全国1卷文科数学及答案
完整)2019年高考文科数学全国1卷(附答案)
完整)2019年高考文科数学全国1卷(附答案)12B-SX-xxxxxxx2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国I卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=(3-i)/(1+2i)，则z=（B）2.2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则A∩B={2,3,4,5}，所以A'∩B'={1,6,7}，故选项为（B）{1,7}。
3.已知a=log0.2 2，b=2，c=0.20.3，则a<c<b，故选项为（D）b<c<a。
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，即(5-1)/2≈0.618.最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比例。
设身高为x，则x/(5x/8)= (5-1)/2，解得x=1.85m，即（C）185cm。
5.函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为（C）。
注：文章中的格式错误已删除，明显有问题的段落已删除，每段话进行了小幅度的改写。
已删除明显有问题的段落。
6.某学校为了解1,000名新生的身体素质，采用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。
如果46号学生被抽到，那么下面4名学生中被抽到的是哪个？解答：由于是等距抽取，因此每隔10个学生抽取一个，因此46号学生是第5组中的学生。
要求下面4名学生中被抽到的，就是在第5组中再选4个学生，因此答案是C．616号学生。
2023年高考全国乙卷文科数学试题(含答案详解)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则M ∪C U N （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=，则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2−∞−B. (),3−∞−C. ()4,1−−D. ()3,0−9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12−C.12D.11. 已知实数,x y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）A. 1+B. 4C. 1+D. 712. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ−=________． 15. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________． 三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积． 20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）答案详解文科数学（2023·全国乙卷·文·1·★）232i 2i ++=（ ）（A ）1 （B ）2 （C （D 答案：C解析：2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.（2023·全国乙卷·文·2·★）设全集{0,1,2,4,6,8}U =，集合{0,4,6}M =，{0,1,6}N =，M ∪C U N 则（ ） （A ）{0,2,4,6,8} （B ）{0,1,4,6,8} （C ）{1,2,4,6,8} （D ）U 答案：A解析：由题意，C U N ={2,4,8}，所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.（2023·全国乙卷·文·3·★） 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A.24B.26C.28D.30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·文·4·★★）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=则，在B =（ ） （A ）10π（B ）5π （C ）310π （D ）25π 答案：C解法1：所给边角等式每一项都有齐次的边，要求的是角，故用正弦定理边化角分析， 因为cos cos a B b A c −=，所以sin cos sin cos sin A B B A C −=，故sin()sin A B C −= ①， 已知C ，先将C 代入，再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元， 因为5C π=，所以45A B C ππ+=−=，故45A B π=−，代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②， 因为45A B π+=，所以405B π<<，故4442555B πππ−<−<，结合②可得4255B ππ−=，所以310B π=.解法2：按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后，观察发现若将右侧sin C 拆开，也能出现左边的两项，故拆开来看，sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+，代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得：sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+，化简得：sin cos 0B A =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故cos 0A =，结合0A π<<可得2A π=，所以43510B A ππ=−=.（2023·全国乙卷·文·5·★★） 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案：D解析：因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x −−=，即()1e e a x x −=，则()1x a x =−，即11a =−，解得2a =.（2023·全国乙卷·文·6·★）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ） （A（B ）3 （C） （D ）5 答案：B解析：如图，EC ，ED 共起点，且中线、底边长均已知，可用极化恒等式求数量积， 由极化恒等式，223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F（2023·全国乙卷·文·7·★★）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B. 16C.14D.12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·文·8·★★★）函数3()2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2)−∞− （B ）(,3)−∞− （C ）(4,1)−− （D ）(3,0)− 答案：B解法1：观察发现由320x ax ++=容易分离出a ，故用全分离，先分析0x =是否为零点， 因为(0)20f =≠，所以0不是()f x 的零点；当0x ≠时，3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−， 所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点，要画此函数的图象，需求导分析，令22()(0)g x x x x =−−≠，则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==， 因为22131()024x x x ++=++>，所以()00g x x '>⇔<或01x <<，()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,0)−∞上，在(0,1)上，在(1,)+∞上，又lim ()x g x →−∞=−∞，当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时，()g x 分别趋于+∞，−∞，(1)3g =−，lim ()x g x →+∞=−∞，所以()g x 的大致图象如图1，由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点，应有3a <−.解法2：如图2，三次函数有3个零点等价于两个极值异号，故也可直接求导分析极值，由题意，2()3f x x a '=+，要使()f x 有2个极值点，则()f x '有两个零点，所以120a ∆=−>，故0a <， 令()0f x '=可得x =322f =+=，3(((22f a =++=，故34(2)(2)4027a f f =+=+<，解得：3a <−.a=1图2图（2023·全国乙卷·文·9·★）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.13答案：A解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种， 则其概率为305366=，（2023·全国乙卷·文·10·★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（） A. B. 12−C.12D.2答案：D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以2πππ2362T =−=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==， 当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=−，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=−，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2023·全国乙卷·文·11·★★★）已知实数x ，y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）（A ）1 （B ）4 （C ）1+ （D ）7 答案：C解法1：所给等式可配方化为平方和结构，故考虑三角换元，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=，令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−，θ∈R ，所以当sin()14πθ−=−时，x y −取得最大值1+解法2：所给方程表示圆，故要求x y −的最大值，也可设其为t ，看成直线，用直线与圆的位置关系处理，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①，设t x y =−，则0x y t −−=，因为x ，y 还满足①，所以直线0x y t −−=与该圆有交点，从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤，解得：11t −≤≤+max ()1x y −=+（2023·全国乙卷·文·12·★★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x −−−=， 所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =−，联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得272272730x x −⨯+=，此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =−=−，则95:22AB y x =−−， 联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=， 此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =−，联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +−=， 此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；（2023·全国乙卷·文·13·★）已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 答案：94解析：由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =−，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.（2023·全国乙卷·文·14·★）若(0,)2πθ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ−=_____.答案： 解析：已知tan θ，可先求出sin θ和cos θ， 由题意，sin 1tan cos 3θθθ==，所以cos 3sin θθ=，代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=， 又(0,)2πθ∈，所以sin θ=，cos θ=，故sin cos θθ−=（2023·全国乙卷·文·15·★★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ， 联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8，（2023·全国乙卷·文·16·★★★）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_____. 答案：2解析：有线面垂直，且ABC ∆是等边三角形，属外接球的圆柱模型，核心方程是222()2hr R +=，如图，圆柱的高h SA =，底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径，所以233r ==， 由题意，球的半径2R =，因为222()2hr R +=，所以23()42h +=，解得：2h =，故2SA =.（2023·全国乙卷·文·17·★★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 答案：（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析：（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =−=−=，i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==（2）由（1）知:11z =，==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·文·18·★★★）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知211a =，1040S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .解：（1）（已知条件都容易代公式，故直接用公式翻译，求出1a 和d ） 设{}n a 的公差为d ，则2111a a d =+= ①， 101104540S a d =+= ②，联立①②解得：113a =，2d =−，所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.（2）（通项含绝对值，要求和，先去绝对值，观察发现{}n a 前7项为正，从第8项起为负，故据此讨论） 当7n ≤时，0n a >，所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−； 当8n ≥时，12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+； 综上所述，2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.（2023·全国乙卷·文·19·★★★）如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积．答案：（1）证明见解析 （2解析：（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+，12AO BA BC =−+，BF AO ⊥， 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=， 解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ， 因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===2PO ===， 因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ， 所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O =，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥−P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.（2023·全国乙卷·文·20·★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围. 答案：（1）()ln 2ln 20x y +−=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析：（1）当1a =−时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>−⎪⎝⎭， 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭， 据此可得()()10,1ln 2f f '==−，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−，即()ln 2ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++≥， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立， 则()()2ln 1g x ax x '=−+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+，则()121h x a x −'=+， 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增， 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意. 当102a <<时，由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减， 由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2023·全国乙卷·文·21·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x += （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++， 因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ， 且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A−，由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)B D，所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N = （)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i+3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1xy e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和2答案：C解析：())34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==.故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（）A.12B.33C.22D.32答案：D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案：C 解析：对于A，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合，对于B，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t =+，根据对勾函数min 145y =+=不符合，对于C，242222xxx x y -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=，当且仅当2t =时取等，符合，对于D，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+.根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x-==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC =，122B P =，122PC =，62BP =.222111131222cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠==⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.5265D.2答案：A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++.∴max 5||2PB =，故选A.方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B .因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值.即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <.当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值.即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D.二、填空题13.已知向量(2,5)a = ，(,4)b λ= ，若//a b，则λ=.答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=.14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为.答案：解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离d ==.15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b =.答案：解析：由面积公式1sin 2S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b >解得b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯=221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=.（2）10.3100.3y x -=-===∵则0.3=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案：见解析解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3n n na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2n n S T <.答案：见解析解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =，故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--.又3n n n b =，则1231123133333n n n n n T --=+++++ ，两边同乘13，则234111231333333n n n n n T +-=+++++ ，两式相减，得23412111113333333n n n n T +=+++++- ，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---，整理得31323(14323423n n n n n n T +=--=-⨯⨯，323314322())04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF = ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =.抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF = .∴2022000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020*********QOQ Q y y k y y x y ===≤++.∴直线OQ 斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f x x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32f x x x a'=-+（i）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，11133x -=，21133x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113()33a a --++单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113()33a a -++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以33k =±代入直线方程并化简得40x +=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ-=-⇔+=-或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=++=+.23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案：见解析解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅；当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞ .（2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。
2022年全国高考乙卷数学(文科)数学试题(后附答案解析)
2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A .{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}2.设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-= D.1,1a b =-=-3.已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A.2B.3C.4D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2- B.4C.8D.126.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A.2B. C.3D.7.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.68.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x xy x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A.平面1B EF ⊥平面1BDDB.平面1B EF ⊥平面1A BDC.平面1//B EF 平面1A ACD.平面1//B EF 平面11AC D10.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.311.函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A.ππ22-，B.3ππ22-， C.ππ222-+， D.3ππ222-+，12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13B.12C.33D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．15.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．16.若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+18.如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)nx x y y r --=≈∑．20.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．21.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．[选修4—5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++；2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.2.设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A.1,1a b ==-B.1,1a b == C.1,1a b =-= D.1,1a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.3.已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -r r .【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以5-= a b .故选：D4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C 【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<，C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>，D 选项结论正确.故选：C5.若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.12【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.6.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B7.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x x y x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A.平面1B EF ⊥平面1BDDB.平面1B EF ⊥平面1A BDC.平面1//B EF 平面1A ACD.平面1//B EF 平面11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明EF ⊥平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD .【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥，又1BD DD D = ，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1m =- ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-，则122110m n ⋅=-+=≠，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m 与2n uu r 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m 与3n不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.10.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .11.函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A.ππ22-，B.3ππ22-， C.ππ222-+， D.3ππ222-+，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值.【详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+.故选：D12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13B.12C.33D.2【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则21432327O ABCD V r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h =时等号成立，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =.故答案为：2.14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31015.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；16.若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】①.12-；②.ln 2．【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x +≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+【答案】（1）5π8；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．【小问2详解】由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．18.如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【答案】（1）证明详见解析（2）34【解析】【分析】（1）通过证明AC ⊥平面BED 来证得平面BED ⊥平面ACD .（2）首先判断出三角形AFC 的面积最小时F 点的位置，然后求得F 到平面ABC 的距离，从而求得三棱锥F ABC -的体积.【小问1详解】由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .【小问2详解】依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,AC AE CE BE ====由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以13,222DF BF DF ===-=，所以34BF BD =.过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =,所以1113233244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40 3.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1( 1.896 1.377)()()nn nx x y y r x x y y --=≈--∑∑∑．【答案】（1）20.06m ；30.39m （2）0.97（3）31209m 【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---=∑∑0.01340.970.01377=≈则0.97r ≈【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）1-（2）()0,+∞【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=，当()0,1∈x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=，当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x ¢<，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x ¢<，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a a a-⎛⎫=-++⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.21.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】（1）22143y x +=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N -，代入AB 方程223y x =-，可得263,)3T ，由MT TH =得到265,3H +.求得HN 方程：26(223y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（120++=y m （2）195122-≤≤m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(()36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m .[选修4—5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，则32a >，32b >，320c >，所以3332223a b c++≥，即()1213abc ≤，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号．【小问2详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +≥，a c +≥a b +≥，所以32a b c ≤=+32b a c ≤=+32c a b ≤=+333333222222a b c b b c a c a b ++≤==+++当且仅当a b c ==时取等号．。
2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。
2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。
4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。
2024高考数学全国甲卷解析(文科)(1)
2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}1,2,3,4,5,9,1A B x x A ==+∈∣,则()A B ⋂=A {}1,2,3,4B {}1,2,3,4C {}1,2,3,4D {}1,2,3,4【答案】A【解析】因为{}{}{}1,2,3,4,5,9,10,1,2,3,4,8A B x x A ==+∈=∣,所以A {}1,2,3,4B ⋂=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】集合运算、交集 2.设z =则()z z ⋅=A .iB .1C .-1D .2【答案】D【解析】因为z =,所以2z z ⋅=,故选D .【难度】基础题【关联题点】复数运算、共轭复数3.若,x y 满足约束条件4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则5z x y =-的最小值为A .12B .0C .52-D .72-【答案】D【解析】将约束条件两两联立可得3个交点:()30,1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、和13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D . 【难度】基础题【关联题点】线性规划、约束条件4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()9371,S a a =+=A -2 B73 C 1D29【答案】D【解析】令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D . 【难度】基础题【关联题点】等差数列、通项公式5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是() A14B13C12D23【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B . 【难度】基础题【关联题点】计数原理、特殊位置法6.已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 A .4 B .3C .2D .2【答案】C 【解析】12212F F c e a PF PF ===-,故选C . 【难度】中档题【关联题点】双曲线、离心率、圆锥曲线定义7.曲线()63f x x x =+在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A16B32C12【答案】A【解析】因为563y x '=+,所以1113,31,1236k y x S ==-=⨯⨯=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】导数应用、切线8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-的大致图像为()ABCD【答案】B【解析】()()()()22-ee sin()e e sin xx x x f x x x x x f x --=-+--=-+-=，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，又因为2()0()22n n f n Z ππ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，观察图像知选B 【难度】中档题【关联题点】函数的奇偶性、函数图像9.已知cos cos sin ααα=-则()tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1B 1C D 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以tan 1tan 1tan 141tan παααα+⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭,故选B .【难度】基础题【关联题点】三角恒等变化、两角和与差的正切公式10.找不到题目11.已知已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊥,则//m n ;②若,//m m n αβ⋂=,则//n β;③若//,//,m n m αα与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是()(A )①③B 23C ①②③D ①③④ 【答案】A【解析】//m n 一定有//n α或//n β，(1)对αβ⊥时m n ⊥也有可能，n α⊂或n β⊂，(2)错.//n α且//n β一定有//m n ,(3)对n 与,αβ所成角相等，有可能，//m n ，(4)错，选A .【难度】中档题【关联题点】立体几何线面关系、线面关系的判定12.在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若3B π=,294b ac =,则()sin sin A C += A32C2D2【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,所以241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:222b a c =+94ac ac -=,即:2222131313,sin sin sin sin 4412a c ac A C A C +=+==,所以()222sin sin sin sin A C A C +=+72sin sin ,sin sin 4A C A C +=+=故选C .【难度】中档题【关联题点】余弦定理、解三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数的最大值是___.【答案】5【解析】1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式第1r +项系数1013rr C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令第1r +项系数最大 则11101011101011331133rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,711,244r r ≤≤∴=,系数最大为2210153C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【难度】中档题【关联题点】二项式系数、组合数14.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是___. 【答案】2【解析】()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当56x π=时取等号. 【难度】中档题【关联题点】三角函数图像与性质、辅助角公式15.已知81151,log log 42a a a >-=-,则a =___. 【答案】64 【解析】因为284211315log log log log 22a a a a -=-=-, 所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6,64a a ==. 【难度】中档题【关联题点】一元二次方程、对数运算16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为___.【答案】()2,1-【解析】令()2331x x x a -=--+,则()2331a x x x =-+-,设()()()2331,x x x x x ϕϕ=--'+()()()351,x x x ϕ=+-在()1,∞+上递增,在()0,1上递减.因为曲线33y x x =-与(y x =-21)a -+在()0,∞+上有两个不同的交点,()()01,12ϕϕ==-,所以a 的取值范围为(2-,1). 【难度】较难题【关联题点】三次函数、导数、函数零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】见解析. 【解析】(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-, 两式相减可得:1223n n a a ++=-13n a +,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以1151,3n n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【难度】中档题【关联题点】数列通项公式、前n 项和与通项公式的关系18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =.设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?)12.247≈附:()()()()()()2220.0500.0100.010, 3.8416.63510.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=++++【答案】见解析.【解析】()()22150702426301 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)96160.6415025p === ()11112221.650.5 1.650.5 1.650.56715012.247p p p n ⨯-+=+⋅≈+⨯≈()11.65,p p p p n->+∴可以认为升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【难度】中档题【关联题点】独立性检验、概率19.(12分)如图,已知//,//,2AB CD CD EF AB DE EF CF ====,4,10,23,CD AD BC AE M ====为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到ADE 的距离. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意://,EF CM EF CM =,而CF 写平面,ADO EM 平面ADO ,所以EM //平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结,OA OE ,则,,3,3OA DM OE DM OA OE ⊥⊥==,而23AE =,故23,3AOEOA OE S⊥=. 因为2,10DE AD ==,所以,10.AOEAD DE S DM ⊥=设点M 到平面ADE 的距离为h , 所以**1143230,33510M ADE ADEAOEV S h SDM h -====, 故点M 到ADE 的距离为2305. 【难度】中档题【关联题点】立体几何、空间向量、点到面的距离20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立. 【答案】见解析【解析】()()()()111ln 1,,0ax f x a x x f x x x-=--+'=>. 若()()0,0,a f x f x ≤<的减区间为()0,∞+,无增区间; 若0a >时,当10x a<<时,()0f x '<, 当1x a >时,()0f x '>,所以()f x 的减区10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)因为2a ≤,所以当1x >时,()()111e e 1ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令()g x 1e2ln 1x x x -=-++,则()11e 2x g x x-=-+'.令()()h x g x =',则()121e x h x x-=-'在()1,∞+上递增,()()10h x h '>=',所以()()h x g x ='在()1,∞+上递增,()()10g x g '>=',故()g x 在()1,∞+上递增,()()10g x g >=,即:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.【难度】较难题【关联题点】函数极值、导数、导数解不等式21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点(1M ,32⎫⎪⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(I )求椭圆C 的方程;(2)()4,0P ,过P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴. 【答案】见解析 【解析】(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则132,2F F MF ==.因为MF x ⊥轴,所以 1MF 15,242a MF MF ==+=,解得:2224,13a b a ==-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=;(2)解法1:设()()1122,,,,A x y B x y AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪+=⎨⎪+⎪⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-,结合上式可得:5λ-2230.x λ+=,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()()1122,,,A x y B x y ,则12124444x x y y ---=-,即:()1221214x y x y y y -=-,所以(12x y -)()()()222222221221122112212121214444433y y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112214,y y x y x y =-+即:1221212112,253.x y x y y y x y y y +=+=-, 则2122112335252Q y y y y x y y x ==--1y =,AQ y ⊥轴.【难度】较难题【关联题点】解析几何、圆锥曲线、韦达定理(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=cos 1ρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程; (2)直线(x tt y t a =⎧⎨=+⎩为参数)与曲线C 交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】见解析.【解析】(1)因为cos 1ρρθ=+,所以()22cos 1ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:22(x y x +=21)+,即:221y x =+;(2)将x t y t a=⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:()222110,2t a t a AB +-+-====,解得:34a =. 【难度】基础题【关联题点】极坐标、参数方程23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥. 【答案】见解析.【解析】(1)因为3a b +≥,所以()22222a b a b a b +≥+>+;(2)()222222222222a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+()()()()()2222216a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥【难度】较难题【关联题点】基本不等式、绝对值不等式。
全国高考文科全国卷数学试题及答案
年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--． 二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤； 当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。
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（A） y 2x （B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x
（ 11 ） 平 面 过 正 文 体 ABCD — A1B1C1D1 的 顶 点 A //平面CB1D1 , 平面ABCD m ，
平面ABB1A1 n ，则 m，n 所成角的正弦值为
（A） 3 （B） 2 （C） 3 （D） 1
（A）－3（B）－2（C）2（D）3
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种 在一个花坛中，学.科.网余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色 和紫色的花不在同一花坛的概率是
1
1
5
（A） 3 （B） 2 （C） 2 （D） 6
3
（4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a 5 ， c 2 ， cos A 2 ，则 b=
（20）（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： y2 2 px( p 0) 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长 交 C 于点 H.
（I）求 OH ；
ON
（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点说明理由.
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数
.
(I)讨论 的单调性；
(II)若 有两个零点，求 a 的取值范围.
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心， OA 为半 径作圆. (I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD.
又由已知可得， PA PB ，从而G 是 AB 的中点. （II）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA于点 F ， F 即 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得 PB PA ， PB PC ，又 EF / /PB ,所以 EF PC ,因此 EF 平面 PAC ，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投
图：
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同 时购买的易损零件数.
（I）若 n =19，求 y 与 x 的函数解析式； （II）若要求学科&网“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小 于，求 n 的最小值； （III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零 件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易 损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的 同时应购买 19 个还是 20 个易损零件学科&网
（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为
（t 为
参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系
中，曲线 C2：ρ=4cosθ.
（I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，若 曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a。
（I）证明 G 是 AB 的中点； （II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F （说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积．
（19）（本小题满分 12 分） 某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状
为
1，公比为
1 3
的等比数列.记
bn
的前
n
项和为
Sn
，则
Sn
1 (1)n 3
1 1
3 2
2
1 3n
1
.
3
（18）（I）因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 AB PD.
因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ，所以 AB DE. 所以 AB 平面 PED ，故 AB PG.
第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
（1）设集合 A {1,3,5,7} ， B {x | 2 x 5}，则 A B （A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
(2)设 (1 2i)(a i) 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=
选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）B (2) A （3）C （4）D （5）B （6）D （7）A （8）B （9）D （10）C （11）A （12）C
第 II 卷
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分.
（13） 2 （14） 4
3
3
（15） 4π （16） 216000
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
3
（A） 2 （B） 3 （C）2（D）3
（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距 离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为
1123 （A）3（B）2（C）3（D）4
（6）若将函数 y=2sin (2x+π6 )的图像向右平移14个周期后，所得图 像对应的函数为 （A）y=2sin(2x+π4 ) （B）y=2sin(2x+π3 ) （C）y=2sin(2x–π4 ) （D）y=2sin(2x–π3 ) （7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积 是
试 题 解 析 ：（ Ⅰ ） 当 x 19 时 ， y 3800 ； 当 x 19 时 ，
y 3800 500(x 19) 500x 5700 ， 所 以 y 与 x 的 函 数 解 析 式 为
y
3800, 500x
x 19, (x
5700, x 19,
N)
.
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的概率为，不大 于 19 的概率为，故 n 的最小值为 19.
（20）（Ⅰ）由已知得 M (0,t) ， P( t2 ,t) .
2p
又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N (t2 ,t) ， ON 的方程为 y p x ，
p
t
代入
y2 2 px 整 理 得
px2 2t2x 0
， 解 得 x1 0 ，
x2
2t 2 p
，因此
H ( 2t 2 ,2t) .
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
（13）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=.
（14）已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ+ π )= 3 ，则 tan(θ– π )=.
45
4
（15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若 ，则圆 C 的面积为。
2
2
3
3
（12）若函数 f (x) x - 1 sin 2x a sin x 在 , 单调递增，则 a 的取
3
值范围是
（A）
1,1
（B）
1,
1 3
（C）
1 3
,
1 3
（D）
1,
1 3
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要 求作答.
p
所以 N 为 OH 的中点，即 | OH | 2 .
| ON |
（Ⅱ）直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下：
直 线 MH 的 方 程 为 y t p x ， 即 x 2t ( y t) . 代 入 y2 2 px 得
2t
p
y2 4ty 4t2 0 ，解得 y1 y2 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π （8）若 a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc（B）logca<logcb（C）ac<bc（D）ca>cb （9）函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）执行右面的程序框图，如果输入的 x 0, y 1, n=1,则输出 x, y 的 值满足
影. 学科&网
连接 CG ，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 D 是正三角 形 ABC 的中心.
由（I）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在CG 上，故CD 2 CG.
3
由题设可得 PC 平面 PAB ， DE 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此
PE 2 PG, DE 1 PC.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分 12 分）
已 知 an 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列 bn 满 足
b1 =1，b2
=
1 3
，anbn1
bn1