正、余弦定理、面积公式及其应用(解三角形)

正、余弦定理、面积公式及其应用（解三角形）

一、正弦定理

1、2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为外接圆半径）

2、正弦定理公式变形

①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；

②

sin sin a b A B =

；sin sin b c B C =；sin sin a c A C =； ③sin sin a A b B

=；sin sin b B c C =；sin sin a A c C =

④::sin :sin :sin a b c A B C = 二、余弦定理

1、2222cos a b c ab A =+- 2222cos b a c ac B =+-

2222cos c a c ab C =+-

2、余弦定理变形

222

cos 2b c a A bc +-=

222

cos 2b a c C ab

+-=

三、面积公式

111

sin sin sin 222

s ab C ac B bc A ===

四、常见结论

1、A B C π++=

2、sin()sin A B C +=

★3、sin sin A B A B a b >⇔>⇔> 五、在ABC ∆中已知,a b 和A 时解的情况 原理：1、大边对大角 2、sin sin b A

B a

= 当A 为锐角时

①if sin sin 1b A a b =⇒=⇒三角形有一解 ②if sin sin 1b A a b b <<⇒<⇒三角形有两解 ③if a b ≥⇒三角形有一解 （大边对大角） 当A 为钝角时

① if a b >⇒三角形有一解 ②if a b <⇒无

解

题型一：正弦定理

1、在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b

解 ∵∠A=30°，a ＜c ， c ·sinA=3 3

2＜a ，

∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×12

3 = 3

2 ，

∴∠C=60°，或∠C=120°．

∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．

当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．

2、在△ABC 中，已知c=6，b=6 3 ,∠C=30°，求a

3、在△ABC 中，已知a=6，b=2 3 ,∠C=60°，求c

4、在△ABC 中，c ＝32，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 等于（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ．30°或150°

5、在△ABC 中，已知a= 2 ， b=2， ∠B=45°， 则∠A 等于 （ ） A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°

6、△ABC 中，已知===B b x a ,2,60°，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2

42<

42≤

cos 2a c b B ac

+-=

7、在△ABC 中，

2sin sin cos a A B b A +=，

求

b

a

的值

题型二：余弦定理

1、 在△ABC 中，16,4,cos 3

BC AB B ===，求AC

2、 在△ABC

中，2,43

B b a c π

==+=，求a 值

★3、在△ABC

中，如果0

120,C c ==

，

则（ ）

A 、a b >

B 、a b <

C 、a b =

D 、,a b 大小不确定

题型三：三角形形状的判断 （边⇔角） 1、 在△ABC 中，7,3,5a b c ===，判断三角形形状

2、 在△ABC

中::2:1)a b c =，判断形状

3、 在△ABC 中，5,7,8a b c ===，求最大角与最小角的和。

4、 在△ABC 中，2cos c a B =，判断三角形的形状。

5、 在△ABC 中， 2

2

2

sin sin sin A B C =+且

sin sin b B c C =，判断三角形形状。

6、 在△ABC 中，cos cos a A b B =，判断三角形形状

7、 在△ABC 中，已知22

tan tan a B b A =，判断形状

8、 在△ABC 中，222

222c a c ab =++，判断形状

9、 在△ABC 中，

2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++

（1）求A 的大小

（2）若sin sin 1B C +=，判断△ABC 的形状

题型四：三角形面积公式应用 1、在△ABC 中，3=AB

,1=AC ,∠A ＝30°，

则△ABC 面积为 （ ） A ．

23 B ．43 C ．23或3 D ．43或2

3 2、已知△ABC 的面积为

2

3

，且3,2==c b ， 则∠A 等于 （ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° 3、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ， 则△ABC 的面积为 （ ） A ．14 B ．142

C ．15

D ．152

4、（2011年新课标文科）已知在ABC ∆中， 120,7,5B AC AB =︒==，求ABC ∆的面积

5、在△ABC 中，已知2,3

c C π

==

，则

（1）若△ABC

,a b ； （2）sin 2sin B A =，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，满足(2)cos cos a c B b C -= （1）求B 的大小 （2

）若4b a c =+=，求三角形的面积。

7、在△ABC 中，满足2

2cos cos 02

A

A += （1）求A 的大小

（2

）若4a b c =+=，求三角形的面积。

题型五、正余弦定理综合应用 1、 在△ABC 中，若

sin :sin :sin 5:12:13A B C =，则

cos A = ．

2、在△ABC 中，,BC a AC b ==，,a b 是方程

2322=+-x x 的两个根，且

()1cos 2=+B A 。求：(1)角C 的度数； (2)AB

的长度。

3、 在△ABC 中，10=+b a ，cos C 是方程

02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的

最小值。

4、 已知△ABC 外接圆的半径为R ，

且

222(sin sin ))sin R A C b B -=-，求角C

的大小