冀教版数学八年级上册17.5《反证法》教案
2024年冀教版八年级上册教学设计第十七章17.5 反证法
课时目标1.通过实例体会反证法的含义.2.掌握反证法证明命题的一般步骤,能用反证法进行简单的推理证明.3.借助实例感受反证法的思想.学习重点从生活实例中体会反证法的方法步骤.学习难点能用反证法进行简单的推理证明.课时活动设计导入新课在证明一些命题为真命题时,一般用直接证明的方法,但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.设计意图:开门见山,直接引出本节课所学.探究新知在第九章中,我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢?思考:该命题直接去证明,显然比较麻烦,所以,我们如何去证明呢?学生初步说出解决问题的思路,假设有两个直角的时候,不满足三角形的内角和定理,此时,教师可做出示范,引出本节课所学内容.已知:如图,△ABC.求证:在△ABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角.证明:假设在△ABC中,有两个(或三个)直角,不妨设△A=△B=90°.△△A+△B=180°,△△A+△B+△C>180°.这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.因此,三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.所以,如果三角形含直角,那么它只能有一个直角.设计意图:通过学生思考,教师规范过程,让学生初步感受反证法的一般过程.归纳总结同学们,观察老师的写题思路,上面的证明过程,是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果,因此,假设是错误的,原结论是正确的.这种证明命题的方法叫做反证法.现在你能总结反证法的一般思路吗?学生思考,说出自己的想法,最后教师总结.用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤:第一步,假设命题的结论不成立.第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.设计意图:学生独立思考,加深学生对反证法的理解.典例精讲例1用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.已知:如图,直线AB△CD,直线EF分别与直线AB,CD交于点G,H,△1和△2是同位角.求证:△1=△2.思考:应该假设什么?证明:假设△1≠△2.过点G作直线MN,使得△EGN=△1.△△EGN=△1,△MN△CD(基本事实).又△AB△CD(已知),△过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行,这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾.△△1≠△2的假设是不成立的.因此,△1=△2.例2用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,△C=△C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:△ABC△△A'B'C'.证明:假设△ABC与△A'B'C'不全等,即BC≠B'C'.不妨设BC<B'C'.如图.在B'C'上截取C'D=CB,连接A'D.在△ABC和△A'B'C'中,△AC=A'C',△C=△C',CB=C'D,△△ABC△△A'DC'(SAS).△AB=A'D(全等三角形的对应边相等).△AB=A'B'(已知),△A'B'=A'D(等量代换).△△B'=△A'DB'(等边对等角).△△A'DB'<90°(三角形的内角和定理),即△C'<△A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).这与△C'=90°相矛盾.因此,BC≠B'C'的假设不成立,即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立.所以,△ABC△△A'B'C'.设计意图:让学生利用反证法对以前的知识进行证明,加深学生对反证法的理解.巩固训练1.用反证法证明:(1)如果a·b=0,那么a,b中至少有一个等于0.(2)两条直线相交,有且只有一个交点.证明:(1)假设a≠0且b≠0,则ab≠0,与ab=0相矛盾.△假设不成立.△a=0或b=0.(2)假设直线a与直线b相交没有交点或有两个及两个以上交点.若直线a与直线b没有交点,则直线a与直线b平行,与两直线相交矛盾;若直线a与直线b有两个及两个以上交点,根据两点确定一条直线,可知直线a与直线b重合,与两条直线相交矛盾,综上,假设不成立,所以直线a与直线b有且只有一个交点.2.已知:直线a△b,直线c与b相交,且c与b不垂直.用反证法证明:a与c相交.证明:假设直线a与c不相交,即a△c.△a△b,a△c,△b△c.这与已知直线c与b不垂直相矛盾,△假设a与c不相交不成立.△a与c相交.设计意图:学生通过习题的练习,能够熟练利用反证法解决问题.课堂小结反证法证明的一般步骤:第一步,假设命题的结论不成立.第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.设计意图:通过对本节课所学内容的归纳总结,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.随堂小测1.“a<b”的反面应是(D)A.a≠bB.a>bC.a=bD.a=b或a>b2.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设(B)A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中(B)A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°4.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形是等腰三角形.5.完成下列证明.在△ABC中,如果△C是直角,那么△B一定是锐角.证明:假设结论不成立,则△B是直角或钝角.当△B是直角时,则△A+△B+△C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾;当△B是钝角时,则△A+△B+△C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾.综上所述,假设不成立.△如果△C是直角,那么△B一定是锐角.设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第164页习题第1,2题.2.七彩作业.17.5反证法反证法证明的一般步骤:第一步,假设命题的结论不成立.第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.教学反思。
冀教版八年级上学期数学17.5反证法优秀教学案例
为了实现上述目标，教师在教学过程中应注重理论知识与实际应用的结合，通过引入生动有趣的例子，让学生在实际问题中感受反证法的意义和价值。同时，教师还应引导学生参与课堂讨论，鼓励他们提出自己的观点和疑问，以提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
反证法是数学证明中的一种重要方法，通过对结论的否定假设，逐步推理得出矛盾，从而证明原结论的正确性。在本节课中，教师需要引导学生了解反证法的含义、步骤，并通过典型例题展示反证法的应用，使学生能够熟练运用反证法解决问题。
针对本节课的内容，教师可以设计以下教学活动：首先，通过引入与生活密切相关的问题，激发学生的兴趣和探究欲望；其次，引导学生了解反证法的定义和步骤，使其明确反证法的逻辑结构；然后，通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，提高解题能力；最后，布置具有挑战性的练习题，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的积极性。
2.培养学生勇于挑战、追求真理的精神，增强他们的自信心。
3.培养学生团队协作、共同进步的价值观，提高他们的综合素质。
为了实现上述目标，教师应以亲切、鼓励的态度对待学生，关注学生的情感需求，营造一个和谐、愉快的课堂氛围。同时，教师还应注重培养学生的团队协作精神，组织一些小组活动，让学生在合作中发现问题、解决问题，共同进步。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，提高自我认知能力。
2.学生互相评价，取长补短，共同进步。
3.教师对学生的学习情况进行总结性评价，激发学生的学习积极性。
在教学过程中，教师应引导学生对自己的学习过程进行反思，让学生明确自己的优点和不足，提高自我认知能力。同时，教师还可以组织学生进行互相评价，让他们在评价中取长补短，共同进步。最后，教师应对学生的学习情况进行总结性评价，以激发学生的学习积极性，提高他们的学习动力。
17.5 反证法 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
肯定结论
由矛盾的结果，判定假设不成立，从而 说明命题的结论是正确的
3. 适合用反证法的命题类型
知1－讲
(1) 结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有
两个钝角；
(2)唯一性命题，如不重合的两条直线相交只有一个交点；
(3) 结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个
凸多边形中至多有三个锐角 .
两条平行线中的一条相交，则它必与另一条相交 . 解：已知：在同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A， 如图所示．
求证：l3必与l2相交． 证明：假设l3与l2不相交， 则l1∥l2，l3∥l2，∴l1∥l3，这与已知中l1与l3相交于点A 相矛盾，∴假设不成立． 故l3必与l2相交．
课堂小结
解：已知： ∠ A， ∠ B， ∠ C 是△ ABC 的三个内角知1－. 练 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C 中不能有两个角是钝角 .
证明： 假设∠ A， ∠ B， ∠ C 中有两个角是钝角，
不妨设∠ A>90° ， ∠ B>90° ，
则∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180° .
否定结论. 推出矛盾.
所有情况 . 如果结论的反面只有一种情况，那
么只需要否定这种情况，就足以证明原命题的
结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，
那么必须把各种可能的情况全部列举出来，并
且要一一加以否定，才能证明原命题的结论是
正确的 .
知1－练
例1 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角 .
解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已 知、求证，然后利用所学知识写出证 明过程 . 本题不易直接证明，可考虑 运用反证法来证明 .
这与三角形内角和定理相矛盾，故∠ ， ∠ B 均大于
冀教版数学八年级上册17.5《反证法》说课稿
冀教版数学八年级上册17.5《反证法》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册17.5《反证法》是本册教材中的重要内容。
反证法是数学证明中的一种方法，它通过假设结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明结论成立。
这部分内容对学生来说是一个全新的证明方法，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，并掌握了一定的证明方法，如直接证明、综合证明等。
但反证法作为一种新的证明方法，对学生来说具有一定的挑战性。
学生需要通过实例来理解反证法的原理和步骤，并能够运用反证法进行证明。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反证法的原理和步骤，并能够运用反证法进行证明。
2.过程与方法目标：学生通过实例分析和小组讨论，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，增强对数学学习的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解反证法的原理和步骤，并能够运用反证法进行证明。
2.教学难点：学生能够灵活运用反证法解决实际问题，并能够正确写出证明过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法、小组讨论法等，引导学生主动参与课堂，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，通过动画演示和图片展示，帮助学生直观理解反证法的原理和步骤。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的几何问题，引导学生思考如何用反证法来解决，激发学生的兴趣和好奇心。
2.新课导入：介绍反证法的原理和步骤，并通过实例进行分析，让学生体会反证法的应用。
3.课堂讲解：详细讲解反证法的步骤和注意事项，引导学生进行思考和讨论。
4.小组活动：学生分组进行实例分析和证明，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
5.总结提升：对反证法进行总结，强调反证法的应用和注意事项。
八年级数学上册175反证法导学案冀教版
17.5反证法班级姓名小组_______第____号【学习目标】1、掌握利用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤2、会用反证法证明命题【重点难点】重难点：反证法证明真命题【导学流程】探究思考已知:如图所示, △ ABC.求证:在△ ABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角总结：用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤：第一步：第二步：第三步：例题讲解【例1】用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等已知:如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB,C D交于点G，H，∠1和∠2是同位角. 求证:∠1=∠2.【例2】用反证法证明直角三角形全等的HL定理已知:在ΔABC和ΔA'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'求证: △ ABC≌△ A'B'C'.课堂练习课本164页练习题整理内化1.课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若2310a a -+=，则12a a +-的值为（ ） A ．51+B ．1C ．-1D ．-5【答案】B 【分析】先将2310a a -+=变形为130a a -+=，即13a a+=，再代入求解即可. 【详解】∵2310a a -+=，∴130a a -+=，即13a a+=， ∴12321a a +-=-=.故选B. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a+=. 2．如图，ABC ∆中，点A 的坐标是(0,2)-，点C 的坐标是(2,1)，点B 的坐标是(3,1)-，要使ACD ∆与ACB ∆全等，那么符合条件的格点D 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，这五种方法来判定即可得出符合条件的点D 的个数．【详解】解：如图所示：所以符合条件的D 点有1个，故选：A ．【点睛】本题考查的是全等三角形判定的5种方法，掌握全等三角形的判定以及运用是解题这个题的关键． 3．如图，在ABC 中，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，ABC 的面积为28，AB 8=，DE 4=，则AC 的长是( )A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】过点D 作DF AC ⊥于F ，根据角平分线的性质可得DF=DE ，然后利用ABC 的面积公式列式计算即可得解．【详解】过点D 作DF AC ⊥于F ，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DE DF 4∴==，ABC 11S 84AC 42822∴=⨯⨯+⨯=， 解得AC 6=，故选B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．4．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】D【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．【详解】左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个．故选D ．【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．5．方格纸上有A 、B 两点，若以B 点为原点建立直角坐标系，则A 点坐标为(3,4)，若以A 点为原点建立直角坐标系，则B 点坐标是( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(3,4)--D ．(4,3)-【答案】C【分析】明确A 、B 的坐标位置，即可判定坐标.【详解】以B 为原点建立平面直角坐标系，则A 点的坐标为（3，4）；若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点在A 点左3个单位，下4个单位处．故B 点坐标为（-3，-4）．故答案为C ．【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中用坐标表示位置，熟练掌握其性质，即可解题.6．若24(1)25x k x +-+是一个完全平方式，则常数k 的值是（ ）A ．11B ．21或 11-C ．19-D ．21或19- 【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得出答案.【详解】∵24(1)25x k x +-+是一个完全平方式，∴1=20k -±，∴=21k 或=19k -，故选：D.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式是解题关键.7．如图的七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线相交于O 点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD 的度数为何？( )A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】A【分析】根据外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD．【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为A.【点睛】本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键. 8．在下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B.是轴对称图形，故本选项符合题意，C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.9．已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示，那么这个解集为（）A．≥－1 B．>1 C．－3<≤－1 D．>－3【答案】A【解析】>－3 ，≥－1，大大取大，所以选A10．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C．考点：一元一次不等式组的整数解.二、填空题11．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝___．【答案】1【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】由勾股定理得：222213512BC AB AC-=-=＝.故答案为：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键.12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S△ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．133a2，则满足条件的奇数a有_______个．【答案】93a2，则可求出a的取值范围，即可得到答案.3a2，则a的取值范围8＜a＜27所以得到奇数a有：9、11、13、15、17、19、21、23、25 共9个故答案为：9【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.14．对于两个非0实数x ，y ，定义一种新的运算：a b x y x y *=+，若()112*-=，则()22-*值是______【答案】-1【分析】根据新定义的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵1∗(−1)=2，∴211a b +=-，即a−b=2， ∴()()112*2212222a b a b -=+=--=-⨯=--． 故答案为−1．【点睛】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想．15．如图所示，已知△ABC 的面积是36，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=4，则△ABC 的周长是_____．【答案】18【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 于F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE=OF=OD=4，∵S △ABC =()2222OE AB OF AC OD BC OE AB AC BC ⋅⋅⋅++=⋅++=2·△ABC 的周长， ∴△ABC 的周长=36÷2=18， 故答案为18.【点睛】本题考查了三角形面积公式和角平分线的性质.本题关键利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相同，将大三角形的面积转化为周长与高的关系求解.16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b 、c ，若a+b-c=1．s 表示Rt △ABC的面积，l 表示Rt △ABC 的周长，则s l=________．【答案】1【分析】已知a+b-c=1，△ABC 是直角三角形，将s=ab 2，l=a+b+c 用含c 的代数式表示出来，再求解s l 即可．【详解】∵a+b-c=1∴a+b=1+c∴(a+b)2=a 2+2ab+b 2=c 2+8c+16又∵a 2+b 2=c 2∴2ab=8c+16∴s=ab 2=2c+1 l=a+b+c=2c+1 ∴s l=1 故答案为：1【点睛】本题考查了勾股定理的应用，完全平方式的简单运算，直角三角形面积和周长计算方法．17．若数m 使关于x 的不等式组2474x x x m -≤-+⎧⎨+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于x 的分式方程122m x x x -=--有非负数解，则所有满足条件的整数m 的值之和是________． 【答案】-1【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m 的范围和使方程有非负数解的m 的范围，综合这两个范围求整数m 的值.【详解】解不等式组2+47+4x x x m -≤-⎧⎨>-⎩，可得3+47x m x ≤⎧⎪⎨>-⎪⎩， ∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤47+-m ＜0， ∴﹣4＜m≤3， 解分式方程122m x x x -=--，可得x ＝2-2m ， 又∵分式方程有非负数解，∴x≥0，且x≠2， 即2-2m ≥0，2-2m ≠2，m≤且m≠-2，解得2∴﹣4<m≤2，且m≠-2∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2∴所有满足条件的整数m的值之和是：-3-1+0+1+2=-1故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了求不等式组中的字母系数的范围及求分式方程的整数解的方法，求分式方程中的字母系数的范围时要注意字母系数既要满足题中的条件，又要不使分母等于0.三、解答题18．阅读与思考：因式分解----“分组分解法”：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如，四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组进行分组分解.分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.例1：“两两”分组：ax ay bx by+++=+++()()ax ay bx by=+++a x yb x y()()a b x y=++()()我们把ax和ay两项分为一组，bx和by两项分为一组，分别提公因式，立即解除了困难.同样.这道题也可以这样做：ax ay bx by+++=+++()()ax bx ay by=+++x a b y a b()()a b x y=++()()例2：“三一”分组：22+-+xy x y21()22x xy y=++-21=+++-(1)(1)x y x y我们把2x ，2xy ，2y 三项分为一组，运用完全平方公式得到2()x y +，再与－1用平方差公式分解，问题迎刃而解.归纳总结：用分组分解法分解因式的方法是先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解. 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：（1）分解因式：①233a ab a b -+-；②2229x xy y --+（2）若多项式2293ax y bx y -++利用分组分解法可分解为(23)(231)x y x y +-+，请写出a ，b 的值.【答案】（1）①（a ﹣b ）（a+3）；②（x ﹣y+3）（x ﹣y ﹣3）；（1）a ＝4，b ＝1．【分析】（1）①选用“两两分组”法分解因式即可；②选用“三一分组”法分解因式即可；（1）利用多项式乘法法则将(23)(231)x y x y +-+展开，然后对应多项式2293ax y bx y -++即可求出答案．【详解】解：（1）①233a ab a b -+-2()(33)a ab a b =-+-()3()a a b a b =-+-(3)()a a b =+-②2229x xy y --+22()92x xy y =+--2)(9y x =--3)((3)x x y y =-+--（1）(23)(231)x y x y +-+(23)(23)(23)x y x y x y =+-++224923x y x y =-++∵2293ax y bx y -++(23)(231)x y x y =+-+2222934923ax y bx y x y x y ∴-++=-++比较系数可得a ＝4，b ＝1．【点睛】本题主要考查因式分解和多项式乘法，掌握因式分解法是解题的关键．19．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】相等【分析】∠BAD ＝∠CAD ，根据已知条件利用SSS 证明△AEO ≌△AFO ，根据全等三角形的性质即可得结论.【详解】解：∠BAD ＝∠CAD.理由如下：∵AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，AB ＝AC ， ∴AE ＝AF.在△AEO 和△AFO 中，AE ＝AF ，AO ＝AO ，OE ＝OF ，∴△AEO ≌△AFO(SSS.)．∴∠EAO ＝∠FAO ，即∠BAD ＝∠CAD.【点睛】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，常常通过两个全等三角形，得出对应角相等．20．如图，在某一禁毒基地的建设中，准备再一个长为()65a b +米，宽为()5b a -米的长方形草坪上修建两条宽为a 米的通道．（1）求剩余草坪的面积是多少平方米？（2）若1a =，3b =，求剩余草坪的面积是多少平方米？【答案】（1）22101525a ab b -++；（2）1．【分析】（1）根据题意和图形，可以用代数式表示出剩余草坪的面积；（2）将1a =，3b =代入（1）中的结果，即可解答本题．【详解】（1）剩余草坪的面积是：22(65)(5)(55)(52)(101525)a b a b a a a b b a a ab b +---=+-=-++平方米；（2）当1,3a b ==时，22101525a ab b -++221011513253=-⨯+⨯⨯+⨯=1，即1,3a b ==时，剩余草坪的面积是1平方米．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，根据题意列出代数式是解题关键.21．如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的高，DF 是△ABD 的中线，且CE ＝1，DE ＝2，AE ＝1． （1）∠ADC 是直角吗？请说明理由．（2）求DF 的长．【答案】（1）∠ADC 是直角，理由详见解析；（2）52． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC 是直角三角形，即可得出∠ADC 是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）∠ADC 是直角，理由如下：∵DE 是△ADC 的高，∴∠AED ＝∠CED ＝90°，在Rt △ADE 中，∠AED ＝90°，∴AD 2＝AE 2+DE 2＝12+22＝20，同理：CD 2＝5，∴AD 2+CD 2＝25，∵AC2＝(1+1)2=25，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC是直角；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝5，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF＝15 22 AB=．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，求证：BE=BC．【答案】证明见解析．【分析】利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BCE=∠E，根据等角对等边即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥CD，∴∠E=∠ECD，∵∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，∴∠BCE=∠ECD，∴∠BCE=∠E，∴BE=BC．【点睛】本题考查等腰三角形的判定定理，平行四边形的性质．一半若要证明两条线段相等，而且这两条线段在同一三角形中，可用“等角对等边证明”．23．平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标为(3,4),(1,2),(5,1)A B C ．（1）直接写出,,A B C 关于y 轴对称的点111,,A B C 的坐标：1A ；1B ；1C ； （2）若ABC ∆各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，请直接写出对应点2A ，2B ，2C 的坐标，并在坐标系中画出222A B C ∆．【答案】（1）(3,4);(1,2);(5,1)---（2）222(3,4),(1,2),(5,1)A B C ---；图见解析．【分析】（1）根据点坐标关于y 轴对称的规律即可得；（2）根据“横坐标不变，纵坐标都乘以1-”可得点222,,A B C 坐标，再在平面直角坐标系中描出222,,A B C 三点，然后顺次连接即可得222A B C ∆．【详解】（1）在平面直角坐标系中，点坐标关于y 轴对称的规律为：横坐标变为相反数，纵坐标不变 (3,4),(1,2),(5,1)A B C111(3,4),(1,2),(5,1)A B C ∴---故答案为：()3,4-；(1,2)-；(5,1)-；（2）横坐标不变，纵坐标都乘以1-222(3,4),(1,2),(5,1)A B C ∴---在平面直角坐标系中，先描出222,,A B C 三点，再顺次连接即可得222A B C ∆，结果如图所示：【点睛】本题考查了点坐标关于y 轴对称的规律、在平面直角坐标系中画三角形，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标变换规律是解题关键．24．如图，等腰△ABC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且∠BAC=∠ADE=∠ADF=60°． （1）在图中找出与∠DAC 相等的角，并加以证明；（2）若AB=6，BE=m ，求：AF （用含m 的式子表示）．【答案】（1）∠BDE=∠DAC ，证明见解析；（2）AF=6﹣m ．【分析】（1）首先证明△ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）在DE 上截取DG=DF ，连接AG ，先判定△ADG ≌△ADF ，得到AG=AF ，再根据∠AEG=∠AGE ，得出AE=AG ，进而得到AE=AF 即可解决问题．【详解】解：（1）结论：∠BDE=∠DAC ．理由：∵AB=AC ，∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠C=60°．∵∠ADB=∠3+∠ADE=∠1+∠C，∠ADE=∠C=60°，∴∠3=∠1．（2）如图，在DE上截取DG=DF，连接AG．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD，∴△ADG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠1=∠2．∵∠3=∠1，∴∠3=∠2∵∠AEG=60°+∠3，∠AGE=60°+∠2，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴AE=AF=6﹣m．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判断，全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等，对应角相等得出结论．25．（问题解决）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=1．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（类比探究）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=1，PB=1，11，求∠APB的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=1，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．详解：（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=1，在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，22∵AP=1，∴AP2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=12=9，∴AP2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=115°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11，在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，22∵AP=1，∴AP2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=11）2=11，∴AP2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）【答案】D【解析】因为∠DAM和∠CBM是直线AD和BC被直线AB的同位角,因为∠DAM＝∠CBM根据同位角相等,两直线平行可得AD∥BC，所以D选项错误,故选D.2．当x为（）时，分式211xx-+的值为零．A．0 B．1 C．－1 D．2【答案】B【解析】要使分式的值为零，需要分式的分子为零而分母不为零，据此列式解答即可.【详解】根据题意可得，210 10xx⎧-=⎨+≠⎩，∴当x=1时，分式211xx-+的值为零.故选B.【点睛】本题考查分式的值何时为0，熟知分式值为0条件：分子为0且分母不为0是解题的关键. 3．下列各式中属于最简二次根式的是（）A21x+B．yxC12D112【答案】A【分析】找到被开方数中不含分母的，不含能开得尽方的因数或因式的式子即可．【详解】解：A21x+是最简二次根式；B 、=C =D 2=，被开方数含分母，不是最简二次根式． 故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．解分式方程232112x x x +=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A ．x+2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1)D ．x+2＝3(2x ﹣1) 【答案】C【分析】最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程．【详解】方程两边都乘以(2x ﹣1)，得x ﹣2＝3(2x ﹣1)，故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．已知2x =，432816x x x ++的值为（ ）A ．11B ．3C ．3D ．9 【答案】D【分析】先将432816x x x ++因式分解，再将2x =代入，借助积的乘方公式（()n n n a b ab ⋅=，本题中为逆运用）和平方差公式（22()()a b a b a b +-=-）求解即可．【详解】解：4322222816(816)(4)x x x x x x x x ++=++=+，将2x =代入，原式=222)24)+222)2)=22)]=2(74)=-9=．故选：D ．【点睛】本题考查因式分解的应用，积的乘方公式，平方差公式，二次根式的化简求值．解决此题的关键是①综合利用提公因式法和公式法对原代数式进行因式分解；②利用积的乘方公式和平方差公式对代值后的式子进行适当变形．6．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．()2421421a a a a +-=+- B ．()()242137a a a a +-=-+ C ．()()237421a a a a -+=+- D ．()22421225a a a +-=+- 【答案】B【解析】试题分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可：A 、()2421421a a a a +-=+-不是因式分解，故此选错误； B 、()()242137a a a a +-=-+，正确； C 、()()237421a a a a -+=+-，不是因式分解，故此选错误； D 、()22421225a a a +-=+-，不是因式分解，故此选错误. 故选B ．考点：因式分解的意义．.7．在实数π，196，3-，303•• ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无线不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．=2=，无理数有：π，8共2个，故选：B ．【点睛】本题考查的是无理数的知识，掌握无理数的形式是解题的关键．8．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ）A ．∠BCA ＝∠FB ．BC ∥EF C ．∠A ＝∠EDFD ．AD ＝CF 【答案】D【分析】根据“SSS”可添加AD=CF 使△ABC ≌△DEF ．【详解】解：A 、添加 ∠BCA ＝∠F 是SSA,不能证明全等，故A 选项错误；B 、添加. BC ∥EF 得到的就是A 选项中的∠BCA ＝∠F ，故B 选项错误；C 、添加∠A ＝∠EDF 是SSA ，不能证明全等，故C 选项错误；D 、添加AD ＝CF 可得到AD+DC=CF+DC ，即AC=DF ，结合题目条件可通过SSS 得到△ABC ≌△DEF ，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边9．在实数227-、0、3-506、π、5.75中，无理数的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】A【解析】根据无理数的定义，即即可得到答案．【详解】∵3-π是无理数，227-、0、506、5.75是有理数， ∴无理数有2个，故选A ．【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的定义，是解题的关键．10．正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数的y x k =-图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，得到k <0，由此判定y x k =-所经过的象限为一、二、三象限.【详解】∵(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，∴k <0，∴y x k =-经过一、二、三象限，A 选项符合.故选：A.【点睛】此题考查一次函数的性质，y=kx+b 中，k >0时图象过一三象限，k <0时图象过二四象限；b >0时图象交y 轴于正半轴，b <0时图象交y 轴于负半轴，掌握特点即可正确解答.二、填空题11．点1(41,5)P a +和2(2,23)P b +关于x 轴对称，则2019()ab =_____． 【答案】1-【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”计算即可．【详解】∵点1(41,5)P a +和2(2,23)P b +关于x 轴对称， ∴412a +=，235b +=-， 解得：14a =，4b =-， 则()()201920191414ab ⎡⎤=⨯-=-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数12．分解因式：ab 2﹣4ab+4a= ．【答案】a （b ﹣1）1．【解析】ab 1﹣4ab+4a=a （b 1﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）=a （b ﹣1）1．﹣﹣（完全平方公式）故答案为a （b ﹣1）1．13．分解因式：29y x y -=_____________．【答案】(3)(3)y x x +-．【分析】先提取公因式y ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】229(9)(3)(3)y x y y x y x x -=-=+-．故答案为：(3)(3)y x x +-．【点睛】本题考查了用提取公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直至不能分解为止．14．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．【答案】5【分析】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度．【详解】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．∵P （1，2G （1．﹣2∴OA ＝1，PA ＝GM ＝2OM ＝1，AM ＝6，∵PA ∥GM ，∴∠PAN ＝∠GMN ，∵∠ANP ＝∠MNG ，∴△ANP ≌△MNG （AAS ），∴AN ＝MN ＝3，PN ＝NG ，∵∠PAH ＝45°，∴PH ＝AH ＝2，∴HN ＝1， ∴2222215PN PH NH =++=∴PG ＝2PN ＝5．故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 15．20213(4)()3π-+---=_______．【答案】1【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】原式=19+1-19=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，整数指数幂的运算法则是解题关键． 16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为________．【答案】3cm【分析】先根据勾股定理求出AB 的长,设CD ＝xcm ,则()28BD x =-cm,再由图形翻折变换的性质可知AE ＝AC ＝6cm,DE ＝CD ＝xcm,进而可得出BE 的长,在t BDE R ∆中利用勾股定理即可求出x 的值,进而得出CD 的长.【详解】ABC ∆是直角三角形,AC ＝6cm,BC ＝8cm,22226810AB AC BC ∴++cm,AED ∆是ACD ∆翻折而成,6cm AE AC ∴==,设DE ＝CD ＝xcm, 90AED ∠=︒,1064cm BE AB AE ∴=-=-=,在t BDE R ∆中, 222BD DE BE =+,即()22284x x -=+, 解得x ＝3.故CD 的长为3cm.【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案. 17．分解因式32a b b -结果是______．【答案】()()b a b a b +-【分析】首先提取公因式b ，然后利用平方差公式即可得解.【详解】()()()3222b a b a b b a b b b a =-=+--故答案为：()()b a b a b +-.【点睛】此题主要考查分解因式的运用，熟练掌握，即可解题.三、解答题18．综合与实践阅读以下材料：定义：两边分别相等且夹角互补的两个三角形叫做“互补三角形”．用符号语言表示为：如图①，在△ABC 与△DEF 中，如果AC=DE ，∠C+∠E=180°，BC=EF ，那么△ABC与△DEF 是互补三角形．反之，“如果△ABC 与△DEF 是互补三角形，那么有AC=DE ，∠C+∠E=180°，BC=EF ”也是成立的． 自主探究利用上面所学知识以及全等三角形的相关知识解决问题：（1）性质：互补三角形的面积相等如图②，已知△ABC 与△DEF 是互补三角形．求证：△ABC 与△DEF 的面积相等．证明：分别作△ABC 与△DEF 的边BC ，EF 上的高线，则∠AGC=∠DHE=90°．…… (将剩余证明过程补充完整)（2）互补三角形一定不全等，请你判断该说法是否正确，并说明理由，如果不正确，请举出一个反例，画出示意图．【答案】（1）见解析；（2）不正确，理由见解析【分析】（1）已知△ABC 与△DEF 是互补三角形，可得∠ACB+∠E=180°，AC=DE ，BC=EF ，证得∠ACG=∠E ，证明△AGC ≌△DHE ，得到AG=DH ，所以1122BC AG EF DH ⋅=⋅，即△ABC 与△DEF 的面积相等．（2）不正确．先画出反例图，证明△ABC ≌△DEF ，△ABC 与△DEF 是互补三角形．互补三角形一定不全等的说法错误．【详解】（1）∵△ABC 与△DEF 是互补三角形，∴∠ACB+∠E=180°，AC=DE ，BC=EF ．。
17.5反证法-2020秋冀教版八年级数学上册课件(共20张PPT)
的假设是不成立的.因此，∠1=∠2.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 反证法
目录
归纳：反证法的步骤： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学 过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正 确的.
B
C B' D C'
这与∠C′＝90°相矛盾.因此，BC≠B′C′的假设不成立，
即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立.
所以，△ABC≌△A′B′C′.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
反证法
练一练：利用反证法证明“直角三角形中至少有一个
锐角不小于45°”，应先假设( C )
A.直角三角形的两个锐角都小于45° B.直角三角形有一个锐角大于45° C.直角三角形的两个锐角都大于45° D.直角三角形有一个锐角小于45°
∟
∴∠A+∠B+∠C >180°.
A
B
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.
所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设原命题结论不正确; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已 知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
D
F
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目录
反证法
证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∴∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)，
冀教版数学八年级上册17.5《反证法》教学设计
冀教版数学八年级上册17.5《反证法》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册17.5《反证法》是学生在学习了初中数学基础知识后，对逻辑推理和证明方法的一种深化。
反证法是数学证明中的一种重要方法，通过假设结论不成立，推理出矛盾，从而证明结论成立。
这一节内容主要包括反证法的定义、基本步骤和应用实例。
学生在学习这一节内容时，需要具备一定的逻辑思维能力和推理能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了基本的逻辑思维能力和一定的证明方法知识。
但反证法作为一种新的证明方法，对学生来说较为抽象，需要通过实例来理解和掌握。
此外，学生可能对假设结论不成立产生的矛盾难以理解，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.理解反证法的定义和基本步骤。
2.学会运用反证法进行证明。
3.提高逻辑思维能力和推理能力。
四. 教学重难点1.反证法的定义和基本步骤。
2.如何运用反证法进行证明。
3.理解假设结论不成立产生的矛盾。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解和掌握反证法。
2.采用问题驱动法，引导学生主动思考和探索反证法的应用。
3.采用分组讨论法，让学生在小组内进行讨论和实践，提高合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考如何证明一个命题。
例如，证明“任意正整数n，都有n^2+1是奇数”。
让学生尝试用已知的证明方法进行证明，从而引出反证法。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示反证法的定义、基本步骤和应用实例。
让学生初步了解反证法，并尝试跟随讲解进行理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个实例，尝试运用反证法进行证明。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对反证法的理解和掌握。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。
冀教版数学八年级上册17.5《反证法》教学设计
冀教版数学八年级上册17.5《反证法》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册17.5《反证法》是本册教材的重要内容，主要让学生了解反证法的概念、方法和应用。
通过学习反证法，培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容包括反证法的定义、基本步骤以及如何运用反证法证明命题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了命题与定理的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力。
但学生在学习过程中，可能对反证法的理解存在一定的困难，因此需要教师在教学中进行耐心引导，帮助学生掌握反证法的方法和应用。
三. 教学目标1.了解反证法的概念、方法和应用。
2.掌握反证法的基本步骤。
3.能够运用反证法证明简单的命题。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.反证法的概念和定义。
2.反证法的基本步骤。
3.运用反证法证明命题的方法。
五. 教学方法1.讲授法：讲解反证法的概念、方法和应用。
2.案例分析法：分析具体例子，引导学生掌握反证法的步骤。
3.练习法：让学生通过练习，巩固反证法的应用。
4.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：展示反证法的概念、方法和应用。
2.练习题：设计不同难度的练习题，巩固学生对反证法的掌握。
3.教学素材：准备一些相关的例子，用于讲解和分析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示反证法的概念，引导学生思考什么是反证法，为什么要学习反证法。
2.呈现（10分钟）讲解反证法的定义和基本步骤，通过PPT课件和例子，让学生理解和掌握反证法的方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析练习题，运用反证法进行证明。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的练习情况，讲解反证法在实际问题中的应用，巩固学生对反证法的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考反证法与其他证明方法的区别和联系，提高学生的逻辑思维能力。
6.小结（5分钟）总结本节课的学习内容，强调反证法的概念、方法和应用。
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《反证法》教案
教学目标
1、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
2、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.
教学重点
反证法证题的步骤.
教学难点
理解反证法的推理依据及方法.
教学方法
讲练结合教学.
教学过程
一、提问：
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.
二、探究
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+
b2≠c2成立吗？请说明理由.
探究：
假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立.
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确.像这样的证明方法叫做反证法.
三、应用新知
例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C.
小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确.
例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//c.求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立.∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.
例3求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立.
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
三、课堂练习：课本P164练习.
四、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用.对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高.
五、课后作业：课本P164习题.。