与导数有关的应用题
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
求导数的实际应用题
求导数的实际应用题导数作为微积分的重要概念，具有广泛的实际应用价值。
在物理学、经济学、生物学等领域中，求导数可以帮助我们解决一系列实际问题。
本文将以几个实际应用题为例，阐述导数的应用。
1. 速度和加速度假设有一个小车在直线道路上行驶。
我们知道，速度可以看作是位移对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt，其中v(t)表示时刻t的速度，s(t)表示距离。
如果我们已知小车的位移函数s(t)，则可以通过求导数的方法得到其速度函数v(t)。
同样地，加速度可以看作速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
如果我们已知小车的速度函数v(t)，可以通过求导数得到其加速度函数a(t)。
这些速度和加速度的函数关系可以帮助我们对行驶中的小车进行分析，如判断是否超速或者行驶过程中是否需要采取制动等措施。
2. 弹簧振动在物理学中，弹簧振动是一个常见的问题。
假设一个弹簧的位置可以用函数x(t)表示，其中x(t)表示时刻t的位置。
根据胡克定律，弹簧受力与其伸长程度成正比。
设弹簧的劲度系数为k，则弹簧的受力可以表示为F = -kx(t)。
根据牛顿第二定律，物体受力与加速度成正比。
设物体的质量为m，则物体的加速度可以表示为a = F/m = -kx(t)/m。
我们可以通过求导数的方法，得到物体的速度v(t) = dx(t)/dt，并进一步求得物体的加速度。
通过对弹簧振动过程的分析，可以了解弹簧在不同时刻的位置、速度以及加速度，从而揭示了弹簧振动的规律。
3. 生物学中的增长问题在生物学中，许多生物群体的增长问题都可以通过求导数来解决。
以细菌繁殖为例，假设初始时刻有N个细菌，细菌的繁殖速率与其当前数量成正比。
设细菌繁殖速率为r，则细菌的繁殖速度可以表示为dN/dt = rN。
将微分方程化简后可得到N(t) = N0 * e^(rt)，其中N(t)表示时刻t的细菌数量，N0表示初始时刻的细菌数量。
通过求导数，我们可以得到细菌数量随时间变化的规律，以及在不同时刻细菌数量的增长速度。
高三数学导数的实际应用试题
高三数学导数的实际应用试题1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）极大值是e－1,极小值（2）①－1－e－1②(－1,＋∞)【解析】（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表x(－∞,－1)－1(－1,0)(0, )(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立．记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. ②因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．因为a＞0,所以＝.设u(x)＝ (x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞)2.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．（1）试将表示为的函数；（2）若，且时，取得最小值，试求的值．【答案】(1) ， (2) 8．【解析】(1)解实际问题应用题，关键要正确理解题意，正确列出等量关系，注意考虑函数定义域.设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．从而点C处受污染程度．定义域为 (2) 因为，所以，，求复杂分式函数最值，通常考虑利用导数求解. ,令，得，因此函数在单调减，在单调增，即在时函数取极小值，也是最小值. 又此时，解得，经验证符合题意．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． 4分从而点C处受污染程度． 6分（2）因为，所以，， 8分，令，得， 12分又此时，解得，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度的值为8． 14分【考点】利用导数求函数值域3.已知函数(1)若函数的图象切x轴于点(2，0)，求a、b的值；(2)设函数的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；(3)若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于l，求证．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由函数的图象切x轴于点(2，0)，得且，解方程组可得的值．（2）由于，根据导数的几何意义，任意不同的两点的连线的斜率小于l，对任意的恒成立，利用分离变量法，转化为对任意的恒成立，进一步转化为函数的最值问题；（3）设，则对恒成立将上不等式看成是关于的一元二次不等式即可．解：（1）由，得，又，得（2）对任意的，即对任意的恒成立等价于对任意的恒成立令则，当且仅当时“=”成立，在上为增函数，（3）设，则即，对恒成立，对恒成立即，对恒成立解得【考点】1、导数的几何意义；2、等价转化的思想；3、二次函数与一元二次一不等式问题．4.若实数a，b，c，d满足︱b+a2-3l n a︱+（c-d+2）2=0,则（a-c）2+（b-d）2的最小值为 .【答案】8【解析】∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3l n a）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y，a=x，则y=3l n x-x2，设c=x，d=y，则y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3l n x-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x2求导：y'（x）=，与y=x+2平行的切线斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．5.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.6.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是_______m/s.【答案】5【解析】s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.7.已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋ln x，m≥1.(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析 (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点【解析】(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：＋0－所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．因为m≥1，所以，所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．8.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.∴f(x)的零点x∈(2,3)．取x1＝，∵f＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f·f(3)<0，∴x∈.取x2＝，∵f＝ln －＝ln －ln e >0，∴f·f<0.∴x∈且＝≤，∴即为符合条件的区间．9.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）【答案】（1）；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.【解析】本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，；第二问，先列出总利润的表达式，构造函数，利用导数判断单调区间求函数最值.试题解析：（1），, .（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为，种植学校观赏植物成本为，，,.设.上为减函数；上为增函数.当时，取到最小值,此时总利润最大：.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值。
偏导数的部分应用题
题目部分，(卷面共有62题,211.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (18小题,共62.0分) (3分)[1](3分)[2]函数f x y x y x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,)=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪224400000在点(0,0)处：(A)连续但不可微； (B)可微；(C)可导但不可微； (D)既不连续又不可导。
答：( ) (4分)[3]设u x x y y =+<arcsin()220则∂∂u y= (A)x x y 22+ (B) -+xx y22(C)x x y22+ (D)-+x x y22答( ) (4分)[4]设u x x y =+arcsin22则∂∂ux= (A)x x y22+ (B)-+yx y 22(C) y x y 22+ (D) -+x x y 22答( )(4分)[5]设z x y xy=+-()arcsin2，那么∂∂z y (!,)2=(A)0 (B)1 (C)π2 (D) π4答( ) (4分)[6]设z x y x=则∂∂zx=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ (A)y x x yx -1(B)y x y x xln ln +⎡⎣⎢⎤⎦⎥1(C) y x x y x x y xln ln +⎡⎣⎢⎤⎦⎥1 (D) y x x x x y xln +⎡⎣⎢⎤⎦⎥1答 ( ) (4分)[7]设z yy x=，则∂∂zy= (A)y yxy x -1(B)y yy y xy x12+⎡⎣⎢⎤⎦⎥(ln ) (C) y y y x 12+⎡⎣⎢⎤⎦⎥(ln ) (D) y y y xy y x y x 1+⎡⎣⎢⎤⎦⎥ln答 ( ) (3分)[8]设z x x y =++()1，则∂∂zx(.)11=(A) 1+ln2 (B) 4(1+ln2) (C) 4 (D)答：( )(3分)[9]设z xye xy =-，则z x x x '(,)-=(A) -+2122x x e x () (B) 2122x x e x ()- (C) --x x e x ()122(D) -+x x e x ()122答：( )(4分)[10]设f x y x e yx(,)=，则f x x '(,)1= (A) 0 (B) e (C) e x ()+1 (D) 1+ex答：( ) (3分)[11]设u xyy x =>>arccos(),0，则∂∂u y = (A)y x y x2-; (B)xy y x2-;(C) --xy y x 2; (D) --y x y x2答：( )(3分)[12]设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= (A)-14； (B)14； (C)-12； (D)12。
导数在求值(极值、最值)中的应用
补充习题1.1.11、判定下列函数奇偶性？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x f C ．xe x xf x-=)( D ．xxx x f sin 1)(2⋅-=2、判断下列说法是否正确(1)复合函数y=f[g(x)]的定义域即为u= g(x) 的定义域.(2)若y=y(u)为偶函数，u=u(x)为奇函数，则y=y[u(x)] 为偶函数. (3) 设⎩⎨⎧<+≥=010)(x x x xx f ，由于y=x 和y=x+1都是初等函数，所以f(x) 是初等函数.(4)设y=arcsinu,u=2x +2,这两个函数可以复合成一个函数y=arcsin(2x +2). 3、下列函数的定义域：(1)211xx y --=； (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin x x xy 4、设)(x f y =的定义域为[]2,1,求)ln 1(x f -的定义域.5、指出下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成？(1)xey 12sin=; (2)))1ln(arccos(2-=x y . (3)y=)35(si n 2+x6、将下列函数复合成一个函数(1)y=sinu,u=v ,v=2x-1 (2)y=lgu,u=1+v,v=2x补充习题1.1.21、.用铁皮做一个容积为的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.2、某厂生产产品1000吨，定价为130元/吨.当售出量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售.试将销售收入表示成销售量的函数.3、某手表厂生产一只手表的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元。
如果每只手表的出厂价为20元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？补充习题1.2.11、下列函数f(x)在x 的何种趋势时是无穷小量？在x 的何种趋势时f(x)是无穷大量？ （1）f(x)=12-+x x ; (2) f(x)=lgx (3) f(x)=222xx +2、利用无穷小量的性质，求下列函数的极限 （1）xx x 1sinlim 2→ （2）x xx arctan 1lim∞→（3）11lim1-+→x x x （4）xx x x 1cos)2(lim 2+→补充习题 1.2.2.1求下列函数的极限1．)1311(lim 31xxx ---→ 2. 1392lim323++-∞→x x x x3. 231lim 221+--→x x x x 4. )1(lim 22+-+∞→x x x x5 xxx 3s i n lim 2x +→ 6. xx x 3sin )21ln(lim+→7 . xe xx 3tan 1lim-→ 8. xx arcsin 13-1limx -→补充习题 1.2.2.2求下列函数的极限1.xx x x sin 2cos 1lim-→ 2. xx x 1tanlim ∞→3. 3sinlim22xx x → 4 xx xx )3lim +∞→（5. xx x x )11lim +-∞→（6. ]ln )2[ln(lim n n n n -+∞→补充习题 1.2.2.31、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →及)(lim 3x f x -→。
高等数学-高等数学题库(导数的应用)4份带答案-064
高等数学—导数的应用习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 .2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ .3.=+→xx x 6)13ln(lim0 .4.=+∞→a x xxln lim .()0>a 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立.6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ=7.极限=>>-→)0,0lim0b a xb a xx x （ . 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 2.39lim22--→x x x3.xx x x +-+→220121lim 4.435lim222--+→x x x 5.11lim 1--→n m x x x 6.203cos 1limx xx -→7.30sin lim xx x x -→ 8.x x x x x --→tan sin lim 0 9.xx x x x 20sin tan lim -→ 10.1ln lim 1-→x xx习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( ) A.2,1==b a B. 1,2==b a C. 1,2-=-=b a D. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 .3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 7.极限=-→xx xx x sin tan lim20 .三．求下列极限1. x xe x x 220sin 21lim --→ 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 3. 11lim 951--→x x x4. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 5. 20cos ln lim xxx → 6. xx x 8sin 12tan lim8-→π7. xxx x 30sin arcsin lim-→8. ()xx x x ln 1cos lim 221--→9. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→11. xxx e x xe 22lim ++∞→习题三一、选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f,则有结论( )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,()A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 .2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 .3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 .4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 .5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 .6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 .8.曲线221xx y +=的拐点是 . 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 3.）（xx x x ln 11lim 1--→ 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x2. ）（241cos1lim x x x -∞→ 3. ）（211ln lim xe x x ++∞→ 4. 2tan 1lim 1xx x π）（-→5. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 2．24x x x y -= 3.()()311+-=x x y习题四一、选择题 1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续 二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 .2.函数7323+-=x x y 的极小值是 .3.函数1--=x e y x 的极值 .4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2.5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 .6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 .7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 8.函数x x y 2=的极小值点是 . 三. 求下列函数的极值 1.7186223+--=x x x y2.()x x y +-=1ln3.x x e e y -+=2 四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.答案 习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ A ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( C )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( C )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( C ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ A ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( A ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( C )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 . ），在（11)1(--f 内处处可导2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ . 34153.=+→x x x 6)13ln(lim0 . 214.=+∞→a x xxln lim .()0>a 0 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立. 2π6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ= 2π7.极限=>>-→)0,0lim0b a x b a x x x （ . baln 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 123 2.39lim22--→x x x 3123.xx x x +-+→220121lim 0 4.435lim222--+→x x x 615.11lim 1--→n m x x x nm6.203cos 1limx x x -→ 297.30sin lim xx x x -→ 61 8.x x x x x --→tan sin lim 0 21 9.x x x x x 20sin tan lim -→ 31 10.1ln lim 1-→x xx 1习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( B )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( C )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( A )A.2,1==b aB. 1,2==b aC. 1,2-=-=b aD. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( A )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( A )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( C )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( C ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( D ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . ()()+∞∞-,00, 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 . 3 3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 0 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 1 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 3 7.极限=-→x x x x x sin tan lim20 . 31三．求下列极限1. x x e x x 220sin 21lim --→x xe x x 220sin 21lim --→ 2 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 1 3. 11lim 951--→x x x 954. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 45-5. 20cos ln lim xx x → 21- 6. x x x 8sin 12tan lim8-→π21-7. xx x x 30sin arcsin lim-→ 618. ()xx x x ln 1cos lim 221--→ 29. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 41 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→ 111. xxx e x xe 22lim ++∞→ ∞习题三一．选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f ,则有结论( C )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( C )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( C )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( C )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,( C )A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( A )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( B ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 . ()1,-∞-2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 . (1,0)3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 . ()()1,01,-∞-4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 . ()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,032,5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 . (0,0)6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 0,0==y x 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 . (0,2)8.曲线221x x y +=的拐点是 . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±41,33 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 21- 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 31- 3.）（x x x x ln 11lim 1--→ 214.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 21 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x 12. ）（241cos1lim x x x -∞→ 213. ）（211ln lim xe x x ++∞→ ∞+ 4. 2tan 1lim 1x x x π）（-→ π25. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 21 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 单调减区间⎪⎭⎫⎝⎛210， 单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 2．24x x x y -= 单调减区间()43，单调增区间 ()30， 3.()()311+-=x x y 单调减区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21， 单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 习题四一．选择题1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( D ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( C )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( A ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( C )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( A ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( C ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( A ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续 二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 . ()∞+，0 2.函数7323+-=x x y 的极小值是 . 3 3.函数1--=x e y x 的极值 . 0 4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2. >5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-212021， 6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 . 1=y7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 2,25,348.函数x x y 2=的极小值点是 . 2ln 1-三. 求下列函数的极值1.7186223+--=x x x y 极大值()171=-y 极小值()473-=y2.()x x y +-=1ln 极小值()00=y3.x x e e y -+=2 极小值2222ln =⎪⎭⎫⎝⎛-y四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln 2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 长10米 宽15米2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？ 长18米 宽12米3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.4+==πlh r。
数学3 考研经济应用题(导数和微分在经济学中的简单运用)
导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
导数考试题型及答案详解
导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。
答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。
答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
2. 已知函数y = ln(x)，求y'。
解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。
四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。
五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。
解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。
然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。
因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。
六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。
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与导数有关的应用题
1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售
价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3
a y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。
设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=10,31000108100,3018.10)(22x x x
x x x R （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）
3.某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，
运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个
半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道
外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为
150元，草皮每平方米造价为30元
(1)设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )
(2)由于条件限制[30,40]r ,问当r 取何值时,运动场造价最低?
4一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.
(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为21,y y 且翻转前后的比例系数相同都为k ）
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度
为10，问截取枕木的厚度为d 多少时，可使安全负荷y 最大？
O A B
C
θ 5.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上设计的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．
边缘种植绿化带；从点C 到点B 的为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．
边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带宽度忽略不计）
（1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ；
（2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．
6.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80
3
立方米，且2
l r
≥.假设该容器的
建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)
c c＞.设该容器的建造费用为y千元.
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.。