第四章 矩阵练习题

矩阵习题

一、 判断题

1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.

2. 如果2

0,A =则0A =.

3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.

4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .

5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =

6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，

使.00

0⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=s

I PAQ 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.

8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 二、 选择题

1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T

B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2

()AB (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。

(A) T

A A (B) T

A A - (C) 2

A (D) T

A A - 3．以下结论不正确的是（ ）。

(A) 如果A 是上三角矩阵，则2

A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2

A 也是对角阵。

4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）

(A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 列元素全等7于零； (C ) BA 的第j 列元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) 2

2

2

()2A B A AB B +=++ (B) 2

2

()()A B A B A B -=+-

(C) 222

()AB A B = (D) 2

2

()()A E A E A E -=+-

6．下列命题正确的是（ ）

(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C)若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =

7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ ）

(A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =；

8．以下结论正确的是（ ）

(A) 如果矩阵A 的行列式，则0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足2

0A =，则0A =；

(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有2

2

()()A B A B A B -+=-

9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩

阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ ）. （A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.

（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.

10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ ）时，n I A -必是可逆矩阵

(A) 0n

A = (B) A 是可逆矩阵 (C)0n

A = (D)A 主对角线上的元素全为零 11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）

(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠ 12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ ）

(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠

13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14． A 是n 阶方阵，*

A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）

(A)若A 是可逆矩阵，则*

A 也是可逆矩阵； (B)若A 是不可逆矩阵，则*

A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； (D)*AA A =; 15．设是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ ）

(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4

A 16．设*

A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*

A A 中位于(,)i j 的元素为（ ）

(A)

1

n

jk

ki k a

A =∑ (B)

1

n

kj

ki k a

A =∑ (C) 1

n jk ik k a A =∑ (D) 1

n

ki kj k a A =∑

17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L , 1111n n nn A A B A A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

L L L L ,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（ ）