行列式复习
沪教版(上海)高二数学上册第9章矩阵和行列式初步复习课件
5 t
,且AB
O,则
3 5 3
t
.
3) 已知
A
2 3
31, f ( x) x2 5 x 3,
则 f (A)
.
4) 若n阶矩阵A满足方程A2 2 A 3E 0,则
A1
.
3 0 0
5) 设A 0 1 0,则An
.
0 0 4
0 0 2
6) 矩阵A 0 5 0的逆矩阵A1 8 0 0
1 0 1
注：对一般的 n 阶方阵 A，我们常常用归纳的方
法求 An 。
例2 解：
0 1 0
设
A
1
0
0 ，求 A2004 2 A2 .
0 0 1
0 1 0 0 1 0
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
00 ，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E .
6 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。
典型例题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率。
例1
设α (1，0， 1)T，A ααT，求 An .
故 A(C B)T B. 从而
1 1 0 1 0 0
A B[(C B)T ]1 0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 2 1
3 1 0 3 3 1
1 2 1
=线性代数期末复习总结.docx
第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T|.（行列互换，行列式不变）性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.a ua i2a i3anai2^13ka na i2a i3a2Xa22a23 — ka 2xka’2 転23 = ka 2}a22 a23角1 a 32 «33a 3i角2 。
33脳31«33若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.坷 1坷］a n 纠341 a n 坷 3a21+b l a 22+b 2 如+4—a 21 a 22"23+ b l b 2 S。
31 “32 。
33。
31 “32 “33。
31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变.a\\a i2ai3au a n + ka !3 a i3 aCL CLa CL + kaaW21 u 22w23^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33°31 “32 + 氐 °33 。
33性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + • • • + a in A in （1 = 1,2,• • •, n ）推论2性质4 。
21 ^22a31 “32ka [{ ka {2。
13。
23a 33 。
21 °3a n"12 "13 a22 ^23a 32= 40 = 0性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)2a I 】(1)、若三阶行列式£>= a tJ =3,则2°3i"1 “3—2d] -2^2—2a*(2)、若三阶行列式D = S b 2 g=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.C] c 2 c 3-2C] -2C 2 -2C 32、四阶行列式计算降阶计算。
行列式复习习题
说明：黄色高亮部分是必做题目，其他为选作第一章 行 列 式专业班姓名学号第一节行 列 式一．选择题1 2 51．若行列式 1 3 2 = 0 ，则 x [ ]2 5x（A ）2（ B ）2 （C ）3（ D ）2．线性方程组x 1 2x 2 33x 17x 2，则方程组的解 (x 1 , x 2 ) =4（ A ）（ 13，5）（B ）（ 13，5） （C ）（13， 5 ）（ D ）（ 1 xx 23[ ]13, 5 ）3．方程 12 4 0 根的个数是[ ]13 9（A ）0（ B ）1 （C ）2（D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“ +”的有[]（ A ） a 15 a 23a 32 a 44a 51a 66（B ） a 11a 26 a 32 a 44 a 53a 65（ C ） a 21 a 53 a 16 a 42a 65 a 34（D ）a51a 32a 13a 44a 65a265．若 ( 1)N (1k 4l 5)a 11a k2 a 43 a l 4 a 55 是五阶行列式 a 的一项，则 k, l 的值及该项的符号为 [ ]ij（ A ） k 2,l 3 ，符号为正； （ B ） k 2,l 3 ，符号为负；（ C ） k 3,l2 ，符号为正；（ D ） k3,l2 ，符号为负6．下列 n （ n >2 ）阶行列式的值必为零的是 [ ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零(C) 行列式零的元素的个数多于 n 个 (D)行列式非零元素的个数小于 n 个二、填空题k 1 21．行列式0 的充分必要条件是2k 12．排列的逆序数是3．已知排列 1r 46s97t3 为奇排列，则 r =s = ， t =4．在六阶行列式a ij中，a23a14a46a51a35a62应取的符号为。
三、计算下列行列式（要写计算过程）：1 231．3122 311112．314895x y x y３．y x y xx y x y00100100４．001100001000020５．000n 1n000a11a1,n1a1na21a2,n10６．a n100线性代数练习题第一章行 列 式专业班 姓名学号第二节行列式的性质一、选择题：a 11 a 12 a 134a 11 2a 113a 12 2a 131．如果 Da 21 a 22 a23 1， D 14a 21 2a 21 3a 22 2a 23 ，则 D 1 [ ]a31a 32a334a 31 2a 313a 322a 33（A ）8（B ） 12（C ） 24（D ）24a 11 a 12 a13a 11 2a 31 5a 21 3a 212．如果 Da 21a 22a233， D 1a122a 32 5a 22 3a 22 ，则 D 1 [ ]a31a32a33a132a 33 5a 233a 23（A ）18（ B ）18（C ） 9 （D ） 27a 2 (a 1) 2 (a 2) 2 (a 3) 2b 2 (b 1) 2 (b 2) 2 (b 3) 2[ ]3．(c 1) 2 (c 2)(c =c 2 23) 2d 2(d 1) 2(d 2)2 (d3) 2（A ）8（ B ）2（C ） 0（D ） 6二、选择题：1 1 1 0 34215 36215 2.1 1 0 1 1．行列式30092行列式0 1 1 28092 10 1 1 11 a 1 a2 a 31 a 1 x a2 a3 0 的所有根是2．多项式 f ( x)a 1 a 2 x 1a 31 1a 1a 2a 3 x 21 2 3 4 1 3 x 2 34 3．若方程4 1=0 ，则3 2341 5 x 22 1 001 2 10 4．行列式D0 1 210 0 12三、计算下列行列式：214131211．23215062x a axaa2．a a x线性代数练习题第一章行列式系专业第三节班姓名行列式按行（列）展开学号一、选择题：10x11．若A 1111[] 111，则 A 中x的一次项系数是11111（A）1（B）1（C）4（D）4 a100b12． 4 阶行列式0a2b20的值等于[] 0b3a30b400a4（ A）a1a2a3a4b1b2b3b4（ B）(a1a2b1b2 )( a3 a4b3b4 )（ C）a1a2a3a4b1b2b3b4（ D）(a2a3b2 b3 )(a1 a4b1b4 )3．如果a11a121，则方程组a11x1a12x2b10的解是[] a21a22a21x1a22x2b20（ A）x1b1a12 ，x2a11b1（ B）x1b1a12 ，x2a11b1b2a22a21b2b2a22a21b2（ C）x1b1a12a11b1b1a12， x2a11b1 b2， x2a21（ D）x1b2a22a21b2 a22b2二、填空题：3041．行列式503中元素 3 的代数余子式是22115782．设行列式D 1111, A4 j分布是元素 a4 j的余子式和代数余子式，203，设 M 4 j61234则 A41A42A43A44=，M41M42M43M44=3．已知四阶行列 D 中第三列元素依次为15， 3，7, 4，， 2， 0，1，它们的余子式依次分布为则 D =三、计算行列式：1 2 342 3 411．3 4 124 1 231 a11L11 1 a2L12.M MM11L 1 a n线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号综合练习一、选择题：a11a12a132a112a122a131．如果D a21a22a23M 0，则 D12a212a222a23=[ ]a31a32a332a312a322a33（A）2 M（B）－2M（C）8M（D）－8Mx x 1 x2．若 f ( x)2 2 3x，则 x 2 项的系数是[ ]7 10 4 3171 x（A ）34 （ B ）25 （C ） 74（D ）6二、选择题：1 ．若 a 1i a 23 a 35 a 4 j a 54 为五阶行列式带正号的一项，则i =j =3 152.设行列式 D 02 6 ，则第三行各元素余子式之和的值为。
矩阵和行列式复习知识点汇总
矩阵和行列式复习知识点汇总一、矩阵的定义和运算：1.矩阵是一个按照矩形排列的数字集合。
一个m×n的矩阵有m行和n列。
2. 矩阵的元素通常用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
3.矩阵的加法：若A和B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，且相加的结果为对应位置的元素之和。
4.矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个标量，则kA是一个矩阵，且每个元素都乘以k。
5. 矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p的矩阵，其中C_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
二、矩阵的特殊类型：1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2.对角矩阵：主对角线上元素以外的其他元素均为0的矩阵。
3.单位矩阵：主对角线上元素都为1，其他元素为0的对角矩阵。
4.转置矩阵：将矩阵A的行和列互换得到的矩阵，记作A^T。
5.逆矩阵：对于一个n阶方阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I （其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵。
三、行列式的定义和性质：1. 行列式是一个与方阵相关的标量值。
一个n阶方阵A的行列式通常用det(A)或，A，表示。
2. 二阶方阵A的行列式可表示为：det(A) = a11 * a22 - a12 *a213.计算三阶及以上行列式时，可利用代数余子式和拉普拉斯展开公式。
4.行列式的性质：a) 若A的其中一行（列）的元素全为0，则det(A) = 0。
b) 若A的两行（列）互换，则det(A)的符号会变化。
c) 若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，则det(kA) = k^n * det(A)。
d) 若A的两行（列）相等，则det(A) = 0。
e)若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，再加到另一行（列）上，对应行列式的值不变。
四、矩阵的行列式和逆矩阵：1. 对于一个n阶方阵A，若其行列式不为0（即det(A) ≠ 0），则A是一个非奇异矩阵，有逆矩阵A^(-1)。
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j jnj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*0nnnnb b A b b b b ==④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111⑦ a b-型公式：1[(1)]()n a b bbb a bba nb a b b b ab b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b ab b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A-=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0；②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ☻矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()r rE O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，则称β是12,,,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b bb c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3. 线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B .12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤(,1αα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
行列式知识点高考
行列式知识点高考行列式是高中数学中的一个重要概念，也是高考中常常考察的知识点。
掌握行列式的相关知识对于应对高考数学题目是非常必要的。
本文将以深入浅出的方式介绍行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握行列式知识，提升高考数学应试能力。
一、行列式的定义行列式是由数和符号组成的一种代数形式。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，如果将它的n个数按照一定的规律排列成一个n×n的数表，并标记符号，那么这个数表就是A的行列式，记作det(A)或|A|。
二、行列式的性质1. 行列互换性质：交换行列式中两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
2. 行列式的倍数性质：如果行列式中所有的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
3. 行列式的行（列）成比例性质：如果行列式中的某一行（或某一列）的元素都乘以同一个数k，得到新的行列式，那么新旧两个行列式的值成比例。
4. 行列式的行（列）有零元性质：如果行列式中某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
5. 奇异行列式性质：如果行列式的某两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个二阶行列式A=[a b; c d]，行列式的值为ad-bc。
2. 三阶行列式的计算：对于一个三阶行列式A=[a b c; d e f; g hi]，行列式的值为a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
3. 高阶行列式的计算：高阶行列式的计算较为复杂，一般使用行列式的按行（列）展开法进行计算。
按行（列）展开法是通过选取某一行（或某一列）展开，将高阶行列式转化为低阶行列式的计算。
四、行列式在方程组中的应用行列式在解线性方程组中有重要的应用。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵A的行列式不为0。
五、行列式的性质推导行列式的很多性质可以通过数学推导得到。
复习利用行列式的性质计算行列式的值
2 2 2 n
(5)当＝？时方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 有唯一解，并求解。 2 x1 x2 x3
今天作业：
26 28（6） 31 32
4.克莱姆法则
线性方程组当其系数行列式D不为 零时，有且仅有唯一解
D j x j D
( j 1 , 2 , , n )
行列式的计算方法：
（1） 化三角形行列式法。
（2）降阶展开法
线性方程组的求法： 利用克莱姆法则求解
n n n （ 1 ）计算： n n
n 1 n 1 n 1 n 1 n
( j 1 , 2 , , n )
其中Dj(j=1,2,…,n)是系数行列式D中的第j 列元素 a1j,a2j,…,anj对应换成方程组的常数项 b1,b2,…,bn后得到的行列式。 这个定理的条件是系数行列式 D≠0 ，结论 实际有三条：
1．方程组有解（存在性）；
2．解是唯一的（唯一性）；
它的系数aij构成的行列式：
( 1 .9 )
D
a11 a 21 a n1
a12 a 22
a1n a2 n
a n 2 a nn
称为方程组的系数行列式。 定理1.7 克莱姆(crame)法则 线性方程组（1.9）当其系数行列式D不 为零时，有且仅有唯一解
D j x j D
第一章的主要内容：
a11 a12 a1n a21 a22 a2n 1 、 n阶行列式 的一般项表示为 an1 an2 ann
⑴ ( 1 )
⑵ ( 1 )
N ( p p p 1 2 n ) 1 p p 12 2
a a a n p n
考研线性代数知识点全面总结
《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；<2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
~特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(。
定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
%2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）}7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。
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则
（4）如果行列式有两行(列)完全相同则此行列式等于零
（5）行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数λ等于用数λ乘此行列式反之,行列式的某一行(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从行列式中提出来,即
课时教案
授课章节及题目
第十章复习课
授课时间
第10周周四第3、4节
课次
1
学时
2
教学目标与要求
复习第十章《行列式》的主要内容
教学重点
与难点
教学重点：行列式的定义、行列式的性质、行列式的计算，线性方程组的求解
教学难点：行列式的计算
教学用具
无
教学过程
环节、时间
授课内容
教学方法
课程导入
（5分钟）
说明这一章的主要内容是什么
讲解、提问
新课讲解
（35分钟）
新课讲解
（35分钟）
新课
讲解
（35分钟）
新课讲解
（35分钟）
一、知识点梳理
1.行列式的定义
2.行列式的性质
（1）行列式转置后其值是不变的。这个性质反映了行列式中行与列的对称性。即下面我们所说明的对行的性质同时对列也是适用的
（2）如果行列式中某一行（列）含有公因子 ，则我们可以把 放到行列式符号的前面，其他的行列中所处的位置不变
2.计算行列式
解:
3.计算行列式
解:因第一列与第三列对应元素成比例,所以D=0.
4.计算行列式解:Βιβλιοθήκη 5.计算行列式解:
6.计算
解略
讲解
讲解
启发
引导
讲解
启发
讲解
启发
课后小结课后作业
（5分钟）
本次课主要复习了本章的主要内容，其中行列式的计算是本章的重点和难点
作业：P2283（7）(8) 4、5
教学反思
板书设计
课程导入：
复习行列式的有关内容
行列式的定义
行列式的性质
行列式的计算
例题讲解
小结、复习
说明:
(1)利用性质6,先把a11下面的所有元素化为零;
(2)再把a22下面的所有元素化为零;
(3)重复操作,直到化为三角行列式为止;
(4)对于列也可以采用同样的处理方法,化为其它类型的三角行列式,再求值.
求行列式的值时,常用的方法还有按某行(列)展开,达到降阶的目的,从而化简行列式,直到求出结果为止.
（4）把行列式按照某一行（列）展开，其宗旨是选择某一行（列）中含有0比较多的行或者列
（5）利用一些已知的关于行列式的结论
a）上（下）三角行列式的结论
b）范德蒙行列式
c)分块行列式的结论
4.利用克莱姆法则求解n阶线性行列式
二、例题讲解
1.计算行列式
解:利用行列式的性质,把D化为相等的上(下)三角行列式,再写出结果,这是计算行列式的常用方法.
（6）行列式中任何两行(或两列)互换位置行列式的值变号
（7）若行列式中有某一行(或列)为零,则这个行列式的值等于零.
3.行列式计算的常用方法（平时上课已总结过了）先再归纳如下：
（1）利用行列式的定义
（2）把行列式转化成上（下）三角行列式来计算
（3）把行列式的某一行（列）拆成两个行列式或者几个行列式来计算。主要目的是如此操作后使得行列式比较简化