高考数学试题汇编几何证明选讲

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高考数学总复习选做01 几何证明选讲试题(含解析)

专题1 几何证明选讲【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．∠=∠；求证：（1）PAC CAB（2）2=⋅．AC AP AB【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==21，再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证. 试题解析：证明：在ADB △和ABC △中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角，所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点，所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠.所以EDC ABD ∠=∠.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆A B CE DO（第21——A 题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】33【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=249AD x =-BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =222149x x=-，解得23x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与e O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .O DC B A【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ．试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点：三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O e 中»AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为»»AP BP=，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒，因此60PCD ∠=︒. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则AB AC= . 【答案】21 AP B C【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=，由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 9.【2015高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ）若AG 等于O e 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=．10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，GAEFON D B CMC D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O e 的直径．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDA ABE ∆∆∽．【解析】连结AC ．EA Q 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．AB AD =Q ，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．Q 圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠．∴CDA ABE ∆∆∽．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ．（I ）求AFD ∠的值；（11）若AB=AC ，求BCAC的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，DCB ACD ∠=∠,∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠，又∵BE 是O e 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，090BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ∆∽BCA ∆,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45° 【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.【答案】见解析【解析】解：连结，设圆的半径为，，则，. 在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.【答案】434. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=o ．求PCE ∠的大小．【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠==o o o…………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【解析】AE AC =Q ，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠，所以AE 平分DAF ∠.……………10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==o --------（3分）因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ，-----------------------（6分）又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ∆≅∆，从而AB CO =，即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =； (2)CA PECE PB=．【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥【答案】详见解析【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC .又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥．10．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析11．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠PAH ＝2∠CAH ＝60°，所以PA ＝23．由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2．13．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC 内接于O e ，BE 是O e 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．【答案】详见解析【解析】证明：连结AE ．∵BE 是O e 的直径，∴90BAE ∠=︒．∴BAE ADC ∠=∠．又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． ∴BE AC BA AD =，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． 14．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析【解析】试题分析：证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………………5分又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E .求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析16．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：DEA DFA ∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：连结AD ，Q AB 是圆O 的直径， 90ADB ∴∠=o ，90ADE ∴∠=o ,又EF FB ⊥Q ，90AFE ∴∠=o ，所以,,,A F E D 四点共圆，DEA DFA ∴∠=∠.A BO · FCDE 第21题（A ）图【一年原创真预测】1. 如图，AB 是O e 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O e 的割线，已知AB AC =.（Ⅰ）求证：AC FG //；(II)若1,4CG CD ==,求DE GF 的值.【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,PO 交圆O 与,B C 两点，15PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证AB PC AC PA ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值.。

高中数学几何证明选讲详解

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在中, 分别为上的点,且 , 的面积是 ,梯形的面积为 ,则的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得，算出，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为为的中点，由垂径定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，

2021年高考数学真题分类汇编 15 几何证明选讲文

2021年高考数学真题分类汇编 15 几何证明选讲文考点一相似三角形的判定与性质1.(xx天津,7,5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案 D2.(xx广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .答案 33.(xx陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .答案 3考点二直线与圆的位置关系4.(xx课标Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:∠D=∠E;(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.解析(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.5.(xx课标Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB2.解析(1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而=,因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.6.(xx辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA.所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠B AD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°,故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,于是ED为直径,由(1)得ED=AB.29260 724C 牌27559 6BA7 殧 20053 4E55 乕 27112 69E8 槨24880 6130 愰25688 6458 摘31662 7BAE 箮>29707 740B 琋[28814 708E 炎(。

高考数学二轮复习高考分类汇编几何证明选讲

高考数学二轮复习高考分类汇编几何证明选讲考点一相似三角形的判定与性质1.(2013广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=.答案2.(2013陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=.答案3.(2013辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连结AE,BE.证明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.证明(1)由直线CD与☉O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为☉O的直径,得AE⊥EB.从而∠EAB+∠EBF=;又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.(4分)(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.(10分)考点二直线与圆的位置关系4.(2013天津,13,5分)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.答案5.(2013课标全国Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.解析(1)连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)由(1)知∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.6.(2013课标全国Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.解析(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.。

全国各地高考数学三轮复习试题汇编专题8 选修系列第1讲几何证明选讲(B卷)理(含解析)

专题8 选修系列第1讲几何证明选讲(B 卷)1．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·15）（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，且AB=6，CD 是弦，BA 、CD 的延长线交于点P ，PA=4，PD=5，则∠COD= ．2．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·15）（几何选讲）如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝．3.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·22)（本小题满分10分）如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于C B ,两点，20=PA ，10=PB ，BAC ∠的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E . （1)求证：AC PA PC AB ⋅=⋅；（2）求AE AD ⋅的值.4.（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·21）如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．AB图15．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·22)（本小题满分10分）选修4---1 几何证明选讲如图，已知O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，P 是CD 延长线上一点，PE 切O 于点E ，连结BE 交CD 于F ．证明：（1）BFM PEF ∠=∠；（2）2PF PD PC =．6．(2015·乌鲁木齐第二次诊断性测验·22）（本小题满分10）如图AB 是半圆的直径，C 是圆上一点，CH AB ⊥于点H ，CD 是圆的切线，F 是AC 上一点，DF DC =,延长DF 交AB 于E ．（Ⅰ）求证：DE ∥CH ；（第21A 题图）（Ⅱ）求证：22AD DF AE AB -=7．(2015·河南郑州高三第二次模拟考试·22) (本小题满分10分)如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，BC AB =,AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ．（1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅；（2）若2=AF ,22=CF ,求AE 的长．8. （2015·重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试·14）如图，AB 与圆O 相切于点,A 又点D 在圆内，DB 与圆相交于点,C 若3,2,6,BC DC OD AB ====那么该圆的半径的长为．9．(2015·苏锡常镇四市高三教学情况调研·21)如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间），求证：∠CBE=∠BDE ．10.（2015.南京师大附中模拟·23）专题8 选修系列第1讲几何证明选讲(B 卷)参考答案与解析1.【答案】60°【命题立意】本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理．【解析】由割线定理得， PA ×PB=PC ×PD ， ∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD ，∴PD=8， ∴CD=8-5=3，∴△CDO 是等边三角形， ∴∠COD=60°．故答案为：60°2.【命题立意】本题旨在考查相交弦定理和三角形的相似．【解析】在Rt ABC ∆中，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD ＝2BD 2＝2，∴DB ＝AE ＝ED ＝1∴CE BC ===ACE ∽△FBE ，AE CE EF BE ∴=，故3AE BE EF CE ⨯==．故答案为：33.【答案】（1）详见解析；（2）360.【命题立意】考查三角形相似，切割线定力理，考查转化能力，中等题. 【解析】（1）∵ PA 为圆O 的切线， ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角，（2）∵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2,PA PB PC ∴=⋅40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1连接EC ，则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则4．【答案】略。

高考数学考点44 几何证明选讲

温馨提示：考点44 几何证明选讲一、填空题1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE 的长为 .【解题指南】设圆心为O,连接OD,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解.【解析】设圆心为O,连接OD,AC,可得△BOD ∽△BDE,所以BD 2=BO ·BE=3,所以.因为△AEC ∽△DEB,AE CEDE BE = ,即1EC2=,所以EC=.答案:二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (1)证明:直线AB 与☉O 相切.(2)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD. 【解析】(1)设圆的半径为r,作OK ⊥AB 于K, 因为OA=OB,∠AOB=120°,=r,所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin 30°=OA2所以AB与☉O相切.(2)方法一:假设CD与AB不平行,CD与AB交于F,FK2=FC·FD. ①因为A,B,C,D四点共圆,所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK).因为AK=BK,所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2. ②由①②可知矛盾,所以AB∥CD.方法二:因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T,因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线,又OC=OD,TC=TD,所以OT为CD的中垂线,所以AB∥CD.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(1)证明:B,C,G,F四点共圆.(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.【解题指南】(1)要证明四点共圆,需要证明四边形对角互补,显然∠DCB=90°,只需证明∠GFB=90°.(2)把四边形BCGF分成两个直角三角形△BCG和△BFG,求这两个直角三角形的面积的和.【解析】(1)因为DF⊥CE,所以Rt△DEF∽Rt△CDF,所以∠GDF=∠DEF=∠BCF,DF CF.=DE CD因为DE=DG,CD=BC,,所以DF CF=DG BC所以△GDF∽△BCF,所以∠CFB=∠DFG,所以∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,所以∠GFB+∠GCB=180°.所以B,C,G,F四点共圆.(2)因为E为AD中点,AB=1,所以DG=CG=DE=12,所以在Rt△GFC中,GF=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,所以S四边形BCGF=2S△BCG=2×12×1×12=12.4.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.因为∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP BP,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在EC的垂直平分线上,又在FD的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.6.(2016·江苏高考T21)A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.【解题指南】根据直角三角形的性质证明∠EDC与∠ABD都等于∠C.【证明】由BD⊥AC可得∠BDC=90°,由E是BC中点可得DE=CE=错误！未找到引用源。

高考数学题分类汇编选修几何证明选讲

高考数学题分类汇编选修几何证明选讲2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第20部分:选修系列---（选修4-1：几何证明选讲）一、填空题：1．（2010年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。

若PB=1，PD=3，则BCAD的值为。

【答案】13【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以PBC∆∽PAB∆，所以PB PD =PCPA=BCAD，所以BCAD=PBPD=13。

【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。

2．（2010年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB AB⊥,AB=AD=a,CD=2a, 点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= 。

a【答案】2解：连结DE，可知AED∆为直角三角形。

则EF是DEARt∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a. 3．（2010年高考陕西卷文科15）（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【答案】16cm5二、解答题：1．（2010年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC∆的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE∆∽△ADC;（Ⅱ）若ABC∠的大小.∆的面积12=⋅，求BACS AD AE证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以AB ADAE AC=，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·AC sin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·AC sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2(2010年高考宁夏卷文科22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD=，过C点的圆E点，证明：（Ⅰ）ACE∠。

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