世界上精度最高的椭圆周长初等公式
椭圆周长
椭圆周长经典近似公式
以下是几个比较简单的近似公式：
公式一～五为一般精度，满足简单计算需要；
公式六为高精度，满足比较专业一些的计算需要。
这些公式均符合椭圆的基本规律,
当a＝b时，L＝2aπ，
M＝22/7π-1、N＝((a-b)/a)＾33.697 、)
这是根据椭圆标准公式提炼的，精度很高。
下面是椭圆周长参考对照值：
a---b-------椭圆值
100~000---400.00000000
100~001---400.10983297
100~010---406.39741801
100~025---84.42241100
100~075---552.58730400
100~090---597.31604325
100~099---625.18088479
100~100---628.31853070
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
这是根据椭圆a＝b时的特点推导的，精度一般。
L5＝√(4abπ＾2+15(a-b)＾2)(1+MN)
( M＝4/√15-1 、N＝((a-b)/a)＾9 )
椭圆形计算周长公式
椭圆形计算周长公式椭圆形是一种特殊的曲线，它外形像一个没有完全椭圆的圆，是球面的一种投影。
它具有椭圆形的长轴a和短轴b，而它的周长也就是椭圆形的周长。
椭圆形的计算周长公式能够帮助我们准确计算出这种椭圆形的周长。
计算椭圆形周长公式如下：L = * (a + b) * (1 + 3 * (a - b) / (10 * (a + b))) 其中，L为椭圆形的周长，a为椭圆形的长轴，b为椭圆形的短轴，π为常数3.14。
历史上，这个公式由德国数学家艾斯纳先生于1837年提出。
艾斯纳先生是19世纪欧洲数学界的著名人物，他的学术著作有《德国高等数学教程》，《积分学》，《几何学》等，他的研究方向主要是椭圆形，他在椭圆形的研究上也有着许多成就。
椭圆形的计算周长公式至今仍在使用，并被广泛应用到工程领域，比如机械设计，汽车行业，航天领域等。
椭圆形的周长是整个椭圆形的参数，正确计算椭圆形的周长对于精确设计椭圆形极为重要，计算椭圆形周长公式可以直接计算出椭圆形的周长，是设计师们比较常用的工具之一。
计算椭圆形周长公式可以满足各种椭圆形的周长计算需要，但是在计算过程当中存在一些困难。
椭圆形的长短轴是变量，我们不知道它们确切的值，所以我们只能给出近似的值，再通过计算得到准确的结果。
为了保证计算准确性，实际计算时，尽可能提供更多的数据，以及更加详细的精确位数，以便获得较准确的结果。
椭圆形的计算周长公式是一个抽象结构，它在计算数学上有着重要的意义。
椭圆形的计算周长公式可以处理多道题，不仅仅是椭圆形的周长计算，它还可以用来研究其他曲线的周长计算，比如抛物线，双曲线，螺线等。
它对于解决许多复杂的数学问题有着不可磨灭的贡献。
椭圆形的计算周长公式是古老的数学理论，经过几百年的发展，仍然是一个重要的数学工具。
它为我们准确计算出椭圆形的周长提供了有力的支持，得到了广泛的应用，也让我们受益匪浅。
椭圆周长公式
椭圆周长公式
多次见到讨论椭圆周长的帖子，现将公式抄录如下。
有时可以在图上量，有时算起来也很方便。
若是写程序则要用精确的公式：
按标准椭圆方程：长半轴a，短半轴b。
设λ=（a-b）/（a+b），
椭圆周长L：
L=π（a+b）（1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......）
简化：
L≈π[1.5（a+b）- sqrt(ab)]或
L≈π（a+b）（64 - 3λ^4)/（64 - 16λ^2)
说明：
λ^2表示λ的平方，类推。
取到级数的前两项足够了。
椭圆的面积
先对图3－7进行说明，O称为椭圆的中心，A，A′，B，B′称为“顶点”，AA′称为“长轴”，BB′称为“短轴”。
另外，将长的OA＝a称为“长半径”，将短的OB＝b称为“短半径”。
也有把椭圆叫“长圆”的。
当a＝b时，椭圆就是圆。
将椭圆的面积记为S时，可用S＝πab的公式求椭圆的面积。
a＝b时，当然S 就表示圆的面积了。
当长半径a＝3(厘米)，短半径b＝2(厘米)时，其面积S＝3×2×π＝6π(厘米2)。
在到目前为止的例子中，如圆周的长度、弧的长度、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积、椭圆的面积等，全都使用了圆周率。
这样，π就不仅是计算圆，也是计算椭圆形等所不可缺少的数。
高中数学椭圆的公式有哪些
高中数学椭圆的公式有哪些高中数学椭圆的公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。
高中数学常考知识及解题技巧1、函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围;11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题;13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义;18.平移与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
椭圆形计算周长公式
椭圆形计算周长公式
椭圆形是一种非常特殊的几何图形，它的形状类似于一个拉长的圆形。
在数学中，椭圆形是一个非常重要的图形，因为它在许多领域中都有广泛的应用，例如天文学、物理学、工程学等等。
在本文中，我们将讨论椭圆形的周长公式以及如何计算它。
让我们来看一下椭圆形的定义。
椭圆形是一个平面图形，它由两个焦点和所有到这两个焦点距离之和等于常数的点组成。
这个常数被称为椭圆形的长轴，而椭圆形的短轴则是垂直于长轴的线段的长度。
现在，让我们来看一下椭圆形的周长公式。
椭圆形的周长公式可以表示为：
C = 2π√((a^2+b^2)/2)
其中，a和b分别是椭圆形的长轴和短轴。
这个公式可以用来计算椭圆形的周长，也就是椭圆形周围的长度。
现在，让我们来看一下如何计算椭圆形的周长。
首先，我们需要确定椭圆形的长轴和短轴的长度。
这可以通过测量椭圆形的两个直径来完成。
一旦我们知道了长轴和短轴的长度，我们就可以使用上面的公式来计算椭圆形的周长了。
例如，假设我们有一个椭圆形，它的长轴长度为10厘米，短轴长
度为6厘米。
那么，我们可以使用上面的公式来计算它的周长：
C = 2π√((10^2+6^2)/2) ≈ 28.8厘米
因此，这个椭圆形的周长约为28.8厘米。
椭圆形是一个非常特殊的几何图形，它在许多领域中都有广泛的应用。
椭圆形的周长公式可以帮助我们计算椭圆形的周长，这对于许多工程和科学应用都非常重要。
如果你需要计算椭圆形的周长，那么上面的公式可以帮助你完成这个任务。
世界上精度最高的椭圆周长初等公式
世界上精度最高的椭圆周长初等公式成都七中高中远程教学 周钰承根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。
但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C （1）公式（2）中，ba b a +-=λ。
这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +⋅π，我们可以把（1）中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛=82624222!!8!!56423142121)(λλλλλf （2）通常，我们要计算椭圆周长，必须先给出一个精确度。
假如要求我们误差率低于d ，我们设需要计算到椭圆率多项式第n 项，不妨设2≥n ，则椭圆率多项式（2）中，第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：d n n n n n n n n n <⋯⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++622422222!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλ 因为（注意2≥n ）：22262242222262242222262242222212561256125612561!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλλλλλλλλλ-⋅=⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⋯⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 所以只须：d n <-⋅+22212561λλ d n )1(256222λλ-<+[]1ln 2)1(256ln 2-->λλd n （3）n 取满足不等式（4）的最小整数。
椭圆周长与椭球表面积的数值计算
椭圆周长与椭球表面积的数值计算
椭圆周长没有精确的初等公式，但有非初等的椭圆积分形式的表达及其级数展开式。
a为椭圆长半轴，e为椭圆的离心率
椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示，它是一个与离心率有关的无穷收敛级数，本公式已经把正圆周长纳入其中，在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆，也就是说正圆是长短轴相等的椭圆。
公式推导是要利用到曲线长度积分，同时关键的一步是，要把椭圆积分利用牛顿二项式定理展开为以sinθ为变量的级数再通过积分求解。
椭球表面积公式：S=4π(abc)^(2/3)。
还有一个或许误差更小：S=4π(ab+bc+ac)/3。
而椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆周长计算公式：L=T（r+R）。
T为椭圆系数，可以由r/R的值，然后查表找出系数T 值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
椭圆的周长计算
椭圆的周长计算
椭圆是一种非常特殊的几何图形，它的形状非常优美，而且在很多领域中都有着广泛的应用。
椭圆的周长是一个非常重要的参数，它可以帮助我们计算出椭圆的大小和形状，从而更好地理解和应用椭圆。
我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是一个平面上的几何图形，它由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆的周长是指沿着椭圆的边界走一圈所需要的长度。
椭圆的周长可以用以下公式来计算：
C = 2πa + 4(a - b)
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度，π是圆周率，C是椭圆的周长。
这个公式的推导比较复杂，我们可以简单地理解为，椭圆的周长由两部分组成：一部分是沿着长轴走一圈的长度，另一部分是沿着短轴走一圈的长度，再减去两个半径之差的长度。
椭圆的周长有很多重要的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要计算椭圆形的门窗和天窗的周长，以便确定所需的材料和成本。
在机械制造中，椭圆的周长也是一个重要的参数，它可以帮助我们计算出机械零件的尺寸和形状。
此外，在天文学和物理学中，椭圆的周长也有着广泛的应用，例如计算行星和卫星的轨道等。
椭圆的周长是一个非常重要的参数，它可以帮助我们计算出椭圆的
大小和形状，从而更好地理解和应用椭圆。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求选择合适的公式和方法来计算椭圆的周长，以便更好地应用椭圆的优美和神奇。
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是椭圆周长的一个上界公式。
是椭圆周长二级等比公式。
限于篇幅，此处不给出详细证明过程，只对证明思路作简要介绍。
证明思路：上界公式与下界公式的级数展开式与椭圆标准公式相比， 和它以前的所有系数完全相同，称第一部分。而从 到 的系数,称第二部分。以 的系数为首项,公比为(100:14４)的等比数列作为下界公式的第二部分,公比为(1０３：１4４)为等比数列作为上界公式的第二部分，可用完全归纳法证明:下界公式每项系数小于标准公式中 相同次数的系数（仅有一项例外,但可用前一项系数补足),上界公式每项系数大于标准公式中 相同次数的系数。从 项开始称为第三部分。上界公式与下界公式中的 项主要作用是保持与二级等比公式形式上的统一性,所以它们并不是最佳选配的系数和次数。可用数学归纳法证明上界公式和下界公式第三部分的正确性。
4.49073９５699
1
0．4０
4.６0261９２37１
4.6026225174
4.6０262252(舍)
4.602６225２０5
4.6026225１83
1
0.４5
4.7206８８0１43
4.7206８９2４3７
４.720６８9244舍
４.7２０６89２444
４.720６８９2439
1
0．5０
4.８4４２236７21
注意二级等比公式中，第二个分式的分母中为 ,不是40次方,而是4次方,它的出现是从 到 渐变过程中产生的。二级等比公式中系数和次数是最佳选配的，不可更易。
上界公式与下界公式均超过了目前所有的椭圆周长初等公式(包括中国椭圆周长公式)的精度;用上界公式与下界公式及两边夹定理，可以求出椭圆周长的精确值，这是上界公式与下界公式的主要优点,它能够让我们判断,我们用程序计算标准椭圆周长公式时，累加一百万项后精确度如何,特别是当 接近于1时。
４.２892１1（舍入）
4．289２110135
４．２８９21086０7
1
0．30
４.38５8８89139
4．38591０0446
4.3859100（不）
４.38５9１０0983
4．3８5910060１
1
0.35
4.４9073１132９
4．4907395６61
4.4９０７3９6（过)
４.49０７３95793
（1）
公式（２）中， 。
这个公式表明,椭圆周长的主要部分为 ,我们可以把(1)中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：
（2)
通常，我们要计算椭圆周长,必须先给出一个精确度。
假如要求我们误差率低于 ,我们设需要计算到椭圆率多项式第n项,不妨设 ,则椭圆率多项式(２)中，第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：
因为(注意 ）:
所以只须:
(3）
取满足不等式（4)的最小整数。为此，我们需要一个带有函数的学生计算器，根据精确度要求，首先计算出我们应该计算到第几项。计算所得的椭圆周长值在给定误差率 的情况下是精确的。注意:计算到椭圆率多项式 第n项,就是标准公式（2）括号中算到２n次方项；若n为负数或者小于2，就算到椭圆率多项式（3）第2项，即公式(2)中括号里的4次方项。例如:n＞-1.８６７4５．则标准公式(2)中，中括号里应该算到4次方项。因为误差公式证明中ｎ大于或等于２是前提条件。
需要知道的是,多数情况下求椭圆周长,只须计算到 前两三项，因而往往可以笔算。
但是,当 时,算得: ,即用到椭圆率多项式第58项即11６次方项，才能保证误差率小于万分之一。为此，我们可以构建一个新的函数模型,用以解决 很小即 很大时的计算问题。
我们把椭圆率多项式 中的系数简化得:
(4)
观察(5）,由于 ，所以 随着 增大而减小;各项系数逐渐变小,但与等比数列相比，“小得越来越慢”。根据（5）式的这些特点，我们构造一个多项式函数 ,使它与 前三项相同，同时为了方便运算，我们从第二项起各项系数为等比数列:
真值下界Ｗ1
两边夹得真值C
真值上界W2
二级等比C2
1
０.0０
3.99
3.99９７22３9５９
4.000（舍入值)
４.
.00002５8４２2
１
０.05
4．017
４．
．０194(不足值）
4．
.019421３666
1
0．10
4．06３151０073
４.
．０６４0(过剩值）
４.
.063974１６４7
1
0.15
(５)
变形为无穷等比数列求和(其系数从 项开始为等比数列）:
用 近似代替 ,代入标准公式(1）得:
从而得到一个椭圆周长的近似公式：
（6)
公式(6)中, 。这是我们在下一课时计算椭圆周长要用到的近似公式。为了突出这个公式,我们称(６)为椭圆周长一级等比公式。
近似公式如果没有误差估计是没有实际意义的。这个初等公式的精度如何呢？为此，我们介绍一下椭圆周长误差率定理:椭圆周长真值C满足下列不等式:
二级等比公式是比上界公式和下界公式精度还高得多的椭圆周长初等公式。笔者预言,这将是地球上精度最高的初等公式，永远不会再出现比这个公式更简洁、更美丽、更实用、精度更高的椭圆周长初等公式。我们可以怀疑用程序累加项名达公式五百万项的结果,但不可怀疑这个仅用学生计算器就可计算椭圆周长的二级等比公式。
一级等比C1
4.844224110２
４.8４４2241１０2舍
4．844２２411０3
４．84４2２41１０２
１
0.55
４．9726292543
4.9７262９4004
4.9７2６294004舍
4.９7２629400５
4．１25７79716２
４.１260９９１68８
4.12610(不足)
4.12６10272３5
４．１26100218５
1
０.20
4Hale Waihona Puke 20１88017424.２0２008５93１
4．20２009（舍入)
4.2020094578
4.202０088474
１
0．25
4.2８9１58６２39
４.289210７981
世界上精度最高的椭圆周长初等公式
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世界上精度最高的椭圆周长初等公式
成都七中高中远程教学周钰承
根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：