管理学离中趋势测量法

⑷方差的分解定理（加法定理）：
一个分组数列的总方差等于其各组组内 方差的平均数与其组间方差之和，即：
总2
2 组内
2 组间
亦即(x x)2 f
2 k
fk
(xk x )2 fk
f
fk
fk
式中，
2为各组的组内方差；
k
xk为各组的算术平均数；fk为各组的次数。
例5，某班50名学生考试数学，其中女同学20 名，平均成绩82分，标准差为12.4分；男同学 30名，平均成绩78.8分，标准差15.6分。试确 定全班同学的总平均成绩、方差和标准差。
和方差的简单计算公式为：
(x x )2 f x2 f (xf )2 ………（5.9a）
f
f f
x2 x2
2 (x x )2 f x2 f (xf )2
f
f f
………（5.9b） ………（5.10a）
x2 x2
………（5.10b）
如果用以上5.7a至5.10a计算标 准差或方差，可以不必先求出， 直接按各个标志值计算，从而避 免因计算平均数值四舍五入引起 的舍入误差。
(x x)2
n
………（5.5）
例3，仍以例1的资料为例说明简单标 准差的计算，见表5－3。(FJ5-4)
⑵加权标准差 按照分组资料（变量数列）计算标准差时可采 用加权法。由组距数列计算标准差时，还应先 求出组中值（开口组的组中值以邻近组的组距 确定），再按加权法计算。其计算公式为：
(x x)2 f
f
（二）标准差
标准差，又称均方差，是指各变量值与其算术 平均数离差平方的算术平均数的正平方根。
标准差就是方差的正平方根，记作 。
标准差的计量单位与数据原来的计量单位相 同，这样一来，标准差就很容易与平均数以及 其他有相同计量单位的统计指标进行比较。
⑴简单标准差
对于未分组资料计算标准差时可 采用简单法，其计算公式为：
2 x2 x2
⑵由于离差平方和为最小值，故据此求得的方 差小于各变量值对其他任意数的方差，即：
2 x
＜
2 c
（C为任意常数）
（3）假定原变量x的方差为
x2，标准差为
，
x
a、b为常数，那么：
若y
x
a，则 y
；
x
若y
ax，则 y
a
；
x
若y
x
/
a，则Βιβλιοθήκη yxa；
若y a bx，则 y b x
二、四分位差
四分位差就是第三四分位数和第 一四分位数之差的二分之一,用 Q.D表示，即Q.D ＝(Q3-Q1)/2。
四分位距就是第三四分位数和第一四 分位数之差，用于测定中间50%部分 的距离为多少。即IQR = Q3 －Q1 。
仍用前一章计算四分位数的 例子求四分位差，可得：
Q.D Q3 Q1 25.5 16.5 4.5(件)
2
2
三、平均差
平均差是各个标志值与其算术平均数离 差绝对值的算术平均数（平均离差）， 一般用AD表示。它反映标志值与其算术 平均数之间的平均差异。
在统计中，把总体中各个标志值与其算
术平均数之差（x x ）叫做离差。
离差总和等于零，即 (x x ) 0
❖ ⑴简单平均差 ❖ 在资料未分组时，平均差采用简单平
n
nn
x2 x2
…………（5.8b）
证明：
(x x)2 (x2 2xx x 2 ) x2 2x x nx 2
n
n
n
nn
x2 2x 2 x 2 x2 (x )2 x2 x 2
n
nn
2 x2 (x )2 x2 x 2
nn
同理可证，依据分组资料计算标准差
主要有异众比率、标准差系数、平均 差系数和一些常用的偏态系数。
常用的变异指标有 全距、平均差、标
准差和变异系数 等几种。
一、全距
全距又称极差，是指一个变量数列中的 最大值与最小值之差，一般用R表示。
全距是测量变异度的一种粗略方 法，它计算简单，容易理解，但 受极端值影响大，不能准确反映 全部数据的实际离散程度。
f …………（5.6）
例4，仍以例2的资料为例说明加权标 准差的计算，见表5－4。(FJ5-5)
在实际应用中，标准差和方差的计算 可采用下列简单公式计算。 在资料未分组时，简单公式为：
(x x )2 x2 (x )2 …………（5.7a）
n
nn
x2 x2
…………（5.7b）
2 (x x )2 x2 ( x )2 …………（5.8a）
均法计算，其计算公式为：
xx AD
n …………（5.1）
例1，有两个参赛篮球队队员身高（单位：cm）如下： 甲队：185 191 195 202 217 乙队：190 197 199 200 204 以上述资料为例，计算简单平均差。 FJ5-2
⑵加权平均差 在资料已经分组时，平均差采用加 权平均法计算，其计算公式为：
简捷法的计算公式为：
b
( x a)2 b f
f
(
xa
b f
)
f
2
………（5.11a）
令x
x
a（a
0，b
0），则：
b
b x2 f (xf )2 ………（5.11b）
f f
b x2 x2 ………（5.11c）
（三）方差和标准差的性质
方差和标准差具有以下主要的数学性质：
⑴变量数列的方差等于其变量值平方 的平均数减去平均数的平方，即：
二、变异指标的作用
1、是衡量平均指标代表性的尺度（FJ5-1） 2、可用来研究现象的稳定性和均衡性 3、在抽样调查和相关分析中有着重要作用
第二节 变异指标的种类和计算
变异指标如按数量关系来分有以下两类: ❖ 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;
主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。
❖ 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;
xx f AD
f
…………（5.2）
(FJ5-3)
四、方差与标准差
（一）方差
总体方差，简称方差，就是各个标志值与 其算术平均数离差平方的算术平均数，一
般用符号 2 表示，其计算公式为：
简单方差： 2 (x x )2 ………（5.3）
n
加权方差： 2 (x x )2 f ………（5.4）
离中趋势是指变量数列中变量值 之间的差异程度或离散程度。
❖ 本章重点：
❖ 1、平均差 ❖ 2、方差与标准差 ❖ 3、离散系数 ❖ 本章难点：
❖ 1、方差与标准差 ❖ 2、是非标志的方差
第一节 变异指标的概念和作用
一、变异指标的概念
变异指标又称标志变动度，是反映总体各 单位标志值之间差异程度的综合指标。