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应 成有比⑤_例_AA。_CB_如＝__图BD。DC，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，则
第十一页，编辑于星期六：二点 四十三分。
3．直角三角形的射影定理 (1)定理：直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射影与斜 边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项。 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，则 AC2＝⑥__A_D__·A__B___； BC2＝⑦___D_B_·_A_B___； CD2＝⑧__A_D__·D__B___。
4．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC ＝4，AD＝12，则 AE＝__________。
[小题热身]
1．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm， 则线段 BF 的长为__________。
解析：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DECF 是平行四边形。 ∴FC＝DE＝5 cm。∵DF∥AC，∴BFCF＝DBDA，即B5F＝84。 ∴BF＝10 cm。 答案：10 cm
第二十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
悟·技法 证明相似三角形的一般思路
(1)先找两对内角对应相等。 (2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比 例。 (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例。
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2．如图所示，已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上 的高，H 是 AD，BE 的交点，求证：
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2．三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应 成有比⑤_例_AA。_CB_如＝__图BD。DC，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，则
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3．直角三角形的射影定理 (1)定理：直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射影与斜 边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项。 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，则 AC2＝⑥__A_D__·A__B___； BC2＝⑦___D_B_·_A_B___； CD2＝⑧__A_D__·D__B___。
4．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC ＝4，AD＝12，则 AE＝__________。
人教版高中数学选修数学选修4-1第一讲ppt课件
M
？
B
？
E C
D
2、如图，已知□ABCD中，
AA1⊥l, BB1⊥l, CC1⊥l, DD1⊥l,
是否有A1B1=C1D1.
A
D
O
B B1 A1
C
O1
C1
D1
l
3、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， A 求证：EF=FC. 分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 B 相等的线段.
。
D ×F
E
。
AAS
B
Q
× C
3、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 A 构造全等形的证法. 例如： 证法7：
E
D
× F
AAS
B
×
×
C
S
3、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：本题还有多种 A 构造全等形的证法. T 例如：
l2 l3
推论1：
A B C l A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论1：
A B C l A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论1：
A B C l A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论1：
A B C l A1 B1 C1 l1
l2 l3
推论1：
A B C l A1 B1 C1 l1
l2 l3
性质:
判定：
两直线平行,同位角相等; 两直线平行,内错角相等; 两直线平行,同旁内角互补. 同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行.
高考数学一轮复习 相似三角形的判定及有关性质课件 新
(2)判定定理： 定理1：两角 对应相等 ，两三角形相似． 定理2：三边 对应成比例 ，两三角形相似． 定理3：两边 对应成比例 且 夹角相等 ，两三角形相似．
推论：如果一条直线与一个三角形的一条边平行，且与三角 形的另外两边相交，那么截得的三角形与原三角形 相似 ．
3．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的 比都等于 相似比 ；
【例2】 如右图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直 线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.
(1)求证：PACC＝BPDD； (2)若AC＝3，求AP·AD的值．
【思维启迪】
(1)利用△DPC∽△DBA可得
PC AB
＝
PD BD
，而AB
＝AC，结论易得；(2)根据题目条件得到△APC∽△ACD，然后
解析 如图所示，延长BA，CD交于点P，
∵AD∥BC，∴PPAB＝ABDC＝25，
∴APAB＝23.
又∵AEEB＝34，∴AAEB＝37.
∴APAE＝194，∴PPAE＝1243.
∵AD∥EF，∴AEDF ＝PPAE＝1243.
又AD＝2，∴EF＝273.
答案
23 7
题型二 相似三角形的判定和性质的应用
【答案】
4 3
【规律方法】 对于平行线分线段成比例定理，往往会以相 似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决 问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线 或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．
变式思考 1 (2014·广州测试)在梯形ABCD中，AD∥BC， AD＝2，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥AD，若AEEB＝ 34，则EF的长为__________．
高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 湘教版选修4-1
4.(2013· 西安模拟)如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点， AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是 .
【解析】∵M、N 分别是 AB、BC 中点，
1 故 MN= AC， 2
S MON MN 2 1 . ∴△MON∽△COA，∴ S MON AC 2 2
(3)相似三角形的性质 性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中 相似比 ； 线的比和对应角平分线的比都等于_______ 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于________ 相似比的平方 ； ③相似三角形面积的比等于_______________ ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长 比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 ． _______________
【解析】过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G. 因为点 D 为 BC 的中点，所以 EC=2DG. 因为 AE=2CE，所以 从而
【答案】1∶4
5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若 BC＝3，DE ＝2，DF ＝1，则 AB 的长为
【解析】 由 DE∥BC， EF∥CD， BC＝3，DE＝2. 又 DF＝1，故 AF＝2，∴AD＝3. 又 【答案】
9 2
AD 2 9 ，∴AB＝ . AB 3 2
AE AF DE AC AD BC
选修4-1 几何证明选讲
4-1.1 相似三角形的判定及 有关性质 4-1.2 直线与圆的位置关系
知识点
考纲下载
相似三角形
1．理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理． 2．会证明和应用直角三角形射影定理． 会证明和应用以下定理： 1．圆周角定理. 2．圆的切线的判定定理及性质定理. 3．相交弦定理. 4．圆内接四边形的性质定理与判定定理. 5．切割线定理.
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
添加标题
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添加标题
添加标题
确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套课件选修全等与相似
.
【加固训练】如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于D,BE是∠ABC
的平分线,交AD于F,求证:
DF＝AE . AF EC
【证明】由三角形的内角平分线定理得,
在△ABD中, DF＝BD .①
AF AB
在△ABC中, AE＝AB，②
EC BC
在Rt△ABC中,由射影定理知,AB2=BD·BC,
系列4部分 选修4-1 几何证明选讲 第一节 全等与相似
【知识梳理】 1.图形变化的不变性与平移、旋转、反射 (1)图形变化的不变性: ①图形在变化过程中,有些性质改变了,有些性质仍然保持_不__变__. ②常见的图形变化,如平移、_旋__转__、_轴__对__称__、相似(包括位似).
(2)平移、旋转、反射: ①平移变换:图形的_平__移__过程称为平移变换. ②旋转变换:图形的_旋__转__过程称为旋转变换. ③反射变换:一个图形F绕一条直线l翻转__1_8_0_°_得到另外一个图形 F′,则F与F′关于l_对__称__,这种图形的变化过程称为反射变换,直线 l称为反射轴.
4.直角三角形的射影定理 直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的_比__例__中__项__, 斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的_比__例__中__项__.
【小题快练】(本部分为教师用书独具)
1.(2015·天津模拟)如图所示,在平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,
若S△AEF=6cm2,则S△ADF为 (
【变式训练】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC边 上的一个动点(不与B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.
(1)求证: AF ＝CG .
高考数学一轮复习教学案：选修4-1几何证明选讲
2． 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的 ________成比例．
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 )所得的 ________成比例．
3． 相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定 定义 ______ 相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形对应边的
比值叫做相似比 (或相似系数 )． 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边
(或两边的延长线 )相交，所构成的三角
形与原三角形相似． 判定定理 1 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ______
对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理 2 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应
(1)B， C， D， E 四点共圆； (2)AB·AD＝ AC·AE.
一、平行线分线段成比例定理的应用
【例 1】 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 中点， E 在 CA 上且 AE ＝2CE， AD ， BE 相交
于点
F
，求
AF FD
，
BF FE.
方法提炼 1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定 理去证明． 2．作平行线的方法： (1) 利用中点作出中位线可得平行关系； (2)利用已知线段的比例关 系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功 倍的效果． 提醒： 对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升 3 二、射影定理的应用 【例 2】 如图，圆 O 的直径 AB＝ 10，弦 DE ⊥ AB，垂足为点 H ，且 AH＜ BH ，DH ＝ 4.
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10
4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比例中项 .
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11
问题探究2：射影定理的应用条件是什么？ 提示：必须在直角三角形内.
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12
5.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等 . 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角 所对的弦是 直径 .
答案：A
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21
2．如图所示，已知圆 O 的直径 AB＝ 6，C 为圆 O 上一点， 且 BC＝ 2，过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D，则 DA 等于( )
A．1 B．2 C. 6 D．3
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22
解析：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，又 AB＝ 6，BC＝ 2， 得 AC＝2.BD 是圆 O 的切线，则 AB⊥BD，由射影定理得 BC2＝ AC·CD.故 CD＝1，所以 AD＝2＋1＝3.故选 D.
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9
(2)相似三角形的性质 性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于 相似比 ； ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似 比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 .
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14
7.圆的切线的性质及判定定理
(1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 .
(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的 切线 .
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15
8.弦切角的性质 定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 .
答案：32
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25
考点
互动探究
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26
考点一 相似三角形的判定与性质
判定两个三角形相似的几种方法： (1)两角对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)相似三角形的定义．
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16
9.与圆有关的比例线段
(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的 积 相等.
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的17
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 .
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8
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边 和另一个三角形的两边对应 成比例 ，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似.简述为：两边对应 成比例 且夹角相等， 两三角形相似.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条 边和另一个三角形的三条边对应 成比例 ，那么这两个三角 形相似.简述为：三边对应 成比例 ，两三角形相似.
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19
1．如图，E 是▱ABCD 边 BC 上一点，EBCE＝4，AE 交 BD 于 F，FBDF等于( )
4
4
A.5
B.9
C.59
D.140
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20
解析：在 AD 上取点 G，使 AG∶GD＝1∶4，连接 CG 交 BD 于 H，则 CG∥AE，
∴FBHF＝CBEE＝4，DFHH＝DGGA＝4，∴FBDF＝45.
第
十
选讲部分
一
章
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1
选修 4－1
几何证明选讲
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2
高考导航
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3
基础
知识回顾
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4
1.平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ，
那么在其他直线上截得的线段也 相等 .
推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线
必 平分第三边
.
推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直
线 平分另一腰
.
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5
问题探究1：平行线分线段成比例定理推论的逆命题正确 吗？
提示：正确.如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条 边.该命题正确.
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6
2.平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的 对应线段 成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)所得的 对应线段 成比例.
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7
3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 定义： 对应角相等 ，对应边成比例的两个三角形叫做相 似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个 角与另一个三角形的 两个角 对应相等，那么这两个三角形 相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.
(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角
.
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18
问题探究3：直线与圆的位置关系中，有哪些常见添加辅助 线的方法？
提示：若证明直线与圆相切，则直线与连接圆的公共点和 圆心的直线垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角， 利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题.
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13
6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质 定理1：圆内接四边形的对角 互补 . 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的 对角 . (2)判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形 的四个顶点 共圆 . 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么 这个四边形的四个顶点 共圆 .
答案：D
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23
3．(2014·湖南卷)如下图，已知 AB，BC 是⊙O 的两条弦， AO⊥BC，AB＝ 3，BC＝2 2，则⊙O 的半径等于________．
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24
解析：如图，由已知 AO⊥BC，可得 E 是 BC 的中点，即 BE ＝ 2，故 AE＝ AB2－BE2＝1.在 Rt△BOE 中，OB2＝BE2＋OE2， 即 r2＝( 2)2＋(r－1)2，解得 r＝32.