高中数学课题研究：椭圆的面积和周长

高中数学课题研究：椭圆的面积和周长成都七中高中远程教学 周钰承★ 目标：综合运用高中所学知识，计算椭圆面积和周长，以提高学生的学习兴趣和实际运用能力。

★ 重点：函数模型；无穷等比数列求和；极限与导数；几何概型。

★ 难点：用数学归纳法证明不等式；近似值与误差的笔算方法。

课题引入：宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，现实世界椭圆无处不在。

美丽的椭圆无时无刻出现在我们的视野，但无时无刻被我们所忽视或回避。

椭圆面积与周长的计算，可以在高中阶段进行学习吗？经过笔者探索发现，高中阶段不仅可以理解、计算椭圆面积与周长，而且在这个学习过程中，学生对函数建模、不等式证明、数列、指数运算等知识点都能起到复习与提高的作用。

本课题以计算椭圆面积和周长为契机，训练学生的数学思维能力和实际运用能力。

１．椭圆面积公式的推导如图１，用一个平面斜截一个圆柱，再补合成一个斜圆柱，则底面必是一个椭圆。

根据祖暅原理，斜圆柱的体积等于底面积乘高。

根据图中有关信息，让学生推导椭圆面积公式。

图１．椭圆面积的推导根据图示，我们推导得出椭圆面积公式：ab S ⋅=π椭圆 (1)例1．小明与小红做游戏，规定：小明在区间)2,0(内任写一个实数x ，小红在区间)1,0(内任写一个实数y 。

若满足不等式44122<+<yx ，则小明获胜，否则小红获胜。

谁获胜的概率更大？解：将不等式组44122<+<y x 变形为求15.01222>+yx与112222<+yx 的公共解集，因为)1,0(),2,0(∈∈y x ，所以公共部分是一个小椭圆外部与一个大椭圆内部在第一象限部分，如图2中阴影部分：()83211124141πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯=-=小椭圆大椭圆阴影S SS图2所以，小明获胜的概率是：()211631283>=⨯÷=ππ矩形阴影S S答：小明获胜概率大。

２．椭圆周长的精确计算根据微积分基本定理，可以写出椭圆周长的定积分公式。

但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。

但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C (2)公式（2）中，ba b a +-=λ。

这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +⋅π，我们可以把（2）式中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：⋯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n f 22624222!)!2(!)!32(...6423142121)(λλλλλ (3)一般情况下求椭圆周长，只须计算到)(λf 前两项就能达到较高的精确度，因而往往可以笔算。

但是，当λ很大时，比如95.0=λ时，得算到椭圆率多项式第五十多项才能保证误差率低于一万分之一。

为了减少计算项数，我们可以构建一个新的函数模型，用以解决λ很大时的计算问题。

我们把椭圆率多项式)(λf 中的系数简化得：⋯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++=nn n f 28764432!)!2(!)!32( (425)414141)(λλλλλλ (4)观察思考（4）式：由于1<+-=<ba b a λ，所以n 2λ随着正整数n 增大而减小；各项系数逐渐变小，但与等比数列相比，“小得越来越慢”；)(λf 的函数值主要决定于)(λf 前几项的和。

根据（4）式的这些特点，我们构造一个多项式函数)(λg ，使它与)(λf 前两项相同，且其各项系数为等比数列：⋯++++++=-nn g 212876543241 (41414)141)(λλλλλλ (5)变形：)414141411(41)(886644222⋯+++++=λλλλλλg])41()41()41()41(1[4186422⋯+++++=λλλλλ22)41(1141λλ-⋅=（中括号内等比数列求和并求极限） 22164λλ-=把22164)(λλλ-=g 替换椭圆周长标准公式（2）的)(λf 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=221641)(λλπb a C 从而得到一个椭圆周长的近似公式： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=2216316)(λλπb a C …………………………（6） 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+++=2222)()(16)(3)(16)(b a b a b a b a b a C π…………（7） 公式（6）和（7）是我们计算椭圆周长要用到的近似公式。

为了突出这个公式，我们称（6）或（7）为椭圆周长等比公式。

为了估计等比公式的误差，令)()()(λλλg f h -=，得：⋯+--+⋯+-+-=-nn n n h 2122877654}41]!)!2(!)!32({[)41425()4141()(λλλλ注意上式中n 不表示)(λh 的项数，只表示)()(λλg f 与的项数，因为)(λh 前两项被消去。

误差率与b a ,的取值大小无关，只与它们的比值有关，我们有下面的定理：等比公式误差率定理：设椭圆两半轴长分别是)0,0(,>>b a b a ，ba b a +-=λ，则椭圆周长等比公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=2216316)(λλπb a C 的值比椭圆真值小，其误差率：⋯+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋯+-+-=-n n n n h 212287765441!)!2(!)!32()41425()4141()(λλλλ 满足不等式：()()λδλλλλλλδ226.26156810243)(51210243=-<<-=h (8)证明：记)(λh 的系数分别为⋯⋯,,,,543n，H H H H ，12241!)!2(!)!32(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n nn n H 。

记以首项为10243，公比为21的数列为⋯⋯,,,,543n，AA A A ，3210243-⨯=n n A .则：()λδλλλλλλλλ126262105846351210243)211(10243=-=-=⋯+⋯+++nn A A A A记以首项为10243，公比为)1960(1024451ππ-⨯-=q 的数列为...,...,,,6543n B B B B B ，310243-∙=n n qB ， 因为：().........5542763.019601024451=⋅-⨯⋅-=ππq ，所以：()λδλλλλλλλλ226262221846356810243)1(10243.......=-<-=+++++--q B B B B mm m m（1） 要证明等比公式函数值比椭圆真值小，只须证明)3(0≥>n H n 恒成立。

用数学归纳法。

验证：01024310241256141)64231(523>=-=-⨯⨯⨯=H假设)3(0≥>k H k ，即041]!)!2(!)!32([122>---k k k则：=+1k H 212221224141)2212(]!)!2(!)!32([41]!)!22(!)!12([⨯-+-⨯-=-+--+k k k k k k k k212224141)232122(]!)!2(!)!32([⨯-+⨯-⨯⨯->-k k k（上式是因为3≥k ，且22)2231()2212(+-=+-k k k 为k 的增函数）16141161]!)!2(!)!32([122⨯-⨯->-k k k161}41]!)!2(!)!32({[122⨯--=-k k k161⨯=k H 01610=⨯>于是)3(0≥>n H n 恒成立，等比公式比周长真值小至此得证。

（2）令)3(≥=-n C H A n n n ，则： }41]!)!2(!)!32({[2102431223-----⨯=n n n n n C 2123]!)!2(!)!32([41210243n n n n --+⨯=--验证可得：01024410241102432561411024353=-+=-+=C .04254148342541210243777774=-+⨯=-+⨯=C 999989543444941464344941410243-=⨯-+⨯=-+⨯=C 下面用数学归纳法证明，当5≥n 时，恒有0<n C . 由验证知，05<C .假设当k n =时，0<k C 成立，.即：0]!)!2(!)!32([412102432123<--+⨯--k k k k 成立。

那么当1+=k n 时， 21221]!)!22(!)!12([41210243+--+⨯=+-+k k C k k k212)2212(]!)!2(!)!32([414121210243222123⨯⨯+-⨯--⨯+⨯⨯=--k k k k k k212)2212(]!)!2(!)!32([814121024322123⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯+-⨯--⨯+⨯=--k k k k k k 211]!)!2(!)!32([1412102432123⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯--⨯+⨯<--k k k k（上式是因为，当5≥n 时，12)1231(222312)2212(222>⨯-≥⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⨯+-k k k ） 21⨯=k C 0210=⨯<于是：)3(0≥<=-n C H A n n n 所以：())(51210243)(261λλλλλδh h --=-)()(2105846321058463⋯+⋯+++-⋯+⋯+++=nn nn H H H H A A A A λλλλλλλλ ...)()()()(21055844633+-⋯+-+-+-=n n n H A H A H A H A λλλλ ⋯+⋯+++=nn C C C C 21058463λλλλ0<所以：())(1λλδh <（3）在椭圆周长标准公式（2）中，当1→λ，即0→b 时，两边同时求极限，得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=2222!!8!!5642314212114a a π（此时椭圆周长是a 4）得：π4!!8!!5642314212112222=⋯+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 又：151916316lim 221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→λλλ，于是： ......)(lim 5431+++++=→n H H H H h λλ⋯+--+⋯+-+-=-→nn n n 21228776541}41]!)!2(!)!32({[)41425()4141(lim λλλλ15194-=π又：=+++......6543n B B B B B ])1960(1024451[1110243ππ-⨯--∙15194-=π故：=+++......6543n B B B B B ...543++++n H H H H 验证：0102431024333=-=-H B)41425(]})1960(1024451[1{102437744---⨯--⨯=-ππH B1123151960--=ππ0>0)41449(1519609855>---=-ππH B所以5544,H B H B >>于是，至少存在一个自然数m )5(>m ，使m m H B <，否则必然导致：>+++......6543n B B B B B ...543++++n H H H H ，这与=+++......6543n B B B B B ...543++++n H H H H 矛盾。