高等代数第四章矩阵练习题参考答案
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
高等代数第4章习题解
第四章习题解答习题4.11、计算（1）120313012410152(,,,)(,,,)(,,,)-+（2）15012101112(,,)(,,)(,,)+- 解：（1）15517203130124101532222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)-+=--- （2）195012101110922(,,)(,,)(,,)(,,)+-= 2、验证向量加法满足交换律、结合律。
证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,),n n n a a a b b b c c c αβγ=== 则 12121122(,,,)(,,,)(,,,)n nnn a a a b b b a b a b a b αβ+=+=+++ 11221212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n b a b a b a b b b a a a βα=+++=+=+ 121212()((,,,)(,,,))(,,,)n n n aa ab b bc c c αβγ++=++ 112212((,,,))(,,,)n n n a b a b a b c c c =++++111222(,,,)n n n a b c a b c a b c =++++++111222((),(),,())n n n a b c a b c a b c =++++++121122(,,,)((,,,))n n n a a a b c b c b c =++++121212(,,,)((,,,)(,,,))n n n a a a b b b c c c =++()αβγ=++3、证明性质4.1.5。
性质4.1.5的内容是：对任意n 维向量,αβ及数k ，有()()k k k ααα-=-=-，()k k k αβαβ-=-证明：设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==那么1212()()(,,,)((),(),,())n n k k a a a k a k a k a α-=-=---1212(,,,)((),(),,())n n ka ka ka k a k a k a =---=---1212((),(),,())((,,,))()n n k a a a k a a a k α=---=-=-其次1212()((,,,))(,,,)n n k k a a a k a a a k αα-=-=-=-最后：12121122112212121212()((,,,)(,,,))(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n n n n n k k a a a b b b k a b a b a b ka kb ka kb ka kb ka ka ka kb kb kb k a a a k b b b k k αβαβ-=-=---=---=-=-=-4、设123101010001(,,),(,,),(,,)εεε===，求证：对任意的3F α∈，在F 中都有唯一的一组数123,,a a a 使112233a a a αεεε=++ 解：设α的坐标为123(,,)a a a ，那么123123123000000(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a a a a α==+++=+123123000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a =++++=++ 123112233100010001(,,)(,,)(,,)a a a a a a εεε=++=++由于给定向量的坐标是唯一的，所以上面等式中的数123,,a a a 是唯一的。
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
高等代数第四章矩阵练习题参考答案第四章矩阵习题参考答案一、判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ,B ,有A B A B +=+、错、2. 如果20,A =则0A =、错、如211,0,011A A A ??==≠--??但、3. 如果2A A E +=,则A 为可逆矩阵、正确、2()A A E A E A E +=?+=,因此A 可逆,且1A A E -=+、4. 设,A B 都就是n 阶非零矩阵,且0AB =,则,A B 的秩一个等于n ,一个小于n 、错、由0AB =可得()()r A r B n +≤、若一个秩等于n ,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都就是非零矩阵矛盾、只可能两个秩都小于n 、5.C B A ,,为n 阶方阵,若,AC AB = 则.C B = 错、如112132,,112132A B C===------,有,AC AB =但B C ≠、6.A 为n m ?矩阵,若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使.00=sI PAQ 正确、右边为矩阵A 的等价标准形,矩阵A 等价于其标准形、7.n 阶矩阵A 可逆,则*A 也可逆、正确、由A 可逆可得||0A ≠,又**||AA A A A E ==、因此*A 也可逆,且11(*)||A A A -=、8.设B A ,为n 阶可逆矩阵,则.**)*(A B AB = 正确、*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====、因此()()*()(**)AB AB AB B A =、由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆,两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、选择题1.设A 就是n 阶对称矩阵,B 就是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的就是(B )、(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵,(B)为反对称矩阵,(C)当,A B 可交换时为对称矩阵、 2、设A 就是任意一个n 阶矩阵,那么( A)就是对称矩阵、 (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) TA A - 3.以下结论不正确的就是( C )、(A) 如果A 就是上三角矩阵,则2A 也就是上三角矩阵; (B) 如果A 就是对称矩阵,则 2A 也就是对称矩阵; (C) 如果A 就是反对称矩阵,则2A 也就是反对称矩阵; (D) 如果A 就是对角阵,则2A 也就是对角阵、4.A 就是m k ?矩阵, B 就是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零,则下列结论正确的就是(B )(A ) AB 的第j 行元素全等于零; (B )AB 的第j 列元素全等于零; (C ) BA 的第j 行元素全等于零; (D ) BA 的第j 列元素全等于零; 5.设,A B 为n 阶方阵,E 为n 阶单位阵,则以下命题中正确的就是(D )(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+- 6.下列命题正确的就是(B )、(A) 若AB AC =,则B C = (B) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (C) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (D) 若AB AC =,且0,0B C ≠≠,则B C = 7、A 就是m n ?矩阵,B 就是n m ?矩阵,则( B)、 (A) 当m n >时,必有行列式0AB ≠; (B) 当m n >时,必有行列式0AB = (C) 当n m >时,必有行列式0AB ≠; (D) 当n m >时,必有行列式0AB =、AB 为m 阶方阵,当m n >时,(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<,所以0AB =、8.以下结论正确的就是( C )(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =;(B) 如果矩阵A 满足20A =,则0A =;(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都就是可交换的; (D) 对任意方阵,A B ,有22()()A B A B A B -+=-9.设1234,,,αααα就是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,则方程组*0A x =的基础解系为( C )、(A)123,,ααα、(B)122331,,αααααα+++、(C)234,,ααα、(D)12233441,,,αααααααα++++、由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα?? ? ?=+= ? ???、因此(A),(B)中向量组均为线性相关的,而(D)显然为线性相关的,因此答案为(C)、由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解、10、设A 就是n 阶矩阵,A 适合下列条件( C )时,n I A -必就是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 就是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11.n 阶矩阵A 就是可逆矩阵的充分必要条件就是( D )(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠ 12.,,A B C 均就是n 阶矩阵,下列命题正确的就是( A )(A) 若A 就是可逆矩阵,则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 就是可逆矩阵,则必有AB BA = (C) 若0A ≠,则从AB AC =可推出B C =(D) 若B C ≠,则必有AB AC ≠13.,,A B C 均就是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,则有(C ) (A) ACB E = (B)BAC E = (C)BCA E = (D) CBA E = 14.A 就是n 阶方阵,*A 就是其伴随矩阵,则下列结论错误的就是( D )(A) 若A 就是可逆矩阵,则*A 也就是可逆矩阵; (B) 若A 就是不可逆矩阵,则*A 也就是不可逆矩阵; (C) 若*0A ≠,则A 就是可逆矩阵; (Ｄ)*.AA A =*.nAA A E A ==15.设A 就是5阶方阵,且0A ≠,则*A =( Ｄ )(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16.设*A 就是()ij n n A a ?=的伴随阵,则*A A 中位于(,)i j 的元素为(Ｂ )(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积与、17、设1111n n nn a a A a a =??L L L L L, 1111n n nn A A B A A ??=LL L L L ,其中ij A 就是ij a 的代数余子式,则(C )(A) A 就是B 的伴随 (B)B 就是A 的伴随 (C)B 就是A '的伴随 (D)以上结论都不对18.设,A B 为方阵,分块对角阵00A C B ??=?,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ??=?(B)**00A A CB B ??=(C) **00B A C A B ??=?(D) **0A B A C A B B ??= 利用*||CC C E =验证、19.已知46135,12246A B==?-,下列运算可行的就是( C ) (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20.设,A B 就是两个m n ?矩阵,C 就是n 阶矩阵,那么( D )(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21.对任意一个n 阶矩阵A ,若n 阶矩阵B 能满足AB BA =,那么B 就是一个( Ｃ )(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵、22.设A 就是一个上三角阵,且0A =,那么A 的主对角线上的元素( Ｃ )(A) 全为零 (B)只有一个为零（C ）至少有一个为零 (D)可能有零,也可能没有零23.设1320A ??=??,则1A -=( D ) (A) 1021136?-- (B)1031136??-???(C)1031126-(D)1021136?-24. 设111222333a b c A a b c a b c =??,若111222333222a c b AP a c b a c b ??=?,则P =( B ) (A) 100001020 (B)100002010 (C)001020100 (D)200001010??25.设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aa a ??=??LL L L L L L L L ,若矩阵A 的秩为1,则a 必为(A )(A) 1 (B)-1 (C)11n - (D)11n -矩阵A 的任意两行成比例、26、设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同、以上命题中正确的就是( D )(A) ①, ③、(B) ②, ④、(C) ②,③、(D)③,④、当AP P B 1-=时,,A B 为相似矩阵。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
线性代数第四章练习题答案
线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。
解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。
0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。
⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。
1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。
（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。
练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。
(完整word)高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数
习题5. 11.判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性•由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间•2 .全体正实数 R+,其加法与数乘定义为a 三b =ab k a =a k其中a,b三R ,k三R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间答是.设，，」••R .因为；.■ a ,b∙-R =∙ a 二b= ab ■- R ,.三R, a 三R = ■ a = a '三R ,所以R •对定义的加法与数乘运算封闭下面 -- 验证八条线性运算规律(1) a^b=ab=ba =b^a;(2) a ： J b ：J C= ab ：F c = ab c =abc =a bc =a：J b： J C ；(3) R •中存在零元素 1, - a ∙R ［有a二1 =a 1 =a ；⑷对R冲任- 「元素a ,存在负元素a~ ≡ R n,使a㊉a」=aa」=1 ;(5) 1 a =a1=a ; ⑹∙∖A'a a J(7) ∣> - .■- f a - =a 'a' =a '二a" -，a 二「a ;(8) 工-'a 二b) i (ab )=ab =a b =a 二 b a - ∙ b.所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间3.全体实n阶矩阵，其加法定义为A ：.门B=AB -BA按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.TA 二 B =AB -BA , B 二 A=BA-AB= -(AB -BA)A 二B与B- A不一定相等故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1）数乘不构成实数域上的线性空间• 4 .在P2渋中，W ={A∕∣A∣ =0, A乏P2邂},判断W是否是P2涙的子空间.答否.的线性相关性解设x1A1-X2A2- X3A3■ x4A4=O ,知, a = -3且a = 1时，方程组只有零解,这组向量线性无关;a =七或a =1时，方程组有非零解，这组向量线性相关2 •在R中，求向量：在基：-1, ：-2, ：-3, >4下的坐标.其中解设：∙ = X1■ X2■ x3=3 ■ X4M4,全体实n阶矩阵按定义的加法与例如'1 2和''1 1的行列式都为零, U 2丿13 3丿圭封闭.3的行列式不为零,也就是说集合对加法不5(ax1亠X2亠X3亠X4=0 即X i ' ax? X3 X4 =0 ∣X1■ X2■ ax3■ X4=0J X1X2X3 ax 4= 0 由系数行列式a III IaII IIaI IIIa=(a 3)( a -1)3由：'1 ：2爲爲2 1 0 : ∖・0『10 0 0 :1 1 1 1 -0 初等行变换0 1 0 0 -0«)=≡ ------------- ⅛≡0 3 0 -1 -0 0 0 1 0 --1U 1 0 -1 「丿0 0 1 -0丿1—1-a—1 -A1得〉=X - ,3∙故向量：•在基?1 , :∙2, ：'3, :• 4下的坐标为（1,0，- 1，0 ）•得_7 二• 11〉2 -21： 3■ 30 :∙4.故向量:■在 基:∙1, :∙2, :∙3, :∙4下的坐标为(-7 , 11, -21 , 30)（1） 求由基（I ）到基（∏）的过渡矩阵；<1、（2） 已知向量α在基of 1,α2,o （3下的坐标为 0 ,求α在基3下的坐标；C 1丿（3） 已知向量P 在基B 1,月，B 3下的坐标为-1求P 在基O 1,G 2,O 3下的坐标；3.在P 2 2中求解设Ot=X α +x c(十X α +x α则有( X l -.-0X 2 -「X 3 -「X 4 = 2X 1-X 2-X 3-.-Ox 4=3I x 1 -.-χ2 -.-Ox 3 -.-Ox 4 =4 X 1-.^0x 2-.^0x 3-.-Ox 4- -7L11 =2、(10 0 0 :-7 X -A 0a:3初等行变换10 :11≡--------- >a0 0:40 1 0 :-21 0 0 ≡ -7 I,01:30R =2 ，A3 ，A4I 1J1 1■1 0 4 •已知R 3的两组基（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量解(1) C是由基（）到基（∏）的过渡矩阵,由：1, ：2, ：3 - -'1^-2√-3 C 2厂3广1_2323-2(2)首先计算得C =0-10131(22)二Y=4k f52 —3k月=k 0 k为任意常数•√ J5 .已知P[x]4的两组基(I) ：f1(x) =1 x X2■ X3, f2(x) = -X ■ X2, f3(x) =1 —X, f4(x) =12 3 2 3 3 2 (∏): g1(x)=x 亠X 亠X, g2(χ)=1 亠X 亠X, g3(χ)=1'χ'χ,(1) 求由基(I)到基(∏)的过渡矩阵；(2) 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).解(1 )设C是由基(I)到基(∏ )的过渡矩阵,由g1,g2,g3,g^ = f1, f2, f3, f4C 知基(I)到基(∏)的过渡矩阵为C(1 1 1、1 (1 2 3、广2 3 4、— 1 0 0 2 3 4 = 0 _1 01 _1 1 1 4 3丿_1 0 _1J J 于是：•在基：1, ：2, ：3下的坐标为C -(3)加在基J1,J2,-5下的坐标为C⑷设Y在基B l, 02, 03下的坐标为Y 2Iy3」*2 3 4 ' ,z-y1 X据题意有0 -1 0 y 2 =→2I-1 0-1J l√3丿l-y3 J 解此方程组可得Z y Iy 2 = kI y3」k为任意常数./10 1 1 :01 11、(10 0 -:1 1 1 0 X1 -1 -1 0 - :1 0 1 1 初等行变换0 1 0 0 :0 0 -1 1 11 0 0 -:1 1 0 10 0 1 0 :0 11 -20 -111丿I 00 1≡ :-1-A-13丿-2 -1(2)设多项式f(x)在基(I)下的坐标为(x 1, X 2,x 3, X 4)T•习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间I 3x 1∙χ2—6X 3 —4X 4 ∙2X 5 =02x 1■ 2 X 2—3X 3 —5X 4 "∙3X 5 =0X 1 -5x ? -6X 3 ι8 X 4 -6 X 5 — 0R[X ]3同构•有(1, x, x '01 1 1 ] q1 1 A 1 011 231 -1-1= (1,X, X ， X )1 10 11 1 0 011°」a°」据题意有0 1 1 0 0 -1-11 因为I C -E =0 1 0 -2-1-1-121 1 01 1 0 = -1-1 1 = 0 0 1 =11-21-2所以方程组(*)只有零解，则f(χ)在基(I下的坐标为 (0, 0, 0, O)T,所以 f(x) = 0C .,χ3)X 2X3证明设线性方程组为 AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换q-5-68-6'31-6-42初等行变换A =22-3-53------ >04375d-5-68-6 J0000■■■ R(A) =2.线性方程组的解空间的维数是5- R(A) =3 .实系数多项式空间 R[χ]3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空 间R[ x]3同构.习题5.41.求向量〉=1, -1,2,3的长度.解 IGl = J l 2 +(_1)2 +22 +32 =曲.2.求向量= 1, -1,0,1与向量I= 2, 0,1, 3之间的距离.解 d( [J=：.—] =. (1 一2)2 • (_1 _0)2 • (0 -1)2 ■ (1 _3)2 = .. 7 . 3 .求下列向量之间的夹角 (1 ) ：•=1,0,4,3 ,亠-1,2,1, -1(2) ? = 1,2,2,3 ,1 = 3,1,5,1(3) ：•= 1,1,1, 2, 1 = 3,1, _1,0解(1) ； :-Λ =1(_1) 0 24 1 - 3 ( _1) =0, . a,.2(2)g , - -1 3 2 1 H-2 5 3 1 =18 ,18 6 18I α∣ = J +1 +1 +4 =J7 , IlPl = J9 +1 +1 +0 ,3.设:,'-,为n 维欧氏空间中的向量，证明：dG-,≤dC ∙, ) d(,')证明因为 I(X- - β∣∣2 =Ilet 一了 十了 - β∣∣2 =(a_Y + Y_B ,a_Y+Y_B)=1 3 T 1 亠1(一1) +2 汉0 =35IU . =arccos= （：•一，〉一）（•一，一J •（一一）W - ■-）= （：•一，「一）• 2（- J •（；：—「小—22「•一 - 22所以S卜-|)2，从而 d C- , J - dC∙ , ) ■ d( , ■).(2 )将∙1, ∙2, '-3单位化习题 5.51.在R4中，求一个单位向量使它与向量组、乂1 二1,1 ,- 1, -1I , 、2 2 二1, - 1,-1,1I , 、乂3 =1,-1,1, _1 正交. 解设向量：• = （x1, X2,X3, X4）与向量、右，∙√2,'^3正交,(：■,：■I)=0则有C-，>2 ) =0（二，：'3）=0I X1即X1X1X2- x3- X4= 0-X2 - X3∙ X4 = 0 (* ).-x2∙ X3- X4= 0齐次线性方程组（*）的一个解为X l= X2 = X3 =X4=1.取〉=（1,1,1,1）,将向量「单位化所得向量：■1111=(-,-,-,-)即为所求.2 2 2 2将R3的一组基（1 ）正交化，取=「3(it):L 1-O—- 0 - (_1) • (-1) 13 3T2Q2T2'、、2 J1；“1= .'11^√62√61J 46则■:1*, ζ,鳥为R 3的一组基标准正交基.3 •求齐次线性方程组f x 1 -.-χ2 —X 3 -「X4 —3x 5 = O的解空间的一组标准正交基分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基, 再将其标准正交化即可•解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11-11-311-101 11-101* 0 01 ^4可得齐次线性方程组的一个基础解系由施密特正交化方法，取将'-1, ^-2, '-3单位化得单位正交向量组CP'1、S12 = 1,2 = 04I 0 J5I 1 J1S1/2一1/311/2—1/30 b 』2 +1β =1IP 3 =“3 —丄 3 + 丄 02 =1 /32234 I 0」<0 JJ 1 J"1:* _ 1 1- 2■3X 1亠 X 2- X 3亠 X 5 = 0所以只需求出一个基础解系因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以是解空间的一组标准正交基3.设0f 1,α2,…^n是n维实列向量空间R n中的一组标准正交基,A是n阶正交矩阵证明：A]1,A:-，…，Ar也是R n中的一组标准正交基•证明因为α1,α2,…，αn是n维实列向量空间R n中的一组标准正交基，所以(0f j,α j) =o√α j = J ”0i 式j1 i = j(i ,匕17 2 ,n又因为A是n阶正交矩阵，所以A T A=E .则(A Ot i,Aαj) =(A a i)T(Ao(j)=ot T(A T A)Ot j ZT= Ot i O( j =■«p^0 i ≠j(i, j =1,2,…，n)1 i = j故A ：1, A ：2Λ , A - n也是R n中的一组标准正交基.5•设c（1, Ot2, α3是3维欧氏空间V的一组标准正交基，证明：1 =1（2 ：1 • 2：匕-宀），：2 =1（2 ：1 2 ∙ 2： 3）, ：3 =1（＞1 -2〉2 -2亠）333也是V的一组标准止父基证明由题知,z22 1 '1（R，A，応）=（%企，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.2020/3/278．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+- 6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.2020/3/27（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B) 1n kj ki k a A =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -2020/3/2720．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
相似矩阵的秩相等。
齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。