矩阵行列式求导
矩阵求导
1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)T3. 行向量Y T对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX T/dX = Id(AX)T/dX = A T4. 列向量Y对行向量X T求导：转化为行向量Y T对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX T = (dY T/dX)T5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV T)/dX = (dU/dX)V T + U(dV T/dX)d(U T V)/dX = (dU T/dX)V + (dV T/dX)U重要结论：d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + (dA/dX)X T = IA + 0X T = Ad(AX)/dX T = (d(X T A T)/dX)T = (A T)T = Ad(X T AX)/dX = (dX T/dX)AX + (d(AX)T/dX)X = AX + A T X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)重要结论：d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + X T(dA/dX) = IA + X T0 = A8. 标量y对矩阵X的导数：类似标量y对列向量X的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
矩阵求导的一些公式
.在网上看到有人贴了如下求导公式：Y = A * X --> DY/DX = A'Y = X * A --> DY/DX = AY = A' * X * B --> DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X’求导：转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A.d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
雅可比发明的公式
雅可比发明的公式雅可比发明了许多与矩阵和向量相关的公式，这些公式在数学和物理学的各个领域都有广泛的应用。
在以下文中，我们将简要介绍雅可比发明的一些重要公式和它们的应用。
1. 雅可比行列式公式：雅可比行列式公式是矩阵求导的一种常用技术。
对于一个由n 个变量x1, x2, …, xn 构成的向量函数 f(x)，雅可比行列式公式给出了 f(x) 对 x 的导数（即雅可比矩阵）的表达式。
公式如下所示：∂f(x) / ∂x = [∂f1 / ∂x1, ∂f1 / ∂x2, …, ∂f1 / ∂xn;∂f2 / ∂x1, ∂f2 / ∂x2, …, ∂f2 / ∂xn;…∂fn / ∂x1, ∂fn / ∂x2, …, ∂fn / ∂xn]雅可比行列式广泛应用于优化、微分方程、计量经济学等领域中的求解问题。
2. 雅可比恒等式：雅可比恒等式是在求偏导数时非常有用的公式。
假设函数 f 和变量集合 x 之间存在一定的关系，如 f = f(x1, x2, …, xn)，而这些变量x1, x2, …, xn 又与另一组变量y1, y2, …, ym 之间存在某种关系，如x = x(y1, y2, …, ym)。
此时，可以通过雅可比恒等式将 f 对 y 的偏导数转化为 f 对 x 的偏导数与 x 对 y 的偏导数之间的关系。
公式如下所示：∂f / ∂yj = Σ(∂f / ∂xi * ∂xi / ∂yj)，其中 i 取值从 1 到 n，j 取值从1 到 m。
雅可比恒等式在微分几何学、流体动力学等领域的求偏导数问题中非常常见。
3. 雅可比矩阵公式：雅可比矩阵是一个将向量值函数的偏导数组合成一个矩阵的运算工具。
对于一个由m个函数组成的向量值函数 f(x) = [f1(x),f2(x), …, fm(x)]，并假设每个函数都是由n个变量x1, x2, …,xn 构成的，则雅可比矩阵 J 由这些函数的偏导数组成。
公式如下所示：J = (∂fi / ∂xj)，其中 i 取值从 1 到 m，j 取值从 1 到 n。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是数学中一类特殊的数值，它可以用于解决各种数学问题，如线性方程组的解、二次行列式的特征根以及三角形的面积等。
它的计算方法也颇为多样，各种行列式的计算方法可以归纳总结如下：第一种是规则式子求行列式的方法，即规则式子求行列式的值。
这种方法包括常见的拆分积式法，它可以用来计算简单行列式，其解算步骤如下：把行列式的第一行和其他所有行有序的放在一起，按列乘以每列的分量，然后把乘积相加，即可求出行列式的值。
另一种常用的计算行列式的方法是运用行列式的转置法则，这也是一种简单的计算行列式的方法，它的解算步骤如下：先把行列式的行和列都交换一下，然后把交换后的新行列式进行上面第一种规则式子求行列式的求值，便可求出行列式的值。
此外，还有多元函数求行列式的方法，以及行列式求导、求偏导数的方法。
多元函数求行列式的方法就是将行列式用多元函数的形式表示出来，然后用函数定义求和解决之。
行列式求导、求偏导数的方法就是将行列式的变量替换为一个新的变量，然后进行积分，并求出偏导数，最终得到行列式的值。
最后一种常用的计算行列式的方法是拆解行列式的方法，这是一种比较复杂的行列式计算方法。
它的解算步骤如下：先把行列式拆解成几个子行列式，然后逐步把子行列式拆解为更小的子行列式，最终得到一个最小子行列式，将其值替换到初始行列式中计算，即可求出该行列式的值。
以上是行列式的计算方法总结，由于行列式的类型众多，其计算方法也多如牛毛，仅有上述几种计算方法是不够的，若想解决复杂的行列式计算，还需要运用其他更加复杂的计算方法，如克莱姆法、罗宾逊法、孟加拉法等。
此外，计算行列式还需要掌握矩阵运算的基础知识，运用高等数学知识，才能解决复杂的行列式计算问题。
总之，行列式的计算是一件非常有技巧性的事情，找到合适的计算方法，解决行列式计算的难题，有助于提高数学的解题能力。
矩阵的运算与行列式
矩阵的运算与行列式矩阵是线性代数中重要的概念之一，而矩阵的运算与行列式是矩阵理论的基础内容。
本文将详细介绍矩阵的基本运算及相关概念，并探讨行列式的性质与计算方法。
一、矩阵的基本运算1. 矩阵的定义与表示方式矩阵是由一定数量的数构成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
例如，一个m行n列的矩阵A可以表示为：A = (a_ij)_{m×n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的加法与减法对于两个同型矩阵A和B，它们的加法与减法定义如下：A +B = (a_ij + b_ij)_{m×n}A -B = (a_ij - b_ij)_{m×n}需要注意的是，矩阵的加法与减法仅适用于具有相同维度的矩阵。
3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个数k，矩阵的数乘定义如下：kA = (ka_ij)_{m×n}二、行列式的性质与计算方法1. 行列式的定义行列式是一个数，它与方阵A的元素相关。
一个n阶方阵A的行列式记作det(A)或|A|，定义如下：|A| = \sum_{σ∈S_n} (-1)^{sgn(σ)} a_{1σ(1)} a_{2σ(2)} \cdotsa_{nσ(n)}其中，S_n表示排列群，σ表示一个n阶排列，sgn(σ)表示排列σ的符号，a_{1σ(1)} a_{2σ(2)} \cdots a_{nσ(n)}表示方阵A中由排列σ决定的元素。
矩阵 无穷范数 行和范数 求导
矩阵无穷范数行和范数求导
矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数个数组成的矩形表格。
在实际应用中，矩阵经常需要进行求导运算。
在此，我们将介绍矩阵的无穷范数和行和范数的求导方法。
矩阵的无穷范数
矩阵的无穷范数是指矩阵的各个元素的绝对值之和的最大值。
矩阵 A 的无穷范数可表示为：
其中，i 和 j 都是 A 的行和列序号。
无穷范数是矩阵中绝对值最大的元素。
无穷范数与求导
对于矩阵 A 中的第 k 行，其无穷范数为：
||A||∞ = max│ak,j│
∂||A||∞/∂A = Sgn(A)×1(A = max│A|)
其中，Sgn(A) 是矩阵 A 的符号函数，1(A= max│A|) 是当 A 的元素等于矩阵 A 中的最大绝对值元素时的指示函数。
其中，该求和符号表示对于每一行进行求和。
因此，对于矩阵 A，其行和范数之导数可以表示为：
总结
矩阵操作在数学和数据科学领域中非常重要。
在实际应用中，矩阵通常需要进行求导运算。
本文介绍了矩阵的无穷范数和行和范数的求导方法，这些方法对于矩阵分析、优化和机器学习等领域的研究都具有重要意义。
通过研究矩阵的无穷范数和行和范数以及其求导方法，可以更好地理解矩阵操作的本质和应用。
矩阵求导定义
矩阵求导定义
矩阵求导是对矩阵函数进行求导的过程。
它在数学、物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
矩阵求导的定义是将矩阵函数的导数定义为一个矩阵，该矩阵的每个元素都是矩阵函数对相应元素的偏导数。
具体地说，设矩阵函数为F(X)，其中X是一个n×m的矩阵，那么它的导数DF(X)是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素是Fij(X)/Xij，即矩阵函数F(X)对第i行第j列元素Xij的偏导数。
矩阵求导是一种非常重要的数学工具，在机器学习、神经网络、优化算法等领域中都有广泛的应用。
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高阶行列式的计算
高阶行列式的计算摘要：本文介绍了几种高阶行列式的计算方法，包括加边法，拆项法等内容，并根据例子具体分析了适用于不同方法的行列式的特征。
行列式在数学中有很广泛的应用，因此研究它的计算方法是非常必要的，且高阶行列式的计算有很强的技巧性。
关键词：高阶 行列式 计算Calculation of Higher Order DeterminantAbstract:This paper introduced some methods of the calculation of higher order determinant, such as plusing side of law,taking apart the term and so on,and analysising how to select right method based on the features of determinant in detail.The determinant is very useful,so studying its solution’s method is important.Besides,we should think highly of its skill.Key words:higher order;determinant;calculation高阶行列式计算的基本思想是“化零”和“降阶”，也就是说先根据行列式的性质将行列式进行恒等变换，使之出现较多的零元素，再利用上（下）三角行列式计算或用按行（列）展开定理来降低行列式的阶数,其他方法也都遵循这个基本的思想。
１．加边法加边法就是在不改变原有行列式的值的基础上，把原有行列式加上一行一列，使之便于用行列式的性质或定理（如按行展开定理）对行列式做化简计算。
适用于加边法的行列式的特征: 形如BC A +的行列式可采用加边法，其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21 ，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21,C =(n c c c 21,),n a a a 21≠0,此时行列式D =BC A +=n n n n n n nc b a c b c b c b b a c b c b c b c b a +++2122212121111,观察其结构发现：第i 行中有公因子i b ,第i 列中有公因子i c .计算方法为：将原行列式加一行一列即D 加边=nn n n n n n nc b a c b c b c b c b a c b c b c b c b a c c c +++ 0 0 0 121222212121111 21,再将第一行乘以（－i b ）分别加到第(i +1)行（i =n 2,1），得nn na b a b a b c c c 0 00 0 00 1 221121 ---， 再把第二行乘以（－11a c ）加到第一行，第三行×（－22a c ）加到第一行…第n +1行×（－nn a c ）加到第一行，得 n n n i ii i a b a b a c b 0 0 0 0 0 0 0 1111--+∑== n a a a 21（∑=+n i ii i a c b 11）. 例1计算D =n a a a +++2 2 2 2 22 2 2 22 2 221.分析：原式等价于)2 2 2(111 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a ,可见符合上述特征，可加边为 2 2 2 0 22 2 0 22 2 02 2 2 1 21n a a a +++，再按上述步骤进行计算。
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矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。
单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t的实函数矩阵 ()()()
ijmnXtxt×=，所有分量函数()ijxt定义域相同。
定义函数矩阵的微分与积分
00()(),()().ttijijtt
ddXtxtXdxd
dxdxττττ⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟==
⎜⎟
⎜⎟
⎟⎜⎜
⎟⎝⎠
⎝⎠
∫∫
函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()
ddd
XtYtXtYt
dtdtdt+=+；
（2） ()()()()()()()ddXtdYt
XtYtYtXt
dtdtdt=+；
特殊情形 （a） 若K是常数矩阵，则()()()
dd
KXtKXt
dtdt=；
（b） 若()Xt是方阵，则2()()()()()ddXtdXt
XtXtXt
dtdtdt=+；
（3） ()111()()()()ddXtXtXtXtdtdt=－－－－； （4） 对任意的方阵A和时变量t，恒有AtAtAtdeAeeA
dt==；
（5） 若ABBA=，则ABBAABeeeee
+
==。如果,AB可交换，则许多三角不等
式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)AbA+等。
参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。 （2） 矩阵函数，就是自变量为矩阵的函数映射；根据函数的自变量和因变量的形式可分为多种。
矩阵函数的导数 定义（向量导数）：映射:nmf→\\
，()()12(),(),,()(),1...Tmiffxfxfxfxim==="，
定义映射的导数为一个mn×的偏导数矩阵 (),1...,1...i
ijj
dfxDfimjndx⎡⎤===⎢⎥⎣⎦. 例如 dAxAdx=
，
⇒ ()()()(),,DfxgxDfxDgxαβαβαβ⎡⎤+=+∈∈
⎢⎥⎣⎦
\\
()()''()()()Dfgxfgxgx
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
''()()()()()(),,TTTnm
Dfxgxgxfxfxgxfg
⎡⎤=+∈→
⎢⎥⎣⎦
\\
⇒
()()TTTTTdxAx
xAAxxAA
dx=+=+
定义（矩阵导数）： ()vec()()
vec()dAXdAX
dXdX
有 符号说明 • d/dx (y) 是一个向量，其第 (i) 个元素是dy(i)/dx • d/dx (y) 是一个向量，其第 (i) 个元素是dy/dx(i) • d/dx (yT) 是一个矩阵，其第 (i,j) 个元素是 dy(j)/dx(i) • d/dx (Y) 是一个矩阵，其第 (i,j) 个元素是dy(i,j)/dx • d/dX (y) 是一个矩阵，其第 (i,j) 个元素是dy/dx(i,j) 注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,y是向量，X，Y是矩阵，x,y是标量。
在下面的表达中 A, B, C 是不依赖于 X的矩阵，a,b是不依赖于x的向量， 线性积 • d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B o d/dx (Ay) =A * d/dx (y) • d/dx (xTA) =A o d/dx (xT) =I o d/dx (xTa) = d/dx (aTx) = a • d/dX (aTXb) = abT o d/dX (aTXa) = d/dX (aTXTa) = aaT • d/dX (aTXTb) = baT • d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * Z
二次积 • d/dx (Ax+b)TC(Dx+e) = ATC(Dx+e) + DTCT(Ax+b) o d/dx (xTCx) = (C+CT)x [C: symmetric]: d/dx (xTCx) = 2Cx
d/dx (xTx) = 2x
o d/dx (Ax+b)T (Dx+e) = AT (Dx+e) + DT (Ax+b) d/dx (Ax+b)T (Ax+b) = 2AT (Ax+b)
o [C: symmetric]: d/dx (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATC(Ax+b) • d/dX (aTXTXb) = X(abT + baT) o d/dX (aTXTXa) = 2XaaT • d/dX (aTXTCXb) = CTXabT + CXbaT o d/dX (aTXTCXa) = (C + CT)XaaT o [C:Symmetric] d/dX (aTXTCXa) = 2CXaaT • d/dX ((Xa+b)TC(Xa+b)) = (C+CT)(Xa+b)aT
三次积 • d/dx (xTAxxT) = (A+AT)xxT+xTAxI 逆 • d/dx (Y-1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1 迹 Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr(). • d/dX (tr(X)) = I • d/dX (tr(Xk)) =k(Xk-1)T • d/dX (tr(AXk)) = SUMr=0:k-1(XrAXk-r-1)T • d/dX (tr(AX-1B)) = -(X-1BAX-1)T o d/dX (tr(AX-1)) =d/dX (tr(X-1A)) = -X-TATX-T • d/dX (tr(ATXBT)) = d/dX (tr(BXTA)) = AB o d/dX (tr(XAT)) = d/dX (tr(ATX)) =d/dX (tr(XTA)) = d/dX (tr(AXT)) = A • d/dX (tr(AXBXT)) = ATXBT + AXB o d/dX (tr(XAXT)) = X(A+AT) o d/dX (tr(XTAX)) = XT(A+AT) o d/dX (tr(AXTX)) = (A+AT)X • d/dX (tr(AXBX)) = ATXTBT + BTXTAT • • [C:symmetric] d/dX (tr((XTCX)-1A) = d/dX (tr(A (XTCX)-1) = -(CX(XTCX)-1)(A+AT)(XTCX)-1 • [B,C:symmetric] d/dX (tr((XTCX)-1(XTBX)) = d/dX (tr( (XTBX)(XTCX)-1) = -2(CX(XTCX)-1)XTBX(XTCX)-1 + 2BX(XTCX)-1 •
行列式 • d/dX (det(X)) = d/dX (det(XT)) = det(X)*X-T o d/dX (det(AXB)) = det(AXB)*X-T o d/dX (ln(det(AXB))) = X-T • d/dX (det(Xk)) = k*det(Xk)*X-T o d/dX (ln(det(Xk))) = kX-T • [Real] d/dX (det(XTCX)) = det(XTCX)*(C+CT)X(XTCX)-1 o [C: Real,Symmetric] d/dX (det(XTCX)) = 2det(XTCX)* CX(XTCX)-1 • [C: Real,Symmetricc] d/dX (ln(det(XTCX))) = 2CX(XTCX)-1
Jacobian
如果y 是x的函数，则dyT/dx是y关于x的Jacobian 矩阵。其行列式|dyT/dx|是表示了dy和dx的超体积比值. Jacobian行列式出现在变元积分中: Integral(f(y)dy)=Integral(f(y(x)) |dyT/dx| dx).