《勾股定理》第一课时课件
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北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
勾股定理 第1课时课件
)
(A)BC2=AB2+AC2 (B)AB2=AC2+BC2
(C)AB2=BC2-AC2 (D)AC2=BC2-AB2
2.如图,一棵树在离地面9米处断裂,
树的顶部落在离底部12米处.树折断
之前有 米.
课后作业 见课本P57 习题T1、2
A
A a
CC c
b BB 图① 图1-1
设：直角三角形的 三边长分别是a、b、c
SA+SB=SC
a2+b2=c2
猜想：直角三角形三边之 间的关系，即：两直角边 的平方和等于斜边的平方.
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为
a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
c a
b
经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
面积法
【练习1】 在Rt△ABC中,已知
∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对
边.
(1)若a=3,b=4,则c=
;
(2)若a=8,c=10,则b=
;
(3)若b=12,c=13,则a=
;
(4)若c=34,a∶b=8∶15,则
a=
,b=
.
1.在△ABC中,∠A=90°,则下列式子
中不成立的是(
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
18.1.1 勾股定理
世界数学家大会 会徽
1955年希腊发行的邮票
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种 数量关系．
看似平淡 无奇的现 象有时却 隐藏着深 刻的道理
毕达哥拉斯
AB C
合作探究
《勾股定理》PPT(第1课时)
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
勾股定理第一课时PPT课件
2. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，a=3，b=4，求c.
小试身手
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么
勾 股 定 理
作业布置
1、课本P28第七题； 2、练闯考 3、大小练
4 9
16 9
？
？
新知探究
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？
新知探究
C
B
C
A
7
3
4
“补”的方法
SC = S大正方形 - 4×S小直角三角形
新知探究
C
B
C
A
“割”的方法
3
4
SC = 4×S小直角三角形 + S小正方形
新知探究
（1）观察右边 两幅图：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4 9
16 9
13
25
新知探究
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4 9
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。
数学家毕达哥拉斯的发现：
A、B、C的面积有什么关系？
等腰直角三角形三边有什么关系？
图1
图2
图3
定理证明
图1
图3
解：
解：
定理证明
1.成立条件： 在直角三角形中；
3.作用：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长.
小试身手
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么
勾 股 定 理
作业布置
1、课本P28第七题； 2、练闯考 3、大小练
4 9
16 9
？
？
新知探究
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？
新知探究
C
B
C
A
7
3
4
“补”的方法
SC = S大正方形 - 4×S小直角三角形
新知探究
C
B
C
A
“割”的方法
3
4
SC = 4×S小直角三角形 + S小正方形
新知探究
（1）观察右边 两幅图：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4 9
16 9
13
25
新知探究
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4 9
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。
数学家毕达哥拉斯的发现：
A、B、C的面积有什么关系？
等腰直角三角形三边有什么关系？
图1
图2
图3
定理证明
图1
图3
解：
解：
定理证明
1.成立条件： 在直角三角形中；
3.作用：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长.
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理第一课时PPT课件
58厘米
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理第一节ppt课件
40
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
作业快餐：
1.完成课本习题１、2、3（必做） 2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三 边为直 径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为 什么? （必做） 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
总统证法
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
请同学们动手证明
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
b
A
b
梯形ABCD
∵S = 1
=
1 2
E
a
B
a+b 2
2 又∵ S 梯形ABCD = S AED + S EBC + S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 ) 2 2 2 2 比较上面二式得 c 2= a 2+ b 2
2 c 大正方形的面积可以表示为 1 2 ba ) 4 ab 也可以表示为 ( 2 c 1 2 ba ) 4 ab ∵ c2= ( 2 2-2ab+a2+ 2ab =b b =a2+b2
；
a
a
c
a b b
a
b
c
赵爽弦图
∴a2+b2=c2
c
证明2：
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ； ab 4 C2 也可以表示为 2
A
130
?
C
120
B
议一议：
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
作业快餐：
1.完成课本习题１、2、3（必做） 2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三 边为直 径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为 什么? （必做） 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
总统证法
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
请同学们动手证明
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
b
A
b
梯形ABCD
∵S = 1
=
1 2
E
a
B
a+b 2
2 又∵ S 梯形ABCD = S AED + S EBC + S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 ) 2 2 2 2 比较上面二式得 c 2= a 2+ b 2
2 c 大正方形的面积可以表示为 1 2 ba ) 4 ab 也可以表示为 ( 2 c 1 2 ba ) 4 ab ∵ c2= ( 2 2-2ab+a2+ 2ab =b b =a2+b2
；
a
a
c
a b b
a
b
c
赵爽弦图
∴a2+b2=c2
c
证明2：
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ； ab 4 C2 也可以表示为 2
A
130
?
C
120
B
议一议：
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理