2011广州二模试题(数学文)(含答案)

试卷类型：A2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2011.４ 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的实部记作()Re z a =，则1Re 2i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．23 B ．25C ．15-D ．13-2．函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则A B = A ．11,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为 A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±4．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=A ．55-B ．5-C ．5D ．55 5．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为 A ．1718 B ．79 C ．29 D ．1186．设a ，b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知()1s i n c o s f x xx =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x --8．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-= B ．290x y +-= C ．30x y -+= D ．270x y -+= 9．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -内一点，且满足1312423A P AB A D A A =++ ，则点P 到棱AB 的距离为A ．56 B ．34 C D10．如果函数()f x x =+()0a >没有零点，则a 的取值范围为A ．()0,1B ．()0,1)+∞C ．()0,1()2,+∞D ．(()2,+∞ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ． 12．若关于x 的不等式()21m x x x ->-的解集为{}12x x <<，则实数m 的值为 ．13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()pf n q=，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD 中，AD BC ，2AD =，5BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF AD ，若34AE EB =，则EF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25． （1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率． 17．（本小题满分12分）如图1，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值．18．（本小题满分14分）图160ABC东南西 北 α已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，且1055S =，20210S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n a b a +=，是否存在m 、k ()2,,k m k m >≥∈*N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA ABC ⊥平面，AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥；（2）求三棱锥E BCD -的体积．20．（本小题满分14分）对定义域分别是F 、G 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()(),,,,,.f x g x x F x G h x f x x F x G g x x F x G +∈∈⎧⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且已知函数()2f x x =，()lng x a x =()a ∈R ．（1）求函数()h x 的解析式；（2）对于实数a ，函数()h x 是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1D 1A D 1A 1EBCO D 图221．（本小题满分14分）已知双曲线C ：()222210x y a b a b-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线AB 的方程；（3）求三角形OAB 面积的最大值．2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．3 12．2 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭或cos sin 20θρθ--=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．） 解：（1）由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==， …………………………………………………………………………………4分 解得6a =． ………………………………………………………………………………………………5分因为3240a b ++=，所以2b =．答：a的值为6，b 的值为2．……………………………………………………………………………7分（2）由表格数据可知，听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有()11b +人，由（1）知，2b =，即听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有13人．………………………9分记“听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件B ， 则()11134040b P B +==． 答：听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为1340．…………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）解：（1）依题意，120BAC ∠= ，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．………………………2分在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．解得28BC =．………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得s in s i n 12A B B Cα=．……………………………………………………………………9分即12sin1202sin 28AB BCα===答：s α的值为．………………………………………………………………………………12分 方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=， 由余弦定理，得222c o s 2AC B C A B A C B Cα+-=⨯．…………………………………………………………9分 60ABC东南西北 α即22220281213cos 2202814α+-==⨯⨯． 因为α为锐角，所以sin α===14．答：s α的值为．………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力．） 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d，则()112n n n S na d -=+．………………………………………1分 由已知，得111091055,2201920210.2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩………………………………………………………………………3分 即112911,21921.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1.a d =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………5分 所以1(n a a =+（n *∈N ）．………………………………………………………………6分 （2）假设存在m 、k ()2,,k m m k >≥∈N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列，则21m k b bb =．……………………………………………………………………………………………7分因为11n n n a nb a n +==+，…………………………………………………………………………………8分所以11,,211m k m k b b b m k ===++． 所以2112m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………9分整理，得22221m k m m =-++．…………………………………………………………………………10分以下给出求m ，k 的三种方法： 方法1：因为k >，所以2210m m -++>．………………………………………………………11分解得12m <12分因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =． 故存在2m =、8k =，使得1b 、mb 、kb 成等比数列．……………………………………………14分 方法2：因为k m>，所以22221m k m m m =>-++．…………………………………………………11分 即221021m m m +<--，即221021m m m -<--． 解得112m -<<或11m <<12分因为2,m m ≥∈*N ，所以2m =，此时8k =． 故存在2m =、8k =，使得1b 、mb 、kb 成等比数列．……………………………………………14分方法3：因为2k m >≥，所以222221m k m m =>-++．……………………………………………11分 即221021m m m +<--，即22221021m m m m --<--． 解得1m <或1m <<12分 因为2,m m ≥∈*N ， 所以2m =，此时8k =． 故存在2m =、8k =，使得1b 、mb 、kb 成等比数列．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ．因为B D ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………………………………4分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==8分AD 1A 1EBCO D以下给出求三棱锥E BCD -体积的两种方法： 方法1：由（1）知，AC ⊥平面EBD ， 所以13E BV V --==．………………………………………………………………10分因为EA ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面， 所以EA AB ⊥，即ED AB ⊥．其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==， 所以11422EBD S ED AB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． (13)分所以11233E BCD V -=⨯=． (14)分方法2：因为EA ABC ⊥平面， 所以13E BV V --=+．…………………10分其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==， 所以11422ABC S AC AB ∆=⨯⨯=⨯=． (13)分所以114433E BCD V -=⨯⨯=． (14)分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识，考查分类讨论思想，以及运算求解能力和推理论证能力等．） 解：（1）因为函数()2f x x =的定义域(),F =-∞+∞，函数()lng x a x =的定义域()0,G =+∞，所以()22ln ,0,,0.x a x x h x x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤……………………………………………………………………4分（2）当0x ≤时，函数()2h x x =单调递减，所以函数()h x 在(],0-∞上的最小值为()00h =．……………………………………………………5分当0x >时，()2ln h x x a x =+．若0a =，函数()2h x x =在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………6分若a >，因为()2220a x ah x x x x+'=+=>，………………………………………………………7分所以函数()2ln h x x a x =+在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………8分若a <，因为()222x x x a h x x x⎛ +⎝⎭⎝⎭'==，……………………………………9分所以函数()2ln h x x a x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．此时，函数()h x 的最小值为h ．…………………………………………………………………………………10分 因为l n2ah a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，………………………11分 所以当2e 0a -<≤时，0h ≥，当2ea <-时，0h <．…………………………13分 综上可知，当0a >时，函数()h x 没有最小值；当2e 0a -≤≤时，函数()h x 的最小值为()00h =；当2ea <-时，函数()h x 的最小值为1ln 22a a h ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．……………………………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等．） 解：（1）因为a b >>，所以1ba<，所以c e a a ===<1分由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP =． 因为O b a=≥，所以b a ≥，所以c e a a ===≥．……………3分故双曲线离心率e的取值范围为2⎣．…………………………………………………………4分 （2）方法1：因为22222200PA OP OA x y b =-=+-，所以以点P为圆心，PA为半径的圆P的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．………5分因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ，……………………………………………6分所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩………………………………………………7分 消去2x ，2y ，即得直线AB的方程为200x x y y b +=．………………………………………………8分方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A⊥，所以1P A OAk k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+． 因为211x y b+=，所以20101x x y y b +=．……………………………………………………………6分因为OA OB =，PA PB =，根据平面几何知识可知，AB OP ⊥． 因为00OP y k x =，所以AB x k y =-．………………………………………………………………………7分 所以直线AB 方程为()0110x y y x x y -=--． 即000101x x y y x x y y +=+． 所以直线AB的方程为200x x y y b +=．………………………………………………………………8分方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A⊥，所以1P A OAk k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．…………………………………………5分整理得22010111x x y y x y +=+．所以200x x y y b +=就是直线AB 的方程． ……8分 （3）由（2）知，直线AB 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线AB的距离为2d =因为AB ===， 所以三角形O的面积220012S AB d =⨯⨯=10分以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法：方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b-=上，所以2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a -=()220x a ≥．设t ==所以322b t S t b=+．………………………………………………………………………………………11分因为()()()3222b t b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b tS t b=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．……………………………………12分当b，即b ab<≤时，322212b b S b b b ⨯==+最大值，…………………………………13分当b >，即a >时，2S b==+最大值综上可知，当b a b<≤时，212S b=最大值；当a>时，2bS=最大值．………14分方法2：设t=，则33222b t bSbt btt==++．…………………………………………11分因为点()00,P x y在双曲线22221x ya b-=上，即2200221x ya b-=，即22222002b x a bya-=()22x a≥．所以t==≥令()2bg t tt=+，则()()()2221t b t bbg tt t+-'=-=．所以当0t b<<时，()0g t'<，当t b>时，()0g t'>．所以()2bg t tt=+在()0,b上单调递减，在(),b+∞上单调递增．…………………………………12分当b，即b a b<≤时，32212bS bbbb==+最大值，……………………………………13分当b>，即a>时，32bS==最大值．综上可知，当b a b<≤时，212S b=最大值；当a>时，2bS=最大值．………14分方法3：设2200t x y=+，则S b ==11分令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………12分因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，当22112b a ≤，即b a b <≤时，()22max1124g u g b b⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值． ………………………………13分当22112b a >，即a >时，()2224max1a b g u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时S =最大值．综上可知，当b ab <≤时，212S b =最大值；当a >时，2b S =最大值．………14分。