湖南师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高二第二次月考数学试题
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试语文试卷(含解析)
湖南师大附中2024—2025学年度高二第一学期期中考试语文时量:150分钟满分:150分得分：一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
①对于“过去之事、眼前之事、将来之事”，新闻和文学都有自己不同的表现方式。
然而，在当今商业化的趋势下，各类叙事成了大众文化的重要内容，新闻报道也进入了叙事的时代——一个让人眼花缭乱的“新闻故事化”时代。
虽然“新闻故事化”未必不好，但新闻叙事和文学叙事有着本质的区别。
②有人曾戏言：文学是“人学”，新闻是“事学”。
就文本而言，新闻与文学是两个不同类别的人文学科。
新闻反映的是客观事实，而文学表达的是主观情感。
从叙事内容来看，文学叙事的基础是“母题”，新闻叙事的基础是“事实”。
韦斯坦因认为文学叙事的母题数量和结构相对稳定，主要可以归结为生与死、爱与恨、美与丑三项二元组合结构，由此对应的基本题材就是战争、爱情与世俗生活，绝大部分文学作品的叙事主题都是由此产生的变体。
③文学叙事主题大多以情感发展为主线，通过性格、感情冲突塑造人物形象。
文学叙事的母题不论生与死、爱与恨还是美与丑，都带有强烈的感情判断色彩。
文学作品在安排情节时需要理性地建立大家的常识性认识，但感性是文学打动人的核心因素，文学叙事的成功与否在很大程度上取决于这种感性叙事能否充分激发读者的代入感和感情共鸣。
文学叙事作品中的“事”一般而言是虚构的，亚里士多德说：“诗人的职责不在于描述已发生的事，而在于描述可能发生的事，即按照可然律或必然律可能发生的事。
”而新闻作品所叙之事，依据新闻的本质，则是已经发生和正在发生的事，即事实。
因此，新闻叙事应具有客观真实的特点。
新闻叙事要求叙事者从理性的态度出发，诉诸受众的内容以信息为主，用客观事实表现社会或人物状态。
当然，新闻报道中也会有感性的描写、刻画，但其目的是让新闻叙事更生动、真实，具有更强的感染力。
④再者，文学叙事主题通常具有较强的个人化特征，即叙事者对叙事文本传达或是否需要传达某个内容给读者并不在意，更多是叙事者个人意识和情感的宣泄。
2023年高考数学轨迹问题的9种方法答案和解析
1.（北京市中国科学院附属实验学校 2020-2021 学年高二期中）已知坐标平面上点 M ( x, y ) 与
两个定点 M1 (26,1) ， M 2 (2,1) 的距离之比等于 5．
（1）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为 C ，过点 A(2,3) 的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8，求直线 l 的
（
）
A．直线
B．圆
C．抛物线的一部分
D．椭圆
知识点二：直接法求轨迹
可以直接列出等量关系式
（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的
距离公式、直线斜率公式等。）
（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
简化为：设点----列式---化简----去掉“多点”或者补上“少点”
（2，0）。求过点 A 且和◎B 相切的动圆圆心 P 的轨迹。
2
2.（天津市第三中学 2020-2021 学年高二上学期）已知圆 M : x 2 y 2 2 y 7 0 和点
N 0,1 ，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E.
（1）求曲线 E 的方程；
5
（3）在（2）的条件下，若过点 , 0 的直线 m 与曲线 W 有两个交点，求直线 m 的斜率
2
的取值范围.
知识点六：参交轨法
交轨法；轨迹交点法。
1. 动点满足第一个条件。求出对应的含参方程。用参数 t 表示。
f（x，y，t）0
=
2. 动点满足第二个条件。求出对应的含参方程。用同一参数 t 表示。
（1）求曲线 C 的方程；
（2）已知 A(2, 0) ，过点 F 的动直线 l 与曲线 C 交于 B ， D 两点，记 AOB 和 △AOD 的面积
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题(内容： 必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i＝A ．－2iB .12i C ．0 D ．2i2．下列选项叙述错误的是A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．若命题p ：x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0C ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件4．“k >4”是“方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是 A.12 B.13 C.14 D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A ．870B ．30C ．6D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝1 10．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，若f (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(－∞，－22)D ．(－∞，－22] 答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答 案11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________． 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f (x )，若函数f (x )在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x －1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a ∈R )．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：(平均每天喝500 ml已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.15(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交抛物线C 于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与抛物线C 是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．22.(本小题满分13分)已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝a ln x .(1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C 【解析】根据f ′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f ′(x)＝0的点可以排除B .10．C 【解析】f ′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a<⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a ∈R )定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cosπ3y ＝3＋t sin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分)15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分)补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：K 2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .(2分) 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(3分) 所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p，(5分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分)(2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分)即x ＝2t p(y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f ′(x)＝x(2＋cos x)，令f ′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e＝53. 19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)， 由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f ′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分)由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k 1＋2k2.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分)若存在满足题设的Q 点，则MQ ⊥DP ，由MQ →·DP →＝0， 整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h ′(x)＝x ＋a x ≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分)(2)不等式f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0等价于x 0＋1x 0<a ln x 0－a x 0，整理得x 0－a ln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －a ln x ＋1＋ax ，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分)由m ′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2. 因为x>0，所以x ＋1>0，即令m ′()x ＝0，得x ＝1＋a.①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －a ln (1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<a ln (a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln (a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ， 因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分) ③ 当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减，只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1. 综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。
师大附中2020-2021学年度高二第一学期第二次大练习(10月月考)数学试卷
湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期第二次大练习数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知对数函数y ＝log a x （a ＞0，a ≠1）的图象经过点P （3，1-），则幂函数a x y =的图象是A ．B ．C ．D ．2．设m 为给定的实常数，命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0，则“m ≥1”是“p 为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列结论中正确的是A ．椭圆14522=+y x 的焦点坐标是（3±，0）B ．双曲线13422=-x y 的顶点坐标是（2±，0）C ．抛物线x y 122-=的准线方程是3=x D ．直线0143=+-y x 与圆()()42122=-++y x 相交4．已知△ABC 的面积为233，︒=60A ，且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长为A ．75+B ．105+C ．195+D ．125．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是A ．成绩在[70，80)内的考生人数最多B ．不及格(60分以下)的考生人数约为1000人C ．考生竞赛成绩平均分的估计值为70.5分D ．考生竞赛成绩中位数的估计值为75分6．已知△ABC 是边长为3的正三角形，点M 是AB 的中点，点N 在AC 边上，且NC AN 2=，则BN CM ⋅=A ．23-B ．23-C ．233-D ．29-7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆O ：1222=+y x 与C 的一个交点，且3=MF ，则C 的标准方程是A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x8．已知四棱锥S ﹣ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是经过球心O 的正方形，当该四棱锥的体积取最大值时，其表面积为344+，则球O 的体积等于A ．π324B ．π328C ．π3216D ．π3232二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，则下列说法中正确的是A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α10．对于函数f （x ）＝cos （x 3π+），下列结论正确的是A ．f （x ）的一个周期为π2-B ．f （x ）在 ⎝⎛2π，)π上单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x ＝38π对称D ．6π=x 为f （x π+）的一个零点11．设双曲线C ：12222=-by a x (0>a ，0>b )的右焦点为F ，直线l 为C 的一条斜率为正数的渐近线，O 为坐标原点.若在C 的左支上存在点P ，使点P 与点F 关于直线l 对称，则下列结论正确的是A ．bPF 2=B ．△POF 的面积为ab C ．双曲线C 的离心率为3D ．直线l 的方程是xy 2=12．已知函数f （x ）＝()⎩⎨⎧≥-<--03032x x f x x x ，，，则下列结论正确的是A ．f （x ）在区间[4，6]上是增函数B ．f （﹣2）+f （2020）＝4C ．若函数y ＝f （x ）﹣m 在（﹣∞，6）上有6个零点x i （i ＝1，2，…，6），则∑=61i ix ＝9D ．当311-<<-k 时，关于x 的方程f （x ）＝kx +1恰有3个实根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．使{1，2}=M {1，2，3}成立的集合M 共有个．14．已知a ，b 为单位向量，且a ⊥()b a 2+，则向量a 与b 的夹角为．15．已知0>a ，0>b ，且6=+b a ，则31+++b a 的最大值为．16．已知点A (1，0)，B (1-，0)，动点M 满足：直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值m ()0≠m ．（1）若点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去点A 、B )，则m 的取值范围是；（2）若点M 的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A 、B )，则m =．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）设函数f （x ）＝sin （6πω-x ）+sin （2πω-x ），其中0＜ω＜3，已知f （6π）＝0．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移4π个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在区间[4π-，43π]上的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝4，当n ≥2时，n n n a a 221=--．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：S n ≤()*N ∈-n a n 42．某工厂生产不同规格的一种产品，根据统计分析，其合格产品的质量y （g ）与尺寸x （mm ）之间的相关关系可用回归模型y ＝cx b （b ，c 都为正常数）进行拟合．现随机抽取6件合格产品，其检测数据如下表：尺寸x （mm ）384858687888质量y （g ）16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比xy0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现从所抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件产品均为优等品的概率；（2）经计算，6.24ln 61=∑=i ix，3.18ln 61=∑=i iy，()4.101ln 612=∑=i ix ，3.75ln ln 61=∙∑=i iiyx ，求y 关于x 的回归方程．附：对于样本数据（u i ，v i ）（i ＝1，2，…，n ），其回归直线a u b vˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()(()∑∑∑∑====--=---=ni ini i i ni ini i iu n uv u n vu u uv v u ub1221121ˆ，u b v aˆˆ-=．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求当AE 为何值时，二面角D 1﹣EC ﹣D 的大小为45°？21．（本小题满分12分）新冠肺炎疫情的发生促进了医药科研的发展．某医药研究所研发了一种治疗新冠肺炎的新药，经临床试验，该药物在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，且每服用m （1≤m ≤4且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为y ＝mf （x ），其中f （x ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+.8624,60410x x x x，，（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，在有效治疗时间末端再服用m 个单位的药剂．要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，求m的最小值．如图，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，A 、B 为椭圆长轴的两个端点，F 为椭圆的右焦点．已知椭圆的离心率为23，且|AF |•|BF |＝4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 是椭圆C 上不同于A ，B 的一个动点，直线AM ，BM 分别与直线x ＝6相交于点D ，E ，求|DE |的最小值．。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学(理)试卷
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞2．已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( ) A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．若平面区域30,{230,230x y x y x y +-≥--≤-+≥夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） ABC．2D5．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.97．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13788．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =（ ）A ．8+B ．8-C ．12D ．49．点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足||2||MA MB =，记动点M 的轨迹为曲线Γ，若曲线Γ上两点1M 、2M满足1M AB △面积的最大值为8，2M CD △面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．210．如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2BC ．2+D 11．已知函数()22ln f x x x =-与()()()sin 0g x x ωϕω=+>有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()g x = A ．sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．sin 2x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭12．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）A B C D ．0二、填空题13．定积分=⎰____________.14．在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为_________.15．若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__________16．点M 为棱长是1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________三、解答题17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积.18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足~(218,140)X N ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19．如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且EA ED =，O 是线段AD 的中点，过E 作直线//l AB ，F 是直线l 上一动点.（1）求证：OF BC ⊥；（2）若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B OFC --的余弦值.20．已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y=x ﹣2于M 、N 两点，求|MN|的最小值．21．已知函数()2ln f x x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有()ln 215ln 2g t t <<. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-. (1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a b a b +≥++.参考答案1．A 【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】 解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2．A 【分析】通过c ＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c 的值不一定小于0，判断必要性即可． 【详解】已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”时，函数与x 轴有两个交点，所以“0x R ∃∈，使()00f x <”成立.而“0x R ∃∈，使()00f x <”.即20x bx c ++<，所以240b c ∆=->，即24b c >，c 不一定有0c <，如2320x x ++<.综上，函数()2f x x bx c =++.则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的充分不必要条件；故选A . 【点睛】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力． 3．A 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为4233log 8log 222a ===，0.40.4log 8log 10b =<=，0.40.53222c =<=<，所以b c a <<， 故选A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1. 4．B 【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30x y x y -+=+-=得(1,2)A ，由230{30x y x y --=+-=得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即AB ==B ．考点：线性规划． 5．C 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题. 6．A 【解析】试题分析：根据程序框图：111,1122i S ===-⨯；1111112,1112232233i S ==-+=-+-=-⨯；；当1,11i n S n ==-+．当3n =时，13144S =-=；当4n =时，14155S =-=；当9n =时，1911010S =-=；当171110n -=+时，73n N =∉，所以选A ．考点：1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．7．C 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…，易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C 【详解】 由题意1122OM OA OB =+，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又圆的半径为4，4AB，则,OA OB 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=，2216OA OB ==，所以12OC OM ⋅=．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中. 9．C 【分析】根据题意求得动点M 的轨迹方程,再分析1M AB △与2M CD △面积的表达式求解,a b 的关系进而求得离心率即可. 【详解】由题可设(,0),(,0)A a B a -,(,)M x y 则因为||2||MA MB =,故22222()4()4x a y x a y =⇒++=-+.化简得Γ：222516()39x a y a -+=.故当1254,,,0333M a a M a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时1M AB △面积最大, 2M CD △面积的最小.故14128,212323a a a a b b ⎧=⎪⨯⨯=⨯⨯=⇒⎨=⎪⎩.故椭圆的离心率2e ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的轨迹方程的求解以及离心率的求解问题,需要根据题意列出(,)M x y 满足的条件,再化简求得方程,属于中等题型. 10．D 【解析】试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得1AD =考点：1.翻折问题；2.空间距离 11．C 【解析】 【分析】利用导数研究函数f （x ）的最值，利用f （x ）与g （x ）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论． 【详解】因为()22ln f x x x =-为偶函数，所以当0x >时，()22ln f x x x =-，则()()()21122x x f x x x x+-'=-=，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()()min 11f x f ==，所以当0x <时，()()min 11f x f =-=，所以()g x 的最大周期是2.所以22T πω==，ωπ=，又()g x 恰好在1x =和1x =-处取得最大值1，故2πϕ=-，故选C .【点睛】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题． 12．B 【分析】利用函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选B ． 【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多). 13．4π【分析】根据定积分的几何意义即可求出． 【详解】令0)y y =≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以⎰表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.故答案为4π 【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14．21 【分析】设公差为d （d ＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d ，进而得到等差数列{a n }的通项，再由并项求和即可得到所求和． 【详解】公差d 大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，可得()11212121a d a d +-+=，即11a =，由1a ，31a -，65a +成等比数列，可得()()231615a a a -=+，即为()2121155d d +-=++，解得2d =（负值舍去），则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈， 所以数列(){}11n n a --的前21项和为123419202113573739412104121a a a a a a a -+-++-+=-+-++-+=-⨯+=.故答案为21. 【点睛】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题． 15．2【分析】由对称可知f （x ）＝﹣2在（0，+∞）上有两解，分离参数得a ＝x 3﹣6x 2+9x ﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a 的范围． 【详解】由题意可知32692x x x a -+-+=-在()0,∞+上有两解，即32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，设()32692g x x x x =-+-，则()23129g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3x =.∴当01x <<时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在[)1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴当1x =时，()g x 取得极大值()12g =，当3x =时，()g x 取得极小值()32g =-. 作出()g x 的函数图象如图所示：∵32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，∴2a =. 故答案为2 【点睛】本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系，属于中档题．16【分析】取1BB 的中点H ，连接CH ，可证得NB ⊥平面DCH ，由题意，点M 的轨迹是内切球O的球面与平面DCH 相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的半径R =由题意，取1BB 的中点H ，连接CH ，则CH NB ⊥，DC NB ⊥，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的球面相交得到的小圆，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长是∴O 到平面DCH 的距离为d =，截面圆的半径r ==所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长25r π=.故答案为5【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M 的轨迹是关键，属于中档题．17．（1）sin 2sin C A = （2【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，sin B =，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B =，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 18．（1）见解析；（2）37.（2）质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6. 【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.8750.92++++=<，可做出判断.（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得P .（3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为200.4218和，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率2111213413414837C C C C C C P C +==.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足()~218,140X N ，则()218E X =. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6 19．(1)见解析;(2)13【分析】（1）先证EO ⊥面ABCD ，进而可得BC ⊥面EOF ，从而可证OF ⊥BC ；（2）由（1）可得EO ⊥平面ABCD ，得到OE 、OA 、OM 两两垂直，可建立空间直角坐标系O xyz -，由条件得到OF BF ⊥，转化为向量0OF BF ⋅=，从而()220t t s -+=，转化为关于t 的方程有唯一实数解，得到1s =，1t =，又判断∠BFC 为二面角B ﹣OF ﹣C 的平面角，利用向量夹角公式可求二面角B ﹣OF ﹣C 的余弦值． 【详解】（1）因为EA ED =，O 是AD 中点，故EO DA ⊥， 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，故EO ⊥平面ABCD ，所以EO BC ⊥； 因为//EF AB ，BC AB ⊥，所以EF BC ⊥， 故BC ⊥平面EOF ， 所以BC OF ⊥.（2）设BC 的中点为M ，则有OM DA ⊥，由（1），EO ⊥平面ABCD ， 所以OE 、OA 、OM 两两垂直.可如图建立空间直角坐标系O xyz -.依题意设点E 的坐标为()0,0,s ，点F 的坐标为()()0,,0,t s s t R >∈，又()1,2,0B ，()1,2,0C -，所以()0,,OF t s =，()1,2,BF t s =--，由（1）知OF BC ⊥，故OF 与平面BCF 垂直，等价于OF BF ⊥， 故0OF BF ⋅=，从而()220t t s -+=，即2220t t s -+=，直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，即关于t 的方程有唯一实数解. 所以2440s ∆=-=，解得1s =，此时1t =. 故点E 的坐标为()0,0,1，点F 的坐标为()0,1,1. 因为OF ⊥平面FBC ，所以OF BF ⊥且OF CF ⊥， 所以BFC ∠即二面角B OF C --的平面角. 因为()1,1,1FB =-，()1,1,1FC =--， 所以1cos 3FB FCBFC FB FC ⋅∠==⋅，即若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直时， 所以二面角B OF C --的余弦值为13.【点睛】本题考查线面垂直，考查面面角的向量求解方法，解题的关键是将直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直转化为关于t 的方程有唯一实数解，将空间几何问题转化为代数问题，凸显空间坐标系的优点，属于中档题. 20．（1）x 2=4y （2）当t=﹣时，|MN|的最小值是【解析】（I ）由题意可设抛物线C 的方程为x 2=2py （p ＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C 的方程为x 2=4y（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y=kx+1 由消去y ，整理得x 2﹣4kx ﹣4=0所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，从而有|x 1﹣x 2|==4由解得点M 的横坐标为x M ===，同理可得点N 的横坐标为x N =所以|MN|=|x M ﹣x N |=|﹣|=8||=令4k ﹣3=t ，t 不为0，则k=当t ＞0时，|MN|=2＞2当t ＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是21．（1）减区间是⎛ ⎝，增区间是⎫+∞⎪⎭；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先确定函数()f x 的定义域，然后利用导数求出函数()f x 的单调区间；（2）构造函数()h x =()f x t -，利用函数()h x 的单调性与零点存在定理来证明题中结论；（3）根据（2）中的结论得到()ln ln g t t()()2ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln s s s f s s s s s ==+，利用换元法令ln u s =得到()ln ln 2ln g t u t u u=+，于是将问题转化为ln 0u >且2ln 0u u -<，构造新函数()2ln F u u u =-，利用导数来证明()0F u >在区间()1,+∞上恒成立即可. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()2ln 2ln 1f x x x x x x =+=+'，令()0f x '=，得x =， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递减区间是⎛ ⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎭；（2）当01x <≤时，()0f x ≤.设0t >，令()()h x f x t =-，[)1,x ∈+∞， 由（1）知()h x 在区间()1,+∞内单调递增，()1h t t =-<，()()22ln 10t t t t h e e e t t e =-=->，故存在唯一的[)1,s ∈+∞，使得()t f s =成立； （3）()s g t =，由（2）知，()t f s =，且1s >，()()()2ln ln ln ln ln ln 2ln ln ln 2ln ln ln g t s s s utf s s s u us s ∴====++，其中，ln u s =，要使()ln 215ln 2g t t <<成立，只需ln 0u >且2ln 0u u -<， 当2t e >时，若()s g t e =≤，则由()f s 的单调性，有()()2t f s f e e =≤=，矛盾，所以s e >，即1u >，从而ln 0u >成立.又设()2ln F u u u =-，则()21F u u '=-， 所以()2ln F u u u =-在1,2内是增函数，在()2,+∞内为减函数，()2ln F u u u =-在()1,+∞上的最大值为()22ln 220F =-<2ln 0u u ∴-<成立，∴当2t e >时，()ln 215ln 2g t t <<成立. 考点：1.函数的单调性与导数；2.零点存在定理；3.利用导数证明函数不等式22．(1) 2219x y +=.4π. (2) ||||5PA PB +=. 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点(0,2)P 在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=.由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（*） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π.（2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1205t t +=-<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算. 23．（1）[]1,5；（2）证明见解析.【分析】(1) ()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.利用零点分域法，分别讨论当1x <、13x ≤≤、3x >时取绝对值，解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出2c =，可得2a b +=，令1,1a m b n +=+=，则4m n +=，()()22221111m n a ba b m n --+=+++，展开后利用基本不等式即可证明.【详解】 (1)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，解得：1≥x又∵1x <，∴x ∈∅；当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，解得：5x ≤又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1,5.(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥---=，∴2c =，即2a b +=.令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =-=-+=,,，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 等且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证.【点睛】 关键点点睛：证明22111a b a b +≥++成立的关键点是()()13132x x x x -+-≥---=， 令1,1a m b n +=+=，则()()22221111411m n a b m n a b m n m n --+=+=+++-++，再利用基本不等式即可得证.。
湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
16．已知函数
f
x
2, x m
x
2
4
x
2,
x
，若方程
m
f
x
x有
3
个不等实根，则实数
m
的取值范围是
____________．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 A
x 5x 3 4x
，集合 B
x
x2 m
值域也是a,b ，则称函数 F x 是区间 D 上的“优函数”，区间a,b 称为 F x 的“等域区间”．
（1）已知函数 f x 3 x 2 是区间0, 上的“优函数”，求 f x 的“等域区间”；
（2）是否存在实数 k，使函数 g x x2 k 是区间 , 0 上的“优函数”？若存在，求 k 的取值范围；
当 x 0 时， f (x) x(2 x) x(x 2) ，由图知， f (x) 单调递减，选 A．
4
7．C 【解析】法一：因为 f ( 2) 2, f (2) 2 ，则 f [ f ( 2)] 2 ，所以 a 2 ，选 C．
法二：令 f f (a) t ，则 f (t) 2 ．因为当 t 0 时， f (t) t2 0 ，所以 t2 t 2(t 0) ，
m 1 2m 1, 若 B ，则 m 1 2, 解得 2 m 3 ，所以 m 的取值范围是 (, 3]，选 A．
2m 1 5,
9．B 【解析】因为函数 y 1 的定义域是 (, a) (a, ) ，且在区间 (a, ) 上是减函数，则 xa
a 0 ，且 (1, ) (a, ) ，所以 0 a 1，选 B．
湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷
湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ，则下列运算结果为U 的是（ ）． A ．M N ⋃ B ．()() U UN M ⋃痧C ．() U M N ⋃ðD ．() U N M ⋃ð2．已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项正确的有（ ）A ．ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3α=C ．12sin225α=D ．sin co 7s 5αα+=3．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，//a 平面α，则//b 平面αB ．若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C ．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D ．已知直线a 与b 异面，不同的两点,P a Q a ∈∈，不同的两点,M b N b ∈∈，则直线PM 与QN 可能相交4．“函数()()12log 3f x ax =-在区间[]1,2上单调递增”的充分必要条件是（ ）A ．()0,a ∈+∞B ．()0,1a ∈C ．30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．30,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为31.2mg /cm ，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过30.1mg /cm ，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（ ）小时？（结果取整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．12B ．8C ．10D ．116．已知M 是ABC V 所在平面内一点，满足3145AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则ABM V 与BCM V 的面积之比为（ ） A ．3B ．4C ．58D ．1257．已知495ln ,log 3log 17,72425b b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()21log 2,1,(0(1)4,1a x x f x a x a x ⎧+-≤=>⎨-+>⎩且)1a ≠在R 上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1316二、多选题9．下列命题为假命题的是（ ）A ．在复数集C 中，方程210x x ++=有两个根，分别为12-，12-B ．若三个事件,,A BC 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =C ．若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则1x y z ++=是,,,P A B C 四点共面的充要条件D ．复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线y =f x 的两个交点，若π6AB =，则（ ）A ．()0f =B ．函数()f x 的最小正周期为7π12C ．若1291π12x x +=，则()()12f x f x =D ．若12π24x x -=，则()()12f x f x -的最大值大于111．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,,,2AC BC B C BC AC B C BC CB AC ⊥⊥⊥===，下列结论中正确的有（ ）A ．平面11BCCB ⊥平面11ACC AB ．直线1AA 与1BC 所成的角的正切值是13C ．三棱锥111C A B C -的外接球的表面积是12πD ．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β满足()cos 0αβ+=，则sin2cos21ββ+的值为.13．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为217cm ，女生身高样本均值为160cm ，方差为230cm .则每个女生被抽入到样本的概率均为，所有样本的方差为2cm .14．如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上一点，且12CP PC =u u u r u u u u r，M 为平面1BDC 内一动点，则MC +MP 的最小值为.四、解答题15．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h 米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2πrad 3．(1)求圆锥筒的容积；(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x 的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x 的取值．16．已为,,a b c 分别为ABC V 三内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =- (1)求A ；(2)若2c =，角B 的平分线BD =ABC V 的面积S ．17．某高校的特殊类型招生面试中有4道题目，获得面试资格的甲同学对一~四题回答正确的概率依次是34，12，23，13．规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得1，2，3，6分，答错1题减2分，当累计积分小于2-分面试失败，不少于4分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学回答完前3题即通过面试的概率； (2)求甲同学最终通过面试的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP V 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； (3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.19．已知()22,f x ax bx x =++∈R .定义点集A 与()y f x =的图象的公共点为A 在()f x 上的截点.(1)若(){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0.求实数a 的取值范围； (2)若()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x . （i ）求实数b 的取值范围； （ii ）证明：121124x x <+<.。
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B.不及格( 60 分以下)的考生人数约为1000 人 C.考生竞赛成绩平均分的估计值为 70.5 分
1
D.考生竞赛成绩中位数的估计值为 75 分
6.已知 △ABC 是边长为 3 的正三角形，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 AC 边上，且 AN = 2NC ，则 BN ⋅ CM = ( )
A. − 3 2
B. − 3 2
C. − 3 3 2
D. − 9 2
7.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，点 M 为圆 O : x2 + y2 = 12 与 C 的一个交点，
且 MF = 3 ，则 C 的标准方程是( )
A. y2 = 2x
B. y2 = 3x
C. y2 = 4x
全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.对于两条不同直线 m ， n 和两个不同平面α ， β ，则下列说法中正确的是( )
A.若 m ⊥ α ， n ⊥ α ，则 m//n
B.若 m ⊂ α ， n ⊂ α ， m// β ， n// β ，则α // β
C.若α ⊥ β ， m ⊂ α ，则 m ⊥ β
D. y2 = 6x
8.已知四棱锥 S − ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是经过球心 O 的正方形，当该四棱锥
的体积取最大值时，其表面积为 4 + 4 3 ，则球 O 的体积等于( )
4
A.
2π
3
8
B.
2π
3
16
C.
2π
3
32
D.
2π
3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
湖南师大附中 2020—2021 学年度高二第二次月考
时量：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.已知对数函数=y loga x (a > 0, a ≠ 1) 的图象经过点 P (3, −1) ，则幂函数 y = xa 的图象是( )
45° ？
21.(本小题满分 12 分) 新冠肺炎疫情的发生促进了医药科研的发展.某医药研究所研发了一种治疗新冠肺炎的新药，经临床试验，
该药物在病人血液中的含量不低于 2 克时，它才能起到有效的治疗作用，且每服用 m (1 ≤ m ≤ 4 且 m ∈ R )
个单位的药剂，药剂在血液中的含量 y (克)随着时间 x (小时)变化的函数关系式近似为 y = mf ( x) ，其中
∴ tan C = 2
1
1 10 3 2 2 5
(2)∵ S△ABC
=absin C 2
=× 2
4
c×
4
c×
5
= 3
解得 c = 2 2
= ∴ b 3= 2c 3 4
18.【解析】(1)证明：由已知得，= bn 2an > 0
当 n ≥ 1 时， bn+=1 bn
2an+1 =
2an
2an + 1 − an=
求 DE 的最小值.
6
湖南师大附中 2021-2021 学年高二第一学期第一次大练习
数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
D C B A B C A B AC A
B
C
二、填空题 π
13.
6
14. − 4 5
15. (−1, 2)
25
16.
2
三、解答题
17.【解析】(1)∵ A = π 4
A.
B.
C.
D.
2.设 m 为给定的实常数，命题 p : ∀x ∈ R ， x2 − 4x + 2m ≥ 0 ，则“ m ≥ 1”是“ p 为真命题”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件 3.下列结论中正确的是( )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.椭圆 x2 + y2 = 1的焦点坐标是 (±3,0)
28
4
= ∴ cosC a= 2 + b2 − c2
5 c2 + 9 c2 − c2 8 = 8
5
2ab
2 × 10 c × 3 2 c 5
4
4
∵ C ∈ (0,π )
7
∴ sin C =1 − cos2 C = 2 5 5
∴ t= an C s= in C 2 cos C
或由 A = π ， b2 − a2 = 1 c2
D.当 −1 < k < − 1 时，关于 x 的方程 f ( x=) kx + 1恰有 3 个实根
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.使{1, 2} M = {1, 2,3} 成立的集合 M 共有________个.
14.已知 a ， b 为单位向量，且 a ⊥ (a + 2b) ，则向量 a 与 b 的夹角为________.
D.直线 l 的方程是 y = 2x
2
12.已知函数
f
(x)
=
−x2 − 3x, x < 0
f
(
x
− 3),
x
≥
0
，则下列结论正确的是(
)
A. f ( x) 在区间[4,6]上是增函数
B. f (−2) + f (2020) =4
6
C.若函= 数 y f ( x) − m 在 (−∞,6) 上有 6 个零点 xi (i = 1, 2,,6) ，则 ∑ xi = 9 i =1
2
6
yi2
−
6y2
( ) (2)设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，证明： Sn ≤ 2an − 4 n ∈ N* .
19.(本小题满分 12 分)
某工厂生产不同规格的一种产品，根据统计分析，其合格产品的质量 y ( g ) 与尺寸 x (mm) 之间的相关关
系可用回归模型 y = cxb ( b ， c 都为正常数)进行拟合，现随机抽取 6 件合格产品，其检测数据如下表：
6
6
6
6
∑ ∑ ∑ ∑ (2)经计算， lnxi = 24.6 ， lnyi = 18.3 ， (ln xi )2 = 101.4 ， (ln xi ⋅ ln yi ) = 75.3 ，求 y 关
i =1
i =1
i =1
i =1
于 x 的回归方程.
附：对于样本数据 (ui ,vi )(i = 1, 2,, n) ，其回归直线=vˆ bˆu + aˆ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式
分别为：
n
n
∑(ui − u )(vi − v ) ∑uivi − nu v
= = bˆ i= 1= n i
1 n
， aˆ=
∑(ui − u )2
∑ ui2 − nu 2
=i 1=i 1
v − bˆu .
4
20.(本小题满分 12 分)
如图所示，在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， A=D A= A1 1， AB = 2 ，点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明： D1E ⊥ A1D ； (2)求当 AE 为何值时，二面角 D1 − EC − D 的大小为
尺寸 x(mm)
38
48
58
68
78
88
质量 y ( g )
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
y
质量与尺寸的比值
x
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
(1)检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间 (0.302,0.388) 内时为优等品.现从所抽取的 6 件合
格产品中再任选 2 件，求选出的 2 件产品均为优等品的概率；
15.已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a + b =6 ，则 a + 1 + b + 3 的最大值为________.
16.已知点 A(1,0) ， B (−1,0) ，动点 M 满足：直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为定值 m(m ≠ 0) .
(1)若点 M 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去点 A 、 B )，则 m 的取值范围是________；
4
2
可得： sin2 B − sin2 A = 1 sin2 C 2
∴ sin2 B − 1 =1 sin2 C 22
∴ − 1 cos 2B = 1 sin2 C
2
2
∴
−
sin
2
B
+
π 2
= sin 2
C
∴
−
sin
2
3π 4
−
C
+
π
2
= sin2 C
∴ sin 2C = sin2 C ， sin C ≠ 0 ， cosC ≠ 0
(2)若点 M 的轨迹是焦距为 4 的双曲线(除去点 A 、 B )，则 m = ________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)来自设函数 f (= x)
sin
ω x
−
π 6
+
sin
ω
x
−