数学建模 多元线性回归分析
多元线性回归--数学建模
2
ˆ ˆ Se( 1 ) Var( 1 ) ˆ ˆ Se( 2 ) Var( 2 )
i 1 i 1
i 1
• 根据最小二乘原理， 参数估计值应该是右列 方程组的解
ˆ 0 ˆ 1 ˆ 2 ˆ k
Q 0 Q 0 Q 0 Q 0
• 于是得到关于待估参数的正规方程组：
ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ) Yi ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X 1i Yi X 1i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 i X 2i k X ki ) X 2i Yi X 2 i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ) X ki Yi X ki
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的 非随机表达式为:
E (Yi | X 1i , X 2i , X ki ) 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki
表示：各变量X值给定时Y的平均响应。
j被称为偏回归系数，表示在其他解释变量
保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的 均值E(Y)的变化; 或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的 “直接”或“净”（不含其他变量）影响。
多元分析数模
-25.497 26.891 -95.438 -44.712
9.557 16.821 51.869 81.932
工交部门事业费
8.122
62.282
流动部门事业费
-179.053
250.935
教育事业费
50.470
13.485
科学事业费 卫生事业费 行政管理费 公检法司支出
-60.391 -80.243 47.022 53.230
} b0
i
x2
(x1,x2)
x1
E( y) b0 b1x1 b2x2
多元线性回归方程的参数估计
1. 用样本统计量 bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆp估计回归方程中
的 参数 b0 , b1 , b2 ,, b p 时得到的方程。
2. 由最小二乘法求得。 3. 一般形式为
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆ2x2 bˆp xp
se xi x 2
对回归系数的检验:
例4.1 spss计算出的t值 和P值
C o ef f i ci e n tsa
Unstandardized Coefficients
Model
1
(Constant)
B
Std. Error
-4122901 5612697.85
基本建设ห้องสมุดไป่ตู้出
-25.702
10.068
2、回归方程显著性检验
1. 检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显 著；
2. 也被称为总体的显著性检验。
3. 检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加 以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是
否显著 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线
回归分析在数学建模中的应用
回归分析在数学建模中的应用回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
它可以用于在数学建模中预测和解释变量之间的关系。
在本文中，我将讨论回归分析在数学建模中的应用以及其在解决实际问题中的重要性。
回归分析有两种主要类型：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系，而多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。
无论是简单线性回归还是多元线性回归，都可以用于预测和解释变量之间的关系。
在数学建模中，回归分析可以用于预测未知值。
通过分析一组已知的自变量和因变量之间的关系，可以建立一个数学模型，以便预测因变量的值。
这种预测能力可以在许多领域中得到应用，例如经济学、金融学、社会科学等。
举一个简单的例子，假设我们要建立一个模型来预测一个人的身高。
我们可以收集一组数据，包括自变量（例如年龄、性别、父母身高等）和因变量（身高）。
然后，我们可以使用回归分析来建立一个模型，以便根据给定的自变量来预测一个人的身高。
此外，回归分析还可以用来解释变量之间的关系。
通过分析已知的自变量和因变量之间的关系，可以得出结论，了解自变量对因变量的影响程度。
这对于解决实际问题非常重要。
例如，在经济学中，回归分析可以用来解释消费者支出与收入之间的关系。
通过分析已知的收入和消费者支出数据，可以得出结论，了解收入对消费者支出的影响程度。
这有助于制定经济政策和预测市场需求。
回归分析还可以用来评估自变量之间的相互作用。
在多元线性回归中，我们可以引入交互项，以考虑自变量之间的相互影响。
通过分析已知的自变量和因变量之间的关系，可以确定自变量之间的相互作用，并加以解释。
总的来说，回归分析在数学建模中有广泛的应用。
它可以用于预测和解释变量之间的关系，评估自变量之间的相互作用，解释因变量的变化程度，并评估模型的拟合程度。
回归分析在解决实际问题中起着重要的作用，帮助我们从数据中提取有价值的信息，并进行合理的预测和解释。
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
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定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
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一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
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定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：
数学建模__多元线性回归分析
m
能够
解 释Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明 模型对数据的拟合程度愈好。本例
133 . 7107 R 0 . 6008 222 . 5519
2
表 明 血 糖 含 量 变 异 的 60% 可 由 总 胆 固 醇 、 甘油 三脂、胰岛素和糖化血红蛋白的变化来解释。
Y X X X e 0 1 1 2 2 m m
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
糖化血 红蛋白(%) X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖 (mmol/L) Y
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。
在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。
它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。
3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。
4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。
5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。
多元线性回归模型
多元线性回归模型引言：多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。
它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。
本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。
一、多元线性回归模型的原理多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。
多元线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。
最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。
具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。
三、多元线性回归模型的假设条件为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假设条件。
主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。
在实际应用中，我们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。
在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研究中，可以用于评估疾病风险因素和预测治疗效果等。
多元线性回归模型的应用可以为决策提供科学依据，并帮助解释变量对因变量的影响程度。
五、多元线性回归模型的优缺点多元线性回归模型具有以下优点：1）能够解释各个自变量对因变量的相对影响；2）提供了一种可靠的预测方法；3）可用于控制变量的效果。
然而，多元线性回归模型也存在一些缺点：1）对于非线性关系无法准确预测；2）对异常值和离群点敏感；3）要求满足一定的假设条件。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
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lij = ∑ ( X i − X i )( X j − X j ) = ∑ X i X j − l jY = ∑ ( X j − X j )(Y − Y ) = ∑ X jY −
∑X ∑X
i
j
n
j
, i , j=1,2, ⋅⋅⋅,m j = 1, 2⋯ , m
∑ X ∑Y ,
n
ˆ Y = 5.9433+ 0.1424X1 + 0.3515X2 − 0.2706X3 + 0.6382X4
糖 血 化 红 白 ) 蛋 (% X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血 糖 (mmol/L) Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
ˆ Q = ∑ (Y − Y ) 2 = ∑ [Y − (b0 + b1 X 1+b2 X 2 + ⋯ + bm X m )]2
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 + l12 b2 + ⋯ + l1m bm = l1Y l b + l b + ⋯ + l b = l 21 1 22 2 2m m 2Y ⋯⋯ l m1b1 + l m 2 b2 + ⋯ + l mm bm = l mY b0 = Y − (b1 X 1+b2 X 2 + ⋯ + bm X m )
目的：作出以多个自变量估计应变量的多元 线性回归方程。 资料：应变量为定量指标；自变量全部或大 部分为定量指标，若有少量定性或等级指标 需作转换。 用途：解释和预报。 意义：由于事物间的联系常常是多方面的， 一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 脂等多种生化指标的影响。
Fj =
SS回(X j )/1 SS残 / (n − m−1)
ν1 =1, ν2 = n − m−1
SS回( X j ) 表示偏回归平方和，其值愈大说
明相应的自变量愈重要。
一般情况 下，m-1 个 自变量 Y 的回归 对 平方 和由重新建立的新方程得到，而不是简单地把 bj X j 从有 m 个自变量的方程中剔出后算得。
各自变量的偏回归平方和可以通过拟合包含不同 自变量的回归方程计算得到， 15- 给出了例15 15自变量的回归方程计算得到 ， 表 15-5 给出了例 15-1 数 据分析的部分中间结果。 据分析的部分中间结果。 对例15-1数据作回归分析的部分中间结果 表15-5 对例 数据作回归分析的部分中间结果
133.7107 R = = 0.6008 222.5519
2
表 血 含 变 的 60%可 总 固 、 油 明 糖 量 异 由 胆 醇甘 三 、 岛 和 化 红 白 变 来 释 脂 胰 素 糖 血 蛋 的 化 解 。
3.复相关系数 复相关系数
可用来度量应变量 Y 与多个自变 量间的线性 相
ˆ 关程度， 亦即观 察值 Y 与估计值Y 之间的 相关程 度。
结 果
=133.7107-121.7480 =11.9627 SS回(X3 ) = SS回(X1, X2 , X3, X4 ) − SS回(X1,X2 , X4 ) =133.7107-113.6472 = 20.0635 SS回(X4 ) = SS回(X1, X2 , X3, X4 ) − SS回(X1,X2 , X3 ) =133.7107-105.9168 = 27.7939
F ~ F (m,n − m − 1)
表15-3 多元线性回归方差分析表 (α = 0.05)
变异来源 总变异 回 归 残 差 自由度 n-1 m n-m-1 SS SS 总 SS 回 SS 残 MS SS 回 /m SS 残 /(n-m-1) F MS 回/MS 残 P
表15-4 例15-1的方差分析表
(α = 0.05)
F 8.28 P <0.01
变异来源 总变异 回 归 残 差
自由度 26 4 22
SS 222.5519 133.7107 88.8412
MS 33.4277 4.0382
P 查F 界 表 F0.01(4,22) = 4.31， > 4.31， < 0.01 ， α = 0.05 值 得 F 在
甘 三 油 脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
88.8412 89.4540 100.8038 108.9047 116.6351
SS回(X1) = SS回(X1, X2 , X3, X4 ) − SS回(X2 ,X3, X4 ) =133.7107-133.0978=0.6129 SS回(X2 ) = SS回(X1, X2 , X3, X4 ) − SS回(X1,X3, X4 性回归模型
• • • • 变量： 自变量m 变量：应变量 1 个，自变量 个，共 m+1 个。 样本含量： 样本含量：n 数据格式见表15-1 数据格式见表 回归模型一般形式： 回归模型一般形式：
Y = β0 + β1 X 1+β2 X2 +⋯+ βm Xm + e
上式表示数据中应变量 Y 可以近似地表示为自变量
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程 1. 方差分析法： 方差分析法： H0 : β1 = β2 =⋅⋅⋅ = βm = 0 ，
H1 : 各β j （j=1,2, ,m)不 为 0， ⋅⋅⋅ 全
α = 0.05
SS总 = SS回 + SS残
SS回 / m MS回 F= = SS残 （n − m −1) MS残 /
0.6129/1 11.9627 /1 F1 = = 0.152， F2 = = 2.962 88.8412 /(27 − 4 −1) 88.8412/(27 − 4 −1)
20.0635/1 F3 = = 4.968 88.8412 /(27 − 4 −1) 27.7939 /1 ， F4 = = 6.883 88.8412 /(27 − 4 −1)
胰 素 岛 (μ U/ml) X3
4.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 12.60 6.75 16.28 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.31 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45
统 学 值 小 均 于 0.05， 明 3 和b4 有 计 意 说 b 义 而b 和b2 则 有 计 意 。 ， 没 统 学 义 1
计算公式：R = R2 ，本例R = 0.6008 = 0.7751 若 m=1 自变量，则有R =| r |，r 为简单相关系数。
（二）对各自变量 指明方程中的每一个自
变量对Y的影响（即方差分析和决定系数检 验整体）。 1. 偏回归平方和
含 义 回归 程 某一 变 X j 的 方 中 自 量 偏回 归 平 和 示 型 含 其 m-1 个 变 方 表 模 中 有 它 自 量 的 件 该 变 对Y的 归 献 相 于 条 下 自 量 回 贡 ， 当 从 回归 程 方 中剔 X j 后 除 所引 的 归平 起 回 方 和 减 量 或 m-1 个 变 的 础 新 的 少 ， 在 自 量 基 上 增 Xj引 的 归 方 的 加 。 加 起 回 平 和 增 量
条件
(1) Y 与 X 1 , X 2 ,⋯, X m 之间具有线性关系。 (2)各例观测值 Yi (i = 1,2,⋯, n) 相互独立。 方差为σ 2 的正态分布， 它等价于对任意 (3)残差 e 服从均数为 0、 一组自变量 X 1 , X 2 ,⋯, X m 值，应变量 Y 具有相同方差，并且服从正态 分布。
X1, X2 ,⋯, Xm 的线性函数。
β0 为常数项， β1 ,β2 ,⋯,βm 为偏回归系数，表示在其它自
变量保持不变时， X j 增加或减少一个单位时 Y 的平均变 化量， 是去除 m 个自变量对 Y 影响后的随机误差 e （残差） 。
表15-1 多元回归分析数据格式
例 号 1 2 ┇ n X1 X11 X21 ┇ Xn1 X2 X12 X22 ┇ Xn2 … … … … … Xm X1m X2m ┇ Xnm Y Y1 Y2 ┇ Yn
表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序 i 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
总 固 胆 醇 mmol/L） （ X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
结果
0.1424 t1 = = 0.390 0.3656 − 0.2706 t3 = = −2.229 0.1214 0.3515 t2 = = 1.721 0.2042 0.6382 t4 = = 2.623 0.2433