同角三角函数的基本关系-课件ppt
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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2同角三角函数的基本关系-课件
而且 OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2 =1,
2
2
sin
cos
1
因此，x +y =1，即
2
2
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问：你能证明这个结论吗？
当 的终边与坐标轴重合时，
这个公式也成立.
sin cos 1
2
2
R .
探究二：同一个角的不同的三角函数值之间的关系
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解
（2）关系式中的角要相同，与角的情势无关.
sin 2 15 cos 2 15 1；
sin 2
tan 2；
cos 2
sin 2 ( ) cos 2 ( ) 1．
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形
学以致用
例3：
有学生的做法是：因为 tan 3 ，所以
sin
2π
3
2π
1
, cos
3
2
3
2
2π
，则
3
请问这样做对吗？为什么？
学以致用
例3：已知 tan 3 ，求 sin ,cos 的值．
解： 因为tan 0,为第二或第四象限角，
如果 为第二象限角，那么
学以致用
例2
3
sin
为第三象限角，求 cos ，tan 的值.
已知
,
5
解：由
2
sin cos 1 ，得 cos 2 1 sin 2 1 3 16 ，
2
2
sin
cos
1
因此，x +y =1，即
2
2
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问：你能证明这个结论吗？
当 的终边与坐标轴重合时，
这个公式也成立.
sin cos 1
2
2
R .
探究二：同一个角的不同的三角函数值之间的关系
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解
（2）关系式中的角要相同，与角的情势无关.
sin 2 15 cos 2 15 1；
sin 2
tan 2；
cos 2
sin 2 ( ) cos 2 ( ) 1．
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形
学以致用
例3：
有学生的做法是：因为 tan 3 ，所以
sin
2π
3
2π
1
, cos
3
2
3
2
2π
，则
3
请问这样做对吗？为什么？
学以致用
例3：已知 tan 3 ，求 sin ,cos 的值．
解： 因为tan 0,为第二或第四象限角，
如果 为第二象限角，那么
学以致用
例2
3
sin
为第三象限角，求 cos ，tan 的值.
已知
,
5
解：由
2
sin cos 1 ，得 cos 2 1 sin 2 1 3 16 ，
同角三角函数的基本关系式课件
利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
同角三角函数的基本关系ppt课件
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
5.2.2同角三角函数的基本关系 课件
3 5
，且
是第三象限角，
求 cos, tan 的值。
解：因为 sin 2 cos2 1 ，所以
cos2
1
s in 2
1
3
2
16
5 25
因为 第三象限角，所以
cos 4
5
tan sin 3 cos 4
变式1.已知sin 3 ,求cos, tan的值.
5
先定象限,后定值 解 :sin 3 0且sin 1
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
同角三角函数的基本关系：
如图，设 是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，则
的终边 y
P(x,y) 1
sin y cos x
-1 M o
1x
tan y (x 0)
x
-1
△OMP直角三角形，而且OP=1。
由勾股定理有 OM2+MP2=1。
因此，x2+y2=1，即 sin2 cos2 1。
由三角函数定义有
tan
sin cos
(
2
k , k
Z )。
同角的三角函数的基本关系:
1.平方关系 2.商数关系
sin2 cos2 1
当 k ,(k Z )时
商数关系: tan sin ( k , k Z )
cos
2
(二)基本关系式的应用:
(1)求值 先定象限,后定值 (2)化简 (1)重视对“1”变形 (3)证明 (2)弦切互化
例析
例1.已知 tan 2，求 sin cos . sin cos
思考1：对于本题，你能想到哪一些解决的思路? 思路一：
同角三角函数的基本关系 课件
3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
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[规律总结] 化简三角函数式常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函 数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式， 然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或 构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
＝1＋sinα1＋cosα(cosα＋1－sinα－sinα－1＋cosα)
＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα ＝右边．所以原式成立．
证法三：因为1＋cossiαnα＝1－cossiαnα＝c1o＋sαs＋inα1＋－csoinsαα， 1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα＝s1i＋nαs＋inα1－＋ccoossαα， 所以1＋cossiαnα－1＋sicnoαsα＝c1o＋sαs＋inα1＋－csoinsαα－s1i＋nαs＋inα1－＋ccoossαα ＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα .
三角函数式的化简
化简：(1) 1－2sin40°cos40°； (2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β； (3)stainn22αα－－ctaon1s22αα＋co1s2α－sin12α.
[ 思 路 分 析 ] (1) 是 对 平 方 关 系 的 变 形 应 用 ， 由 于 1 ＝ sin240° ＋ cos240° ， 则 1 － 2sin40°cos40° ＝ (sin40° － cos40°)2，要去掉根号，应注意符号，cos40°>sin40°.
[规范解答] (1)分子、分母同时除以cosα(cosα≠0)得，
2sinα－cosα 2sisninαα＋－2ccoossαα＝sinαc＋os2αcosα＝2ttaannαα＋－21＝34，故选B．
cosα
(2)将分母看作1＝sin2θ＋cos2θ，
原式＝sin2θ＋sisnin2θθ＋cocsoθs－2θ2cos2θ
同法可判断选项 D 也不成立．若选项 C 成立，则存在 α＝ π6＋2kπ，k∈Z 满足，故选项 C 成立．
3．已知 tanα＝－12，则si2ns2iαn－αccoossα2α的值是(
)
A．43
B．3
C．－43
D．－3
[答案] [解析]
A 原式＝ta2nt2aαn－α 1＝2－×12－2－121＝43.
[规律总结] 解答此类题目的关键在于充分借助已知角的 三角函数值，缩小角的范围．在解答过程中如果角α所在象限 已知，则另两个三角函数值唯一；若角α所在象限不确定，则 应分类讨论．需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出， 应就α所在象限讨论．
若sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值． [解析] 由已知可得ssiinnα2α＋＋3ccooss2αα＝＝01，，
π 2
＋kπ，k∈Z)，该式子
sinα
可变形为①sinα＝t_a_n_α_c_o_sα__；②cosα＝___t_an_α___.
1．已知α是第四象限角，cosα＝1123，则sinα等于( )
A．153
B．－153
C．152 [答案] B
D．－152
[解析] ∵α是第四象限角，
∴sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－11232＝－153.
化简： 1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα2(0<α<π2)． [分析] 要灵活使用“1”，同时注意开方时符号的选取．
[解析] 原式＝ cosα2－sinα22＋ cosα2＋sinα22 ＝|cosα2－sinα2|＋|cosα2＋sinα2|， ∵α∈(0，π2)，∴α2∈(0，π4)． ∴cosα2－sinα2>0，sinα2＋cosα2>0. ∴上式＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2＝2cosα2.
三角恒等式的证明 证明：1＋cossiαnα－1＋sicnoαsα＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα . [思路分析] 本题有多种证明方法，其共同点是“盯住目 标，逐渐转化．”
[证明] 证法一：左边＝cosα1＋＋csoisn2αα－1s＋incαo－sαsin2α ＝c1o＋sαs－insαi＋nαco1s＋α＋sisniαn＋αccoossαα ＝1＋sin22α＋cocsoαs－2αs＋in2αsin1α＋＋si2ncαo＋sαc＋os2αsinαcosα ＝2cosα－ 1＋sinsαinα1＋＋csoisnαα＋2 cosα＝12＋cosisnαα－＋scinoαsα ＝右边． 所以原式成立．
(2)∵cosα＝187>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时，sinα＝ 1－cos2α ＝ 1－1872 ＝ 1157，∴tanα＝csoinsαα＝185； 当α是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－1872＝－1157， ∴tanα＝csoinsαα＝－185.
课堂典例讲练
利用同角三角函数的关系求值
(1)若sinα＝－
4 5
，且α是第三象限角，求cosα，
tanα的值；
(2)若cosα＝187，求tanα的值．
[思路分析] (1)解答本题可先利用sin2α＋cos2α＝1求出 cos2α的值，然后再利用α在第三象限得cosα＝－ 1－sin2α 求出 cosα的值，最后利用tanα＝csoinsαα解答本题．
＝tan2tθa＋n2θta＋nθ1－2＝4＋4＋2－1 2＝45，故选D．
(3)∵ssiinnθθ－＋ccoossθθ＝ttaannθθ＋－11＝2，∴tanθ＝3. ∴sinθcosθ＝sins2inθ＋θcocsoθs2θ＝tanta2θn＋θ 1＝130. [规律总结] 关于 sinα，cosα 的齐次式的求值问题 关于 sinα，cosα 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sinα，cosα 的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为： 可用 cosnα(n∈N＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原 式化为关于 tanα 的表达式，再整体代入 tanα＝m 的值，从而完 成求值任务．
证法二：左边＝11＋ ＋ssiinnαα＋ ＋ccoossαα1＋cossiαnα－1＋sicnoαsα
＝1＋sinα1＋cosα·1＋sin1α＋＋scinoαsαcosα －
1＋sinα＋cosαsinα
1＋cosα
＝1＋sinα1＋cosα·cosα＋1＋coss2iαnα－sinα－1＋sinc2oαsα
4．已知 α 是第二象限角，tanα＝12，则 cosα＝________. [答案] －255 [解析] 由co1s2α＝1＋tan2α
得co1s2α＝1＋14＝54.
∴cos2α＝45.
∵α 是第二象限的角，
∴cosα<0，∴cosα＝－2
5
5 .
5．化简 1＋2sin4cos4＝________. [答案] －(sin4＋cos4) [解析] 原式＝ sin24＋2sin4cos4＋cos24 ＝ sin4＋cos42＝|sin4＋cos4| ＝－(sin4＋cos4)(∵sin4<0，cos4<0)．
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β ＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β ＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β ＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝cos2β＋sin2β＝1. (3)原式＝cssoinisnαα2α2－－ccosoisn2sααα2＋ssinin2α2α－·ccooss2α2α ＝sin2αcsoisn24αα－sinc2oαs－4αcos2α＋ssinin2α2α－·ccooss2α2α ＝ssinin2α2α＋·ccooss2α2α＋ssinin2α2α－·ccooss2α2α＝sin22sαinco2αs2α＝co2s2α.
[规律总结] 证法一是由左到右，以右式为果，左式通 分 ， 分 子 因 式 分 解 以 产 生 因 子 cosα － sinα. 此 时 ， 分 子 还 缺 少 “2”这个因子，多余1＋sinα＋cosα这个因子，故分子分母同乘 2，并尽量设法使分母产生1＋sinα＋cosα，以便约分．证法二 是因右式分母有因子1＋sinα＋cosα，故将左式分子分母同乘1 ＋ sinα ＋ cosα. 证 法 三 中 证 明 的 关 键 是 使 左 、 右 两 边 变 为 同 分 母，而1＋sinα＋cosα是最简形式，故想到利用等比性质化简为 同分母．
求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2. [证明] 证法一：左边＝1＋1－2sinα＋2cosα－2sinαcosα ＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα ＝(1－sinα＋cosα)2＝右边． 证 法 二 ： 右 边 ＝ 1 ＋ sin2α ＋ cos2α － 2sinα ＋ 2cosα － 2sinαcosα ＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα) ＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边．
已知s3icnoαs＋α－3csoinsαα＝5，则 sin25
B．－25
C．－2
D．2
[答案] A
[解析] 原式化为3ta－nαt＋anα3＝5，解得 tanα＝2.
∴sin2α－sinαcosα＝sins2inα2－α＋sincαo·sc2oαsα＝ta1n＋2α－tant2aαnα＝25.
有tanα＝
sinα cosα
.这里的两个三角函数关系式反映着三角函数关系
的美妙，不过，现在只是对α为锐角成立，若α为任意角还成立
吗？若成立，它们将有哪些重要作用？本节的学习将使你开拓
认知的新天地．
同角三角函数的基本关系式