电磁场复习资料(附答案)

电磁场与电磁波复习资料填空题1．梯度的物理意义为，等值面、方向导数与梯度的关系是。

2．用方向余弦γβαcos ,cos ,cos 写出直角坐标系中单位矢量l e的表达式。

3．某二维标量函数x y u -=2，则其梯度u ∇=，梯度在正x 方向的投影为。

4．自由空间中一点电荷位于()4,1,3-S ，场点位于()3,2,2-P ，则点电荷的位置矢量为，场点的位置矢量为，点电荷到场点的距离矢量R为。

5．矢量场z e y e x eA z y x ˆˆˆ++=，其散度为，矢量场A在点()2,2,1处的大小为。

6．直角坐标系下方向导数lu∂∂的数学表达式 ，梯度的表达式为 ，任意标量的梯度的旋度恒为 ，任意矢量的旋度的散度恒为 。

7．矢量散度在直角坐标系的表达式为 ，在圆柱坐标系的表达式为 ，在球坐标系的表达式为 。

8．矢量微分运算符∇在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的表达式分别为 ， ， 。

9．高斯散度定理数学表达式为 ，斯托克斯定理数学表达式为 。

10．矢量通量的定义为 ，散度的定义为 ，环流的定义为 ，旋度的定义为 。

11．矢量的旋度在直角坐标系下的表达式为 。

12．矢量场F为无旋场的条件为，该矢量场是由 源所产生。

13．矢量场F为无散场的条件为，该矢量场是由源所产生。

14．电流连续性方程的微分形式为 。

15．在国际单位制中，电场强度的单位是 ，电位移的单位是 ，磁场强度的单位是 ，磁感应强度的单位是 ，介电常数的单位是 ，磁导率的单位是 ，电导率的单位是 。

16．在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量成 比，与场点到源点的距离平方成 比。

17．从宏观效应来看，物质对电磁场的响应可分为 ， ， 三种现象。

18．线性且各向同性媒质的本构关系方程是： ， ， 。

19．麦克斯韦方程组的微分形式是： ， ， ， 。

20．麦克斯韦方程组的积分形式是： ， ， ， 。

21．求解时变电磁场或解释一切宏观电磁现象的理论依据是 。

22．在两种媒质分界面的两侧，电场E的切向分量=-t t E E 21；磁场B的法向分量=-n n B B 21；电流密度J的法向分量=-n n J J 21。

23．一般介质分界面的边界条件分别为 ， ， ， 。

24．两种理想介质分界面的边界条件分别是 ，理想介质与理想导体分界面的边界条件分别是 。

25．静态场指 ，包括 ， ， ，分别是由 ， ， 产生的。

26．静电场的基本方程积分形式为： ， ；相应的边界条件为： ， 。

微分形式为： ， 。

27．恒定电场的基本方程积分形式为： ， ；相应的边界条件为： ， 。

微分形式为： ， 。

28．恒定磁场的基本方程积分形式为： ， ；相应的边界条件为： ， 。

微分形式为： ， 。

29．理想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： ， ， ， 。

30．电位满足的泊松方程为 ；在两种纯介质分界面上电位满足的边界条件为： ， 。

31．在静电场中，电场强度E与电位ϕ的微分关系为，积分关系为，电场强度的方向为电位指向电位。

32．对于时变电磁场，磁场B 与矢量位A 的关系为，电场强度E与标量位ϕ的关系为。

33．在磁场中，定义矢量位函数A B⨯∇=的前提条件是。

A的散度定义为，这个条件叫洛仑兹规范。

34．一般介质中电磁波的波动方程为，。

均匀平面波的波动方程为 ， 。

35．标量位函数的达朗贝尔方程为 ，矢量位函数的达朗贝尔方程为。

36．时谐电磁场的亥姆霍兹方程组为，。

37．用电场矢量E 、D表示的电场能量密度的公式为=e w。

38．空气中的电场强度()m V z t e E x /2sin 10βπ-=，则其位移电流密度=d J。

39．磁场强度()z t H e H m y βω-=cos，其复数形式为。

40．均匀平面电磁波在真空中的传播速度s m c v /10380⨯==，则在04εε=的电介质中传播时，传播速度为 。

41．均匀平面波在理想介质中传播时，H 的相位与E的相位。

42．沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为=E，=H。

43．电磁波的极化是指，其三种基本形式分别为，，。

计算题：1．矢量z y x e e e A32-+=，z y x e e e B --=35，求 （1）B A +（2）B A⋅解：（1）z y x e e e B A427--=+（2）103310=+-=⋅B A2．标量场()ze y x z y x +=32,,ψ，在点()0,1,1-P 处（1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向解：（1）ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇ψψψψz y x Pe e e++-=∇32ψ梯度的大小： 14=∇Pψ（2）梯度的方向ψψ∇∇=n1432zy x e e e n ++-=zz y x e e y x e xy e++=∇22332ψ3．矢量函数z x e yz e yx A +-=2，试求（1）A⋅∇（2）A⨯∇解：（1）yxy z A y A x A A z y x +-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇2（2）220x e z e yzyx z y x e e e A z x z y x+=-∂∂∂∂∂∂=⨯∇4．某矢量函数为y x e y e x E +-=2（1）试求其散度（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？ 解： （1）zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇12+-=x（2）2=-∂∂∂∂∂∂=⨯∇y x z y x e e e E z y x可见，该矢量函数为无旋场，故它可能是某区域的电场强度。

5．按要求完成下列题目（1）判断矢量函数y x e xz ey B ˆˆ2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。

解：（1）根据散度的表达式zB y B x B B zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 将矢量函数B代入，显然有0=⋅∇B故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。

（2）电流分布为：()[]z x z y x e z y e x xz y z y x e e e B J++-=-∂∂∂∂∂∂=⨯∇=211020μμ6．矢量函数z y x e x e y e x A ++-=2，试求（1）A⋅∇（2）若在xy 平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形的通量。

解： （1） zA y A x A A zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇12+-=x（2） xy 平面上面元矢量为 dxdy e S d z=穿过此正方形的通量为⎰⎰⎰+-=+-===⋅11110x y Sxdxdy S d A7．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为 r e r q E204πε=（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。

解:（1）()z e y e x e r q r r q e rq E zyxr++===303020444πεπεπε由力线方程得dzzdy y dx x == 对上式积分得yC z x C y 21==式中，21,C C 为任意常数。

（2）电力线如图所示。

8．一个点电荷q +位于()0,0,a -处，另一个点电荷q 2-位于()0,0,a 处，其中0>a 。

求 （1） 求出空间任一点()z y x ,,处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。

解：（1）建立如图所示坐标空间任一点的电位⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120214r r q πεφ 其中，()2221z y a x r ++-=()2222z y a x r +++=（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q +的左侧，设位于x 处，则在此处电场强度的大小为 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=220214a x a x q E πε令上式等于零得()()2221a x a x -=+ 求得()a x 223+-=9．设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为l ρ，求 （1） 空间任一点处的电场强度； （2） 画出其电力线，并标出其方向。

解（1）由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向r e ˆ，在底面半径为r 长度为L的柱体表面使用高斯定理得：002ερπ/L rLE Sd E S d E S d E S d E l r s=++=⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰底面顶面侧面可得空间任一点处的电场强度为：（2）其电力线如图所示re E l r02περ =10．真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a ，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度解：（1）作半径为r 的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变，根据高斯定理，有ρππ32344r r D =r D3ρ= a r <（2）当a r >时，作半径为r 的高斯球面，根据高斯定理，有ρππ32344a r D =r ra D333ρ=电场强度为r ra E3033ερ=11．设真空中无限长直导线电流为I ，沿z 轴放置，如图所示。

求 （1）空间各处的磁感应强度B（2）画出其磁力线，并标出其方向。

解： （1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r柱面切向ϕe，由安培环路定律：I rH l d H c==⋅⎰ϕπ2得： rIe H πϕ2 =于是空间各处的磁感应强度为：rIe H B πμμϕ200== I z(2) 磁力线如图所示方向：与导线电流方向成右手螺旋。

12．设半径为a 的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I 的电流，设柱外为自由空间，求（1） 柱内离轴心r 任一点处的磁场强度； （2） 柱外离轴心r 任一点处的磁感应强度。

解（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r 任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向ϕe，由安培环路定律：I a rrH l d H c222πππϕ==⋅⎰ a r < 整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁场强度I are H 22πϕ= a r < （2）柱外离轴心r 任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向ϕe，由安培环路定律：I rB l d B c02μπϕ==⋅⎰a r >整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁感应强度rIe B πμϕ20 = a r >13．海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为 81 ，求频率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。

答案参考教材P68的例2.5.314．真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a ，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度解：（1）作半径为r 的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变，根据高斯定理，有ρππ32344r r D =r D3ρ= a r <（2）当a r >时，作半径为r 的高斯球面，根据高斯定理，有ρππ32344a r D =r ra D333ρ=电场强度为r ra E3033ερ=15．电偶极子电量为q ，正、负电荷间距为d ，沿z 轴放置，中心位于原点，求 （1）求出空间任一点P ()z ,y ,x 处的电位表达式 （2）画出其电力线。