2016年高考数学冲刺卷01 理(山东卷)
2016年高考数学冲刺卷02 理(山东卷)答案
2016年高考数学冲刺卷02 理（山东卷）答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【命题意图】本题考查集合的真子集的概念、方程的解法等基础知识，考查数据处理能力以及基本运算能力. 【答案】C【试题解析】由于{}2|02A x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，所以集合A 只有一个元素，有1211-=个真子集；故选C.2.【命题意图】本题考查复数的几何意义、直线方程等基础知识，考查学生的基本运算能力. 【答案】B.【试题解析】复数z 对应的点为(1,3)a -，则有312a =-+，所以2a =；故选B.3.【命题意图】本题考查指数不等式、对数不等式以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】B4.【命题意图】本题考查平面向量垂直的判定和四边形的面积等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】C【试题解析】∵0OB AC ⋅=，∴OA BC ⊥，∴152OABC S OB AC ==，故选C . 5.【命题意图】本题考正态分布、正态分布密度曲线和定积分的几何意义等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】A【试题解析】因为随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数()()222x f x --=的图象，所以2μ=，即函数()f x 的图象关于直线2x =对称，因为21()3f x dx =⎰，所以()1023P X <≤=，所以()1243P X <≤=，因为()()12442P X P X <≤+>=， 所以()()14242P X P X >=-<≤111236=-=；故选A ．6.【命题意图】本题考查程序框图的应用和三角函数的周期性，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】B【试题解析】由框图知输出的结果π2π2016πsin sin sin333s =+++，因为函数πsin 3y x =的周期是6，所以π2π6π336(sinsin sin)333s =+++00336=⨯=，故选B. 7.【命题意图】本题考查简单的线性规划和数形结合思想的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力. 【答案】B8.【命题意图】本题以新定义为载体考查不足近似值或过剩近似值等基础知识，意在考查学生的审题能力和基本运算能力. 【答案】A 【试题解析】令3149π1015<<，则第一次用“调日法”后得16 3.2π5=>是π的更为精确的过剩近似值，即3116π105<<；第二次用“调日法”后得47π15<是π的更为精确的不足近似值，即4716π155<<；第三次用“调日法”后得63π20>是π的更为精确的过剩近似值，即4763π1520<<；第四次用“调日法”后得72235110=是π的更为精确的过剩近似值，即第四次用“调日法”后可得π的近似分数为722；故选A ． 9.【命题意图】本题考查双曲线的定义和几何性质、抛物线的几何性质和平面向量的数量积等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力. 【答案】B10.【命题意图】本题考查函数的性质的应用以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、基本运算能力和解决问题的综合能力. 【答案】B【试题解析】令221)()(x x f x g -=，因为x ∀∈R ，有2()()f x f x x -+=， 所以021)(21)()()(22=-+--=+-x x f x x f x g x g ，即函数)(x g 为奇函数，因为在(0,)+∞上()f x x '<，所以0)()(''<-=x x f x g ，即函数)(x g 在(0,)+∞上单调递减，在)0,(-∞上单调递减，又0)0(=g ，)(x g ∴在R 上单调递减，由(4)()84f m f m m --≥-，得2211(4)()(84)(4)(4)[()](84)(4)()022f m f m mg m m g m m m g m g m ----=-+--+--=--≥，即(4)()g m g m -≥，所以m m ≤-4，解得2≥m ；故选B ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【命题意图】本题考查全称命题的否定，意在考查学生的逻辑思维能力.【答案】“0x ∃∈R ，0sin 1x ≥”【试题解析】命题“x ∀∈R ，sin 1x <”的否定是“0x ∃∈R ，0sin 1x ≥”．12.【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力. 【答案】36π288+【试题解析】由三视图，知该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是21π3886636π2882V =⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 13.【命题意图】本题考查排列组合应用题，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】3614.【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式以及两角差的正弦公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.【试题解析】由正弦定理得：2sin b R B =，2sin c R C =，因为cos cos b C c B =，所以sin cos sin cos B C C B =，即()sin cos sin cos sin 0B C C B C B -=-=，所以C B =，即1c b ==，所以a 边上的高是12=，所以ABC ∆的面积是1122= 15.【命题意图】本题考查利用数列的递推式求数列的通项公式以及利用基本不等式求最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、基本运算能力和解决问题的综合能力. 【答案】229【试题解析】因为数列}{n a 满足601=a ，*12()n n a a n n +-=∈N ，所以)1(24260)()()(123121-+⋅⋅⋅+++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n a a a a a a a a n n n602)11)(1(2602+-=-+-⨯+=n n n n则160602-+=+-=nn n n n n a n ，当7=n 时，7414160=-+n n ，当8=n 时， 229160=-+n n ，所以n a n 的最小值为229；故填229．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换以及余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．（Ⅱ）由1cos 22A f A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得1sin cos 62A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，11cos 22A A -= ， …………………………………7分 化简得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………8分50666A A ππππ<<∴-<-<…………………………………9分 ,663A A πππ∴-=∴=， …………………………………10分又1bc =，3b c +=，由余弦定理可得()22222cos 36a b c bc A b c bc =+-=+-=， …………………………………11分a ∴=…………………………………12分17. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项和前n 项和公式以及数学归纳法、裂项抵消法的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．（Ⅱ）因为)121121(1142114141414222+--+=-+=-+=-+=n n n n n a a c n n n ，所以1211)121121()7151()5131()311(+-+=+--+⋅⋅⋅+-+-+-+=n n n n n S n ．因为2016<n S ，所以20161211<+-+n n ，即2015121<+-n n ，所以使2016<n S 的最大 自然数n 为2015． ………………12分 18. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用、几何概型的概率公式、超几何分布的分布列和期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的计算能力.【试题解析】(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关；.……………4分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种； 两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=.………………12分19. （本小题满分12分）【命题意图】本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用以及同角三角函数基本关系式等知识，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.【试题解析】（Ⅰ）由题意，菱形11ACC A 中，1112,60AC AA AAC ==∠=111,DA DC DC DA ∴===又1BAC ∆中，12BA BC ==1,BD AC BD ∴⊥=222BCD BC DB DC ∴∆=+中，BD DC ∴⊥又11DC AAC C ⊂面，且1DC AC D =11BD AAC C ∴⊥面………………6分20. （本小题满分13分）【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）()()00ln 011f e =++=，()11x f x e x '=++，()010201f e '=+=+， ∴()y fx =在点()()0,0f 处的切线方程为()120y x -=-，即210x y -+=.…5分（Ⅱ）令()()1g x f x ax =--，则()()11x g x f x a e a x ''=-=+-+，令()11xh x e x =++，则()()211x h x e x '=-+，21. （本小题满分14分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系以及对称问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的左顶点在圆22:12O x y +=上，所以a =. …………1分又离心率为23，所以23=a c ，所以3=c …………………2分 所以2223b a c =-=， …………………3分所以椭圆C 的方程为221123x y +=. …………………………4分（Ⅱ）（i ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得22(4)630m y my ++-=，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ …………………………………………6分 ∴2121222624()6644m x x m y y m m +=++=-+=++，222212121222231836123()99444m m m x x m y y m y y m m m -=+++=--+=+++.因为OM ON ⊥，∴0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，代入，得22236123044m m m --=++，解得2114m =，所以m =. ………………8分故PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ……………………………14分。
2016届高考数学(理)冲刺卷01(山东卷)解析版
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则AB =（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|11}x x -<≤D ．{|21}x x -<≤ 【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力. 【答案】B【试题解析】∵集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤{|02}x x =≤≤，∴{|01}A B x x =≤<，故选B ． 2.复数1+1ii-（i 是虚数单位）的虚部为 A. i B. 2i C. 1 D.2【命题意图】本题考查复数的除法运算和复数的概念，意在考查学生的基本计算能力. 【答案】C3.已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且1=2a ，2=3a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2016S 的值为（ ）A. 0B.2C. 5D.6【命题意图】本题考查利用数列的递推式求通项、数列的周期性等知识，意在考查学生的归纳推理的能力和基本计算能力. 【答案】A【试题解析】由题意得，3211a a a =-=，4322a a a =-=-，5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，∴数列{}n a 是周期为6的周期数列，且0654321=+++++a a a a a a ；又因为20166336=⨯，所以201663360S S ==，故选A ． 4.如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填A ．10?i ≥B ．11?i ≥C ．11?i ≤D ．12?i ≥【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】B5.函数()21,01,03x x x f x x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象大致为（ ）【命题意图】本题以分段函数为载体考查二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力.【答案】C【解析】由于0<x 时，1)(2+-=x x f 的图象为顶点在)1,0(，开口向下的抛物线的左支，故排除B 、D ，当0≥x 时，x x f )31()(=的图象过)1,0(点，且在),0[+∞上为减函数，排除A ；故选C.6.“1a =”是直线“10x ay -+=与直线(2)330a x y +-+=平行”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查直线方程的一般式、两直线平行的条件以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 【答案】D【试题解析】“直线10x ay -+=与直线(2)330a x y +-+=平行”的充分必要条件是“⎩⎨⎧≠+-=+-323)2(a a a ”，即“3a =-”，所以“1a =”是直线“10ax y ++=与直线(2)320a x y +--=平行”的既不充分也不必要条件；故选D ．7.将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A.23π B.6π C. 2π D.3π【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、函数图象的平移变换等基础知识，意在考查基本运算能力. 【答案】B8.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m n ，//m α，则//n α； ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥； ③若αβ⊥，m β⊥，则//m α；④若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥．其中假命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【命题意图】本题考查空间点、线、面的位置关系等基础知识，意在考查学生空间想象能力和逻辑推理能力． 【答案】C ．【解析】若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，所以①是假命题；若αβ⊥，//m α，则m β⊥或//m β或m β⊂，所以②是假命题；若αβ⊥，m β⊥，则//m α或m α⊂，所以③是假命题；若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥，所以④是真命题．所以假命题的个数是3；故选C ． 9.已知(5nx的展开式中二项式系数之和是64，则它的展开式中常数项是（ ） A. 15B. 15-C. 375-D. 375【命题意图】本题考查利用二项式定理求二项展开式的二项式系数和、特定项；意在考查学生的基本计算能力. 【答案】D10.已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是（ ）A ．38-B ．316C ．D ．不能确定【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的渐近线以及平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力.【答案】A【试题解析】令点),(00y x P ，因为该双曲线的渐近线分别是03=-y x ，03=+y x ，所以=PA 1313+-y x ，=PB 1313++y x ， 又AOB APB ∠-=∠cos cos AOx∠-=2cos 3cosπ-=21-=， 所以PA PB ⋅APB ∠⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，故选A.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知实数,x y 满足2040240x y x y xy -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≤≤≥，则2y x -的最小值为___________.【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用. 【答案】112.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是 .【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、多面体和球的组合等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力. 【答案】B【试题解析】由三视图，得该几何体是一个三棱锥，且各顶点都在棱长为2 的正方体上，则该几何体的外接球即为正方体的外接球，则322=R ，即3=R ，则所求外接球的体积为ππ34343==R V ．13.2015年某地春季高考有10所高校招生，如果某3名同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有 种.【命题意图】本题考查计数原理、排列组合的应用，意在考查学生的逻辑思维能力. 【答案】270【解析】从10所高校选2所有210C 种，再从3位同学中选2位选择2所高校的一所有1223C C ，据分步乘法计数原理知，录取方式共有210C 2701223=C C 种.14.设圆C 的半径为1，圆心在射线:l 1y x =+（0x ≥）上，若圆C 与圆229x y +=相交，则圆心C 的横坐标的取值范围为 ．【命题意图】本题考查圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和数形结合思想的应用.【答案】15.我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在函数解析式两边求对数得：()ln ln ()()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得''()'()ln ()()()y f x x f x x y f x ϕϕ=+，于是()'()'()'()ln ()()()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，运用此方法可以求得函数(0)xy x x =>在(1,1)处的切线方程是___________.【命题意图】本题以新定义为载体考查复合函数的导数的运算、导数的几何意义等知识，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.. 【答案】0=-y x【试题解析】xxy = ，x x x y xln ln ln ==∴，xx x x y y ln 1ln '⋅+=∴，)1(ln 2'xx x x y x ⋅+=∴，由导数的几何意义，得函数(0)x y x x =>在(1,1)处的切线的斜率1=k ，且1)1(=f ，所以函数(0)x y x x =>在(1,1)处的切线方程为11-=-x y ，即0=-y x ；故填0=-y x ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =-. （I ）求sin C 的值；（II ）当2,2sin sin a A C == 时，求b 及c 的长．【命题意图】本题考查二倍角公式的应用、正弦定理和余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且0>n a ，n n S a =+21. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求数列}2{n na 的前n 项和. 【命题意图】本题考查利用n a 与n S 的关系求数列的通项、错位相减法的应用等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力.18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .【命题意图】本题考查利用茎叶图判定样本数据的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的分类讨论能力和准确的计算能力.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3，设事件A B C 、、分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯= (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯= (3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为中国俄罗斯1 2 3 4 5…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.（本小题满分12分） 在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D 、E 分别是棱11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =.（I ）求证：//EF 平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1E BC D --的余弦值.【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化、二面角以及空间向量在立体几何中的运用，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.（2）建立如图所示的坐标系，∵12AB BC CA AA ====，D ，E 分别为11A B ，1AA 的中点，14AF AB =，(1,0,1)E -，1(,0,0)2F -，(1,0,0)B ，(0,0,2)D ，12)C ，设平面1DBC 的法向量为(,,)n x y z =，1(,0,1)2EF =-，(1,0,2)BD =-，1(2)BC =-，20BD n x z ⋅=-+=，120BC n x z ⋅=++=，不妨令1z =，则0y =，2x =，∴(2,0,1)n =，同理可得平面1EBC 的一个法向量为(1,2)m =，||cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅，∴二面角1E BC D -- …………………12分20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且21F PF ∆的周长是8+ （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设圆T ：()2249x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.（Ⅱ）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为1y kx =+，21.（本小题满分14分）已知函数R a x ax x x f ∈+-=,21ln )(2． （Ⅰ）若0)1(=f ，求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）令)1()()(--=ax x f x g ，讨论函数)(x g 的单调区间；（Ⅲ）若2-=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明21521-≥+x x ．【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力. 【解析】（Ⅰ）因为021)1(=-=a f ，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ,由()0f x '=，得1x =，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为(1)0f =．…………5分。
2016年高考真题——理科数学(山东卷) Word版含答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56（B ）60 （C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足则22x y 的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）123+π（C ）123+π（D ）21+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=3x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学模拟试题(理科)及详解答案
曲线的离心率的平方是________． 15．已知两个正数 a，b，可按规律 c＝ab＋a＋b 推广为一个新数 c，在 a，b，c 三个数中
取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称 为一次操作．若 p＞q＞0，经过五次操作后扩充得到的数为(q＋1)m(p＋1)n－1 (m，n 为正整数)，
在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂
在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂
2016 年山东卷数学理科模拟试题
第 4页
（共 4 页）
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学模拟试题（理科）参考答案
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写
2016年高考真题——数学理科(山东卷)纯 Word版
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频 率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] . 根据直方图，这200名学生中每周的自习时间 不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B）13+（C）13+（D）1+ （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）（x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为频率 组距/小时（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年高考真题——理科数学(山东卷)-Word版内含答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）133+π（C ）136+π（D ）16+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)山东卷
2016山东理一、选择题（共10小题；共50分）1. 若复数z满足2z+z=3−2i其中i为虚数单位，则z= A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i2. 设集合A=y y=2x,x∈R，B=x x2−1<0，则A∪B= A. −1,1B. 0,1C. −1,+∞D. 0,+∞3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20，20,22.5，22.5,25，25,27.5，27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x，y满足x+y≤2,2x−3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是 A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 A. 13+23π B. 13+23π C. 13+26π D. 1+26π6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f x=3sin x+cos x 3cos x−sin x 的最小正周期是 A. π2B. π C. 3π2D. 2π8. 已知非零向量m，n满足4m=3n，cos<m,n>=13．若n⊥tm+n，则实数t的值为 A. 4B. −4C. 94D. −949. 已知函数f x的定义域为R．当x<0时，f x=x3−1；当−1≤x≤1时，f−x=−f x；当x>12时，f x+12=f x−12．则f6= A. −2B. −1C. 0D. 210. 若函数y=f x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f x具有T性质．下列函数中具有T性质的是 A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x3二、填空题（共5小题；共25分）11. 执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．12. 若 ax2x 5的展开式中x5的系数是−80，则实数a=．13. 已知双曲线E1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，若矩形ABCD的四个顶点在E1上，AB，CD的中点为E1的两个焦点，且2 AB =3 BC ，则E1的离心率是．14. 在−1,1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆x−52+y2=9相交”发生的概率为．15. 已知函数f x= x ,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f x=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2tan A+tan B=tan Acos B +tan Bcos A．（1）证明：a+b=2c；（2）求cos C的最小值.17. 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆Oʹ的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB=12AC=23,AB=BC．求二面角F−BC−A的余弦值．18. 已知数列a n的前n项和S n=3n2+8n，b n是等差数列，且a n=b n+b n+1．（1）求数列b n的通项公式；（2）令c n=a n+1n+1b n+2，求数列c n的前n项和T n．19. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20. 已知f x=a x−ln x+2x−1x2，a∈R．（1）讨论f x的单调性；（2）当a=1时，证明f x>fʹx+32对于任意的x∈1,2成立．21. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率是32，抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1的最大值及取得S2最大值时点P的坐标．答案第一部分 1. B 【解析】设z =a +b i ，则2z +z =3a +b i =3−2i ，故a =1，b =−2，则z =1−2i ． 2. C 【解析】A = y y >0 ，B = x −1<x <1 ，则A ∪B = x x >−1 ．3. D 【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200× 0.16+0.08+0.04 ×2.5=140人．4. C 【解析】不等式组表示的可行域是以A 0,−3 ，B 0,2 ，C 3,−1 为顶点的三角形区域，x 2+y 2表示点 x ,y 到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值 OC 2=10．5. C【解析】由三视图可知，上面是半径为 22的半球，体积为V 1=12×43π×223=2π6，下面是底面积为1，高为1得四棱锥，体积V 2=13×1×1=13．6. A 【解析】直线a 与直线b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能平行．7. B 【解析】f x =2sin x +π6 ×2cos x +π6 =2sin 2x +π3 ，故最小正周期T =2π2=π．8. B【解析】由4 m =3 n ，可设 m =3k ， n =4k k >0 ，又n ⊥ tm +n ，所以n ⋅ tm +n =n ⋅tm +n ⋅n=t m ⋅ n cos <m ,n >+ n2=t ×3k ×4k ×13+ 4k2=4tk 2+16k 2=0,所以t =−4． 9. D【解析】当x >12时，由f x +12 =f x −12 ，得f x +1 =f x ，所以当x >12时，f x 是周期为1的周期函数， 从而f 6 =f 1 ．又因为当−1≤x ≤1时，f −x =−f x ， 所以f 1 =−f −1 =− −1 3−1 =2． 10. A【解析】当y =sin x 时，yʹ=cos x ，cos0⋅cos π=−1，所以在函数y =sin x 图象存在两点x =0，x =π使条件成立，则 A 正确；函数y =ln x ，y =e x ，y =x 3的导数值均非负，不符合题意． 第二部分 11. 3【解析】第一次循环：a =1，b =8；第二次循环：a =3，b =6；第三次循环：a =6，b =3；满足条件，结束循环，此时，i =3． 12. −2【解析】因为T r+1=C5r ax25−rx r=C5r a5−r x10−5r，所以由10−52r=5⇒r=2，因此C52a5−2=−80⇒a=−2．13. 2【解析】易得A c,b 2a ，B c,−b2a，所以 AB =2b2a， BC =2c，由2 AB =3 BC ，c2=a2+b2得离心率e=2或e=−12（舍去），所以离心率为2．14. 34【解析】直线y=kx与圆x−52+y2=9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，d=1+k2<3，解得−34<k<34，而k∈−1,1，所以发生的概率322=34．15. 3,+∞【解析】由题意画出函数图象如下图，要满足存在实数b，使得关于x的方程f x=b有三个不同的根则4m−m2<m解得m>3，即3,+∞．第三部分16. （1）由题意知2sin Acos A +sin Bcos B=sin Acos A cos B+sin Bcos A cos B，化简得2sin A cos B+sin B cos A=sin A+sin B，即2sin A+B=sin A+sin B．因为A+B+C=π，所以sin A+B=sinπ−C=sin C．从而sin A+sin B=2sin C．由正弦定理得a+b=2c．（2）由1知c=a+b2，所以cos C=a 2+b2−c22ab=a2+b2− a+b222ab=38ba+ab−14≥12，当且仅当a=b时，等号成立．故cos C的最小值为12．17. （1）设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF，又EF∥OB，所以GI∥OB，在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI=I，BC,OB交于点B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．（2）解法一：连接OOʹ，则OOʹ⊥平面ABC，又AB=BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，由题意得B 0,23,0，C −23,0,0，过点F作FM垂直OB于点M，所以FM= FB2−BM2=3，可得F 0,3,3．故BC= −23,−23,0，BF=0,−3,3．设m=x,y,z是平面BCF的一个法向量．由m⋅BC=0, m⋅BF=0,可得−23x−23y=0,−3y+3z=0,可得平面BCF的一个法向量m= −1,1,33．因为平面ABC的一个法向量n=0,0,1，所以cos⟨m,n ⟩=m ⋅nm n =77．所以二面角F−BC−A的余弦值为77．解法二：连接OOʹ，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OOʹ，又OOʹ⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM=2−BM2=3，过点M作MN垂直BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F−BC−A的平面角．又AB=BC，AC是圆O的直径，所以MN=BM sin45∘=62，从而FN=422，可得cos∠FNM=77．所以二面角F−BC−A的余弦值为77．18. （1）当n≥2时，a n=S n−S n−1=6n+5．当n=1时，a1=S1=11，代入上式适合，所以a n=6n+5n∈N∗；设数列b n的公差为d，则a1=b1+b2, a2=b2+b3,即11=2b1+d, 17=2b1+3d,解得b1=4, d=3,所以b n=3n+1．（2）由1知c n=a n+1n+1b n+2n=3n+1⋅2n+1．由T=c1+c2+c3+⋯+c n，得T n=32×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，所以2T n=32×23+3×24+4×25+⋯+n+12n+2．以上两式两边相减，得−T n=32×22+23+24+⋯+2n+1−n+12n+2=34+42n−1−n+12n+2=−3n⋅2n+2.所以T n=3n⋅2n+2．19. （1）记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”．由题意，E=ABCD++++由事件的独立性和互斥性，P E=P ABCD+P ABCD +P ABCD +P ABCD +P ABCD=P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D+P A P B P C P D=34×23×34×23+2×14×23×34×23+×34×13×34×23=2 3 .所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23．（2）由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，6．由事件的独立性与互斥性得P X=0=14×13×14×13=1144，P X=1=2×34×13×14×13+14×23×14×13=10144=572，P X=2=34×13×34×13+34×13×14×23×+14×23×34×13×+14×23×14×23=25144，P X=3=34×23×14×13+14×13×34×23=112，P X=4=2×34×23×34×13+34×23×14×23=512，P X=6=34×23×34×23=14，可得随机变量X的分布列为x012346P1525151所以数学期望EX=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512+6×14=236．所以EX=236.20. （1）f x的定义域为0,+∞；fʹx=a−ax −2x+2x=ax2−2⋅x−1x，（1）当a≤0时，若x∈0,1，fʹx>0，函数f x单调递增；x∈1,+∞，fʹx<0，函数f x单调递减．（2）当a>0时，fʹx=a x−1 x+ax−ax3．若0<a<2，则2a >1，所以当x∈0,1或2a,+∞ 时，fʹx>0，函数f x单调递增；当1,2a时，fʹx<0，函数f x单调递减；若a=2时，2a=1，fʹx≥0，函数f x单调递增；若a>2，则0<2a <1，所以当x∈0,2a或1,+∞时，fʹx>0，函数f x单调递增；当2a,1时，fʹx<0，函数f x单调递减．综上所述：当a≤0时，函数f x在0,1上单调递增；函数f x在1,+∞上单调递减．当0<a<2时，函数f x在0,1和2a ,+∞ 上单调递增；函数f x在1,2a上单调递减；当a=2时，函数f x在0,+∞上单调递增；当a>2，函数f x在0,2a 和1,+∞上单调递增；函数f x在2a,1上单调递减．（2）由（1）知a=1时，f x−fʹx=x−ln x+2x−12−1−1−22+23=x−ln x+3x+1x2−2x3−1, x∈1,2,令g x=x−ln x， x=3x +1x2−2x3−1，则f x−fʹx=g x+ x，由gʹx=x−1x≥0，可得g x≥g1=1，当且仅当x=1时取等号；又 ʹx=−3x 2−2x+6x4，设φx=−3x2−2x+6，则φx在1,2上单调递减，且φ1=1，φ2=−10，所以在1,2上存在x0使得x∈1,x0时，φx>0；x∈x0,2时，φx<0；所以函数 x在1,x0上单调递增；在x0,2上单调递减；由于 1=1， 2=12，因此 x≥ 2=12，当且仅当x=2取等号，所以f x−fʹx>g1+ 2=32，即f x>fʹx+32对于任意的x∈1,2恒成立．21. （1）由题意知： a2−b2a =32，解得a=2b．普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 因为抛物线E 的焦点为F 0,12 ，所以a =1，b =12， 所以椭圆的方程为x 2+4y 2=1．（2）（i ）设P m ,m 22 m >0 ，由x 2=2y 可得yʹ=x ，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为y −m 22=m x −m ，即y =mx −m 22． 设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，D x 0,y 0 ，联立方程组y =mx −m 22,x 2+4y 2=1. 消去y 并整理可得4m 2+1 x 2−4m 3x +m 4−1=0,故由其判别式Δ>0，可得0<m < 2+ 5且x 1+x 2=4m 34m +1， 故x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，代入y =mx −m 22可得y 0=−m 224m +1， 因为y 0x 0=−14m ，所以直线OD 的方程为y =−14m x ．联立 y =−14m x ,x =m ,可得点M 的纵坐标为y =−14， 即点M 在定直线y =−14上． （ii ）由（i ）知直线l 的方程为y =mx −m 22， 令x =0得y =−m 22，所以G 0,−m 22 ， 又P m ,m 22 ，F 0,12 ，D 2m 34m +1,−m 224m +1 ，所以 S 1=12 GF m =14m m 2+1 , S 2=12 PM ⋅ m −x 0 =m 2m 2+1 28 4m 2+1 , 所以S 12=2 4m 2+1 m 2+1 2 2, 令t =2m 2+1，则S 1S 2= 2t−1 t +1 t 2=−1t 2+1t +2， 因此当1t =12，即t =2时，S1S 2最大，其最大值为94，此时m = 22满足Δ>0， 所以点P 的坐标为22,14 ，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为 22,14 .。
2016年高考数学冲刺卷02 理(山东卷)
BC114．已知在ABC ∆中，1,cos cos a b b C c B ===，则ABC ∆的面积为 ．15．已知数列}{n a 满足601=a ，*12()n n a a n n +-=∈N ，则nan 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴的距离为2π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其在[]0,π上的单调递增区间； （Ⅱ）在,,ABC a b c ∆中，分别是C B A ,,的对边，若1cos ,122A f A bc ⎛⎫-==⎪⎝⎭，3b c +=，求a 的值．17．（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 、}{n b 中，11=a ，21=b ，1,,+n n n a b a 成等比数列，11,,++n n n b a b 成等差数列，（Ⅰ）证明}{n a 是等差数列，并求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令1414-+=n n n a a c ，前n 项和为n S ，求使2016<n S 的最大自然数n ．18．（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？ （Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA BC ====，1160AAC ∠=，BC =1AC 与1A C 相交于点D .（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求二面角11A AB C --的正弦值.20.（本小题满分13分）已知函数()()e ln 1.xf x x =++（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0x ≥时，()1f x ax ≥+成立，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xy C a b a b+=>>，其左顶点A 在圆2212x y +=上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线:3(0)l x my m =+≠交椭圆C 于M ，N 两点. （i ）若以弦MN 为直径的圆过坐标原点O ，求实数m 的值；（ii ）设点N 关于x 轴的对称点为1N （点1N 与点M 不重合)，且直线1N M 与x 轴交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前 2016年高考冲刺卷（1）【山东卷】
理科数学试卷
考试时间：120分钟；满分150分
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|21}A x x =-<<，2
{|20}B x x x =-≤，则A B = （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x ≤<
C ．{|11}x x -<≤
D ．{|21}x x -<≤
2．复数1+1i
i
-（i 是虚数单位）的虚部为
A. i
B. 2i
C. 1
D.2
3．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且1=2a ，2=3a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2016S 的值为（ ）
A . 0
B .2
C . 5 D.6 4．如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填（ ） A ．10?i ≥ B ．11?i ≥ C ．11?i ≤
D ．12?i ≥
5．函数()21,01,03x x x f x x ⎧-+<⎪
=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．“1a =”是直线“10x ay -+=与直线(
2)330a
x y +-+=平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．将函数2()2sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）
A ．
23π B ．6π C ．2π D ．3
π 8．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若//m n ，//m α，则//n α； ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥；
③若αβ⊥，m β⊥，则//m α； ④若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥．
其中假命题的个数是 （ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．已知(5n
x 的展开式中二项式系数之和是64，则它的展开式中常数项是（ ） A ．15
B ．15-
C ．375-
D ．375
10．已知P
是双曲线2
213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅
的值是（ ）
A ．38
-
B ．
316
C ．8
-
D ．不能确定 第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知实数,x y 满足20
40240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩
≤≤≥，则2y x -的最小值为___________.
12.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直
角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是 .
13．2015年某地春季高考有10所高校招生，如果某3名同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有 种.
中国
俄罗斯
1 2 3 4 5
14.设圆C 的半径为1，圆心在射线:l 1y x =+（0x ≥）上，若圆C 与圆229x y +=相交，则圆心C 的横坐标的取值范围为 ．
15．我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在函数解析式两边求对数得：()ln ln ()()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得
''()'()ln ()()()y f x x f x x y f x ϕϕ=+，于是()'()'()'()ln ()()()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ⎡⎤
=+⎢⎥⎣
⎦，运用此方法可以求得函数(0)x
y x x =>在(1,1)处的切线方程是___________.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24
C =-
. （I ）求sin C 的值；
（II ）当2,2sin sin a A C == 时，求b 及c 的长．
17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且0>n a ，n n S a =+2
1
. （I ）求数列}{n a 的通项公式；
（II ）求数列}2{n
n a
的前n 项和. 18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团
中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为4
5
，丙
猜中国代表团的概率为3
5
，三人各自猜哪个代表团的结
果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X
的分布列及数学期望EX 19.（本小题满分12分） 在三棱柱111ABC A B C -中，
12
AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D 、E 分别是棱
11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且1
4
AF AB =
. （I ）求证：//EF 平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1E BC D --的余弦值. 20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：
()22
2210x y a b a b
+=>>，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且21F PF ∆的周长是8+．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设圆T ：()2
24
9
x t y -+=
，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围． 21.（本小题满分14分）已知函数R a x ax x x f ∈+-=,2
1ln )(2
． （Ⅰ）若0)1(=f ，求函数)(x f 的最大值；
（Ⅱ）令)1()()(--=ax x f x g ，讨论函数)(x g 的单调区间；
（Ⅲ）若2-=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明2
1
521-≥
+x x ．。