第四章 矩阵练习题
矩阵练习(带答案详解)(最新整理)
一、填空题：1.若，为同阶方阵，则的充分必要条件是A B 22))((B A B A B A -=-+。
BAAB =2. 若阶方阵，，满足,为阶单位矩阵，则＝。
n A B C I ABC =I n 1-CAB3. 设，都是阶可逆矩阵，若,则＝。
A B n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C 1-C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 4. 设A ＝，则＝。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11121-A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21115. 设， .则。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B =+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7317336.设，则＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A 1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵，为的转置，则=.1 -1 32 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T A A B A T⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1602228. ，为秩等于2的三阶方阵，则的秩等于 2 .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A B AB 二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设均为阶方阵，则 （k 为正整数）。
……………（ × ）B A 、n kk k B A AB =)(2. 设为阶方阵，若，则。
……………………………（,,A B C n ABC I =111CB A ---=× ）3. 设为阶方阵，若不可逆，则都不可逆。
……………………… ( × )B A 、n AB ,A B4. 设为阶方阵，且，其中，则。
……………………… ( B A 、n 0AB =0A ≠0B =× )5. 设都是阶矩阵，且，则。
……………………（ C B A 、、n I CA I AB ==,C B =√ ）6. 若是阶对角矩阵，为阶矩阵，且，则也是阶对角矩阵。
…（ A n B n AC AB =B n × ）7. 两个矩阵与，如果秩（）等于秩（），那么与等价。
线代第四章练习
1．设n 阶(3n ≥)矩阵1111a a a aa a A aa a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 .2. . 如果矩阵 1400040004x x x x A x x ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = 3. 设A 是三阶矩阵, 已知3012010,103A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭则矩阵22A A +的秩为4. (本题满分10分) 设有线性方程组x y z ,x y z ,x y z ,l l l l l ì--=ïïïï-+-=-íïïï--+=ïî21问 l 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无限多解时求其通解.5. 六．(本题满分10分) 已知A 是n 阶方阵, 且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位矩阵).(1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆, 并分别求其逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆（A ≠E ）.6..设123,,ηηη是齐次线性方程组AX O =的一个基础解系，则（ ）也是它的基础解系.A. 122331,,ηηηηηη---；B.；123123,,ηηηηηη++,C. 1323,;ηηηη--D.. 112123,,ηηηηηη+++7. 设A 为4阶方阵，且秩()3R A =，*A 为A 的伴随矩阵，则*()R A =（ ）.A. 3B. 2.C. 1D. 08. 设12(1,1,1),T αα=T =(1,2,3)是线性方程组(0)Ax b b =≠的解，且R （A ）=2， 则Ax b =的通解为（ ）9. （12分）设有线性方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ-++=⎧⎪-+=⎨⎪-++=-⎩问：λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2) 无解;(3) 有无穷多解？并在有无穷解时求通解.10. 设向量组()()()TTTk 1,3,2,4,1,3,4,1321-=α-=α=α秩),,(321ααα=2，则k =__________。
(完整word)高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵试题及答案
矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。
答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。
答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。
答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。
答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。
第三章矩阵 第四章向量空间练习题
§3.1
1. 如果矩阵 X 满足 X+2A=B－X，其中
矩
阵
矩阵的运算练习题
⎛3 2 1⎞ ⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A= 0 3 2 ，B= 4 0 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ 3 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
求 X。 2. 已知矩阵
⎛1 3 0⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ ⎟ ，B= ⎜ 2 1 0 ⎟ ， ⎝ 0 3 1⎠ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
2. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．
⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ 1 1 −1 −1⎟ ⎜ ⎟ 0 （1） A= 2 1 . （2）A= ⎜ 。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 − 1 1 − 1 ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝1 −1 −1 1 ⎠
3. 设 A，B 分别是 m 阶，n 阶可逆矩阵，C 为 m×n 矩阵。
7. 设 3 阶矩阵 A 满足条件
Aα i = iα i
T T
( i = 1, 2,3) ，
T
其中列向量 α1 = (1, 2, 2 ) , α 2 = ( 2, −2,1) , α 3 = ( −2, −1, 2 ) 。试求矩阵 A。 8. 设 n 阶矩阵 A，B 满足条件 A+B=AB. （1） 证明 A - E 为可逆阵。
−1
1 0 M 0 0
0 2 M 0 0
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ M ⎟. ⎟ L n − 1⎟ L 0 ⎟ ⎠
L L
（2） 求A的第i行的代数余子式之和Ai1+ Ai2+ … + Ain . 6. 设A，B为 3 阶矩阵，将A的第 1 行的 （-3） 倍加到第 3 行得到A1 ， 将B的第 1 列乘以 （-3）
第4章-矩阵练习题
⎛ B ⎞
18．设 A 为 n 阶方阵,且 A = 1 ,则 r ( A) = ______________. 19. 设 n 维向量 α = ( a,0,",0, a ) , a < 0, E 为 n 阶单位矩阵 , A = E − αα , B = E +
T
T
逆矩阵为 B ,则 a = ______.
7. 设 n 阶阵 A 可逆,且 f ( A) = 0 ,其中 f ( x) = am x + am −1 x
m m −1
+ " + a1 x + a0 是一非零多项式,求 A−1 .
2
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 8．设 X = AX − A + E , 其中 A = 0 2 0 ,求矩阵 X . ⎜ ⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
* *
⎛k ⎜ 1 15. 设矩阵 A = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1
1 k 1 1
1 1 k 1
1⎞ ⎟ 1⎟ ,且 r ( A) = 3, 则 k = ______ . 1⎟ ⎟ k⎠
*
16. 设 A 是 n(≥ 3) 阶方阵, A 的各行元素之和为 0 ,而 A ≠ 0 ,则 r ( A) = _____ . 17. 设 A, B 是 n 阶方阵,且 r ( A) = r , r ( B ) = s 则 r ( A, AB ) = ________, r ⎜ ⎜ AB ⎟ ⎟ = _______ . ⎝ ⎠
⎛1 ⎜ 0 * 4. 设矩阵 A 的伴随矩阵 A = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝2
0 1 0 2
0 0 1 2
0⎞ ⎟ 0⎟ −1 −1 ,且 ABA = BA + 3E ,求矩阵 B 0⎟ ⎟ 8⎠
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵习题一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.2. 如果20,A =则0A =.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。
(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A - 3．以下结论不正确的是（ ）。
(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵。
4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）(A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 列元素全等7于零； (C ) BA 的第j 列元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C)若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ ）(A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =；8．以下结论正确的是（ ）(A) 如果矩阵A 的行列式，则0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ ）. （A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) 0nA = (B) A 是可逆矩阵 (C)0nA = (D)A 主对角线上的元素全为零 11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠ 12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14． A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； (D)*AA A =; 15．设是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L , 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L ,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（ ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对 18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B AC A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA - 20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ ）(A) ()A B CA CB +=+ (B)()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D)()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的对角线上的元素（ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零 23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L L L L L ，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（ ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题:①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价; ②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.三、填空题1．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，有2A =，则11()2*3A A --=2．设,A B 为4阶方阵，且3A =，则1(3)A --= , 21BAB -= 。
3．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，那么是()'AB 一个 阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为 .4.n 阶矩阵A 可逆⇔ ⇔⇔ ⇔ .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 的伴随矩阵*A = . 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .6．设0,1,2,i a i n ≠=L ，矩阵121000000000000n n a aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L LL L L L的逆矩阵为 。
7．设,A B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 . 8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则(2)B A C -=（ ） 9．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且2,3A B =-=则行列式A B += .11．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知,A a B b ==，则行列式AB = . 12．设A 为n 阶方阵，且0A ≠，则 在A 等价关系下的标准形为 .13. 设12221311A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（a 为某常数），B 为43⨯的非零矩阵，且0BA =，则矩阵B 的秩为 .四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2) 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭; (3) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(4) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．设033110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,2AB A B =+ ,求B . 3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,求11A .4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂 等矩阵的充要条件是.0==BA AB。