高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习(题型完美版)

第十二讲 随机变量及其分布列课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀1.离散型随机变量的定义；2.期望与方差；3.二项分布与超几何分布.1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)第一节 离散型随机变量及其分布列【知识与方法】一．离散型随机变量的定义1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0=ξ，表示正面向上，1=ξ，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量二．离散型随机变量的分布列1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：为离散型随机变量X 用等式可表示为P(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=ni ip．1.两点分布),1(~P B X若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.【例题与变式】题型一随机变量【例1】判断正误：(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.题型二 随机变量的可能取值及试验结果【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，则X 的所有可能取值有哪些？【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b -c |，求随机变量ξ的取值情况．【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X 的所有可能.题型三 分布列及其性质的应用【例1】设随机变量X 的分布列为P (X =i )=ia(i =1,2,3,4)，求：(1)P (X =1或X =2)；(2))2721(<<X P .【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X 的分布列为,5,4,3,2,1,25)(===i k i X P 则)2521(<<X P 等于（ ） A ．152 B ．52 C ．51 D ．151【例3】已知数列{}n a 是等差数列，随机变量X 的分布列如下表：求3a .【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a ．【变式2】（2017春•秦都区月考）设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为（ ）A ．3817 B ．3827 C ．1917 D ．1927 【变式3】（2017春•武陵区月考）若离散型随机变量X 的分布列为：则实数a 的值为_______．【例4】设离散型随机变量X 的分布列为：求：(1)2X +1(2)|X -1|的分布列.【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X -2|=1)=（ ）A.712B.12C.512D.16 题型四 求离散型随机变量的分布列【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．(1)设{}R x c bx x x A ∈<+-=,022，求φ≠A 的概率； (2设随机变量ξ=|b -c |，求ξ的分布列．【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.题型五 两点分布【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列.【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ=0)等于（ ）A ．0B ．13C ．12D ．23题型六 超几何分布【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.(1)求顾客乙中奖的概率；(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【例3】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：(1)列出所得分数X的分布列；(2)得分大于6分的概率．【变式1】(2017·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.【变式2】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的分布列.1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( )A.1B.32±336C.32－336D.32＋3362.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X =0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.233.中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤54.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.363435.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |=1)A.16 B.13 C.12 D.236.设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y =|X -2|，则P (Y 7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)=________.8.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列.9.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.1.实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.2.授课及学员问题总结：第二节 二项分布及其应用【知识与方法】一．条件概率1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质 (1))()()()()(A n AB n A P AB P A B P ==； (2)1)(0≤≤A B P ，当A 事件与B 事件对立时0)(=A B P ，当A 事件与B 事件相等时1)(=A B P ； (3)如果B 与C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P += ； (4))()()()()(B P B A P A P A B P AB P ⋅=⋅=；(5)要注意)(A B P 与)(AB P 的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.在)(A B P 中，事件A 成为样本空间，在)(AB P 中，样本空间则为全体情况. 二．相互独立实验1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )=P (B )，P (A |B )=P (A )． 2．相互独立事件与互斥事件的区别互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．3．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．4．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )=P (A )×P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )=P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )． 三．二项分布1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )n －k，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．【例题与变式】题型一 条件概率【例1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A 与B 互斥，则P (B |A )=0.( ) (2)若事件A 等于事件B ，则P (B |A )=1.( ) (3)P (B |A )与P (A |B )相同．( )【例2】设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【变式1】设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )=13，P (A )=23，则P (B |A )=________.【变式2】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．【例3】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A )．【例5】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【变式3】在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第一次抽取到理科题的概率；(2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率；(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.【变式4】从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则P (B |A )=( )A.18B.14C.25D.12【变式5】将一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是合数”为事件A ，“第二次抛出的是质数”为事件B ，则 )(A B P _______.【变式6】(2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 【变式7】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。